四川万源市第三中学2026-2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题

**基本信息** 开学学情自测数学卷，融合AI设计、世界杯足球等时代情境，通过截长补短法、配方法等分层设计，考查几何直观、推理能力与模型意识，适配九年级起点知识诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|图形性质、不等式、三角形交点|AI图案考轴对称与中心对称（第1题）| |填空题|10/40|三角函数、旋转、不等式、多边形内角|世界杯足球构造求内角（第12题）| |解答题|8/78|不等式组、分式方程、几何证明、阅读理解|航模购买考分式方程与方案设计（第17题）；截长补短法证线段关系（第18题）|

四川省万源市第三中学2026-2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列由 AI 设计的四组图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2.有两个容量足够大的玻璃杯,分别装有a克水、b克水,a>b.都加入c克水后,下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是 ( ) A.a+c>b+c　　 B.a+c=b+c C.a+c<b+c　　　  D.a-c<b-c 3．如图，现计划在A，B，C三个村庄之间建一个供电站，要求供电站到各村庄的距离相等，则供电站应建在(　　) A．△ABC三边垂直平分线的交点 B．△ABC三条角平分线的交点 C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条中线的交点 4. 若分式有意义，则实数x的取值范围是(　　) A． x≠　 　 B． x≠－ C． x＞　　 D． x＜ 5．小坪想设计一个等腰三角形形状的风筝，于是找来了三根木棒做等腰三角形的框架，在修整完成之后，小坪用角度仪测量了等腰三角形的一个内角为，这个风筝的顶角可能是（   ） A． B． C．或 D．或 6.下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 7.如图,将△ABC绕点C顺时针旋转30°得到△DEC,点B的对应点为点E,当点E恰好落在边AC上时,连接AD,则∠DAC的度数是 ( ) A.60°　　    B.65°　　    C.70°　　    D.75° 8．如图，四边形中，，，，边上一点E满足，连接D，E．现将△CDE沿折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则点E到边的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．在中，，则__________． 10．如图，将两个完全相同的直角三角形纸板叠放在一起，．若，则的长度为_______． 11.已知关于x的一元一次不等式■-2x≥3的解集如图所示,则被“■”覆盖的数为_______. 12．2026年美加墨“世界杯”使用的足球采用了不同以往的革命性构造设计，至今仍是各种足球的原型．其由块手缝嵌面组成（块黑色的正五边形和块白色的正六边形），这种构造使足球拥有更浑圆更完美的外形，如图是其侧面展开图局部，则图中度数为______． 13．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段向右平移4个单位到线段，线段与轴交于点，若图中△CEO的面积为4，则点坐标为_______． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 15．下面是小梦同学解不等式 ≥＋1的过程： 解：去分母，得2(x＋1)≥3(2x－5)＋1.…第一步 去括号，得2x＋2≥6x－5＋1.…第二步 移项，得2x－6x≥－5＋1＋2.…第三步 合并同类项，得－4x≥－2.…第四步 系数化为1，得x≥.…第五步 以上解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出正确的解答过程． 16.如图,△ABC是等边三角形,D是AB的中点,CE⊥BC,垂足为C,EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A,BE交CD于点G. (1)求∠DCE的大小. (2)求证:△CEG是等边三角形. 17．某航模小组对其中两种新款无人机模型产生了浓厚的兴趣和购买欲望，于是他们前往模型商店进行咨询并了解到以下信息： ①型无人机模型的单价比型贵800元； ②用12000元购买型无人机模型的数量与用8000元购买型无人机模型的数量相同． (1)求型和型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组现有资金20000元，他们决定购买10台无人机模型，同时要求购买型的数量不超过型的2倍．请求出航模小组所有可能的购买方案． 18.截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起从而解决问题．数学课上李老师让同学使用这一方法来解决以下问题：“如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C．求证：AB＋BD=AC． (1)对于该问题，老师给出了如下的思路：如图②，在AC上截取AE=AB，连接DE，只要证BD=EC即可，这就将证明线段和差问题转化为证明线段相等问题．请你按照上述解题思路写出证明过程． (2)请使用上述方法解决下列问题： ①如图③，△ABC是等边三角形，D是边BC下方一点，∠BDC=120°，连接AD．判断出线段DA，DB，DC之间的数量关系并说明理由； ②如图④，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．D是边BC下方一点，∠BDC=90°．求证：DA=DB＋DC． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知a2＋2a=2，则代数式(a＋)÷的值为　　　　． 20.如图，在平行四边形 ABCD 中，将△ADC沿AC折叠后，点 D 恰好落在DC 延长线上的点E 处.若∠D=60°,AB=3,则AC为 . 21.如图，已知直线 与直线 的交点的横坐标为 则关于x的不等式 的解集为 . 22.对于实数m，n，定义一种新运算“※”为 这里等式右边是实数运算，例如：2※3= 则方程 的解为 . 23．如图，在中， 点E在边上且，连接，将沿进行折叠，点B的对应点为点F， 点D是的中点，连接，当时， _______． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24.阅读以下文字并解决问题： 【方法呈现】 形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x-27，就不能直接用公式法分解了，此时，我们可以在x2+6x-27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：x2+6x-27=（x2+6x+9）-9-27=（x+3）2-62=（x+3+6）（x+3-6）=（x+9）（x-3）.像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法． 同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式的最小值（或最大值）问题． 例如：x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2. 因为（x+1）2≥0， 所以（x+1）2+2≥2． 则这个代数式x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是-1． 【尝试应用】 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　； （2）借助“配方法”因式分解：a2-24a+135； （3）若M=-4a2+4a+2，求M的最大值，并求出此时a的值． 25．如图1，在四边形中，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）的条件下，如图2，若为边上一点，为边上的中点，连结，，，若，证明． (3)在（1）的条件下，若为边上的中点，为边上的一点，连结，，，若，请直接写出线段，，之间的数量关系． 26.[定义]若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形. [概念理解] (1)如图(1),四边形ABCD 是正方形,点E 在AB 上,将△BCE 绕点C 顺时针旋转,使CB 和CD 重合，此时，点E 的对应点F 在AD 的延长线上，四边形AECF 是“直等补”四边形吗?请说明理由.(请将以下过程补充完整) 解：四边形AECF 是“直等补”四边形.理由如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A=∠B=∠BCD=∠ADC=90°. 由旋转性质,得CF= , =∠BCE, ∴∠FCE=∠FCD+∠DCE=∠BCE+∠DCE=∠BCD=90°, ∴∠A+∠FCE= °, ∴四边形 AFCE 是“直等补”四边形. [性质初探] (2)如图(2),四边形ABCD 是“直等补”四边形,AD=CD,∠ABC=90°,连接BD.若AB=m,BC=n，学习小组探究发现，通过将△BCD 绕点D 顺时针旋转90°，可以求得 BD 的长(用含m，n的式子表示).请完成探究过程. [拓展应用] (3)如图(3),四边形ABCD 是“直等补”四边形,AD=CD,∠ABC=90°,连接AC,BD, 当CD 取何值时，△ABC 的面积最大?最大值是多少? 学科网（北京）股份有限公司 $