2.5.2 圆的一般方程课件-2026-2027学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学课件核心内容为圆的一般方程，通过展开圆的标准方程观察特点，推导一般形式，再经配方和判别式分析方程表示圆的条件，构建从标准方程到一般方程的学习支架。 其亮点在于以问题链引导学生用数学眼光观察方程特征，通过配方推导和分类讨论培养数学思维，例2用待定系数法、几何法等多解法体现数学语言表达。学生能深化知识理解，教师可借助丰富例题提升教学效率。

2.5.2 圆的一般方程 圆的标准方程： (x-a)2 +(y-b)2 =r2 (r>0) (a，b)为圆心， r为半径 x2 +y2 =r2 圆心在原点 二元二次方程 位置关系 图形 利用距离判断 利用方程判断 点在圆上 点在圆外 点在圆内 ＝ ＝ > > < < 2 问题1：把下列圆的标准方程展开，并观察展开后的方程有什么特点？ （1）; （2）; （3）; （4）; （5）; （1） （2） （3） （4） （5） 圆的一般方程 问题2：一般地，把展开，会得到怎样的式子？ 问题2：一般地，把展开，会得到怎样的式子？ 二次项 一次项 常数项 结论：任何一个圆的标准方程可以写成下面二元二次方程的形式： 4 思考：方程一定表示圆吗？ 试一试：判断下列方程分别表示什么图形？ （1）; （2）； （3）. 圆 点 不存在 问题3：方程中的满足什么条件时，这个方程表示圆？ 5 将方程左边配方, 并把常数项移到右边, 得 方程无实数解，所以不表示任何图形. 表示以( )为圆心， 以 为半径的圆. D2+E2-4F >0， =0， <0， 方程只有一组解 ，表示一个点( ). 6 当D2+E2-4F>0时, 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个圆, 我们把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程. 圆的一般方程的结构特征： ①关于x，y的二元二次方程，x2与y2系数都是1； ②没有xy这样的二次项； ③圆心为( , )，半径为 . 1.圆的一般方程： 2.圆的一般式方程与圆的标准式方程的不同之处： 圆的标准方程： 圆的一般方程： 圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径(重“形”). 圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程(重“数”)． 1.判断正误. (1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( ) (2)二元二次方程一定是某个圆的方程.( ) (3)方程表示圆.( ) 【答案】 2.圆的圆心坐标是( ) A. B. C. D. 9 例1 若方程表示圆，求： (1)实数的取值范围； (2)圆心坐标和半径. 解：(1)据题意知， 即，解得，故的取值范围为. (2)将方程写成标准方程为 ， 故圆心坐标为，半径. 10 例2 已知△ABC的三个顶点为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求△ABC外接圆的方程. 该三角形的外接圆满足怎样的 数量关系？如何列方程求解? 例2 已知△ABC的三个顶点为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求△ABC外接圆的方程. 解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0， ∵点A，B，C在所求的圆上，∴， 解得， 故所求圆的方程是x2＋y2－6x－2y＋5=0. 有其他解法吗？ 例2 已知△ABC的三个顶点为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求△ABC外接圆的方程. 法二：设所求圆的方程为(x – a)2 + (y – b)2 = r2 ， ∵点A，B，C在所求的圆上，∴， 解得， 故所求圆的方程是(x – 3)2 + (y – 1)2 =5 . 待定系数法 例2 已知△ABC的三个顶点为A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)，求△ABC外接圆的方程. 法三：由题可知AB的中垂线方程为y－＝x－， BC的中垂线方程为y－1＝－(x－3)， 联立两条中垂线方程,解得△ABC外接圆的圆心坐标为(3，1)， 则该外接圆的半径r＝＝， 故所求圆的方程是(x – 3)2 + (y – 1)2 =5. 几何法 通过求AB和AC的垂直平分线的交点找出圆心坐标，用距离公式求半径. 圆的方程的求法 1.待定系数法：设出圆的标准或一般方程,列出方程组，求系数 . 注意: (恰当选择圆的方程形式) ①若知道或涉及圆心和半径,一般采用圆的标准方程较简单. ②若已知三点求圆的方程,常常采用圆的一般方程用待定系数法求解. 圆的标准方程： 圆的一般方程： 2.几何法: 充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”.通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程 3.求圆心在直线上，且过点和的圆的一般方程. 解：设所求圆的一般方程为，则圆心为. ∵圆心在直线上，∴. 又∵点和在圆上， ∴. .③ 解③组成的方程组，得. ∴所求圆的一般方程为. 17 结合以下问题，回顾本节课所学知识，谈谈你的收获： 1.圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点呢？ 2.圆的方程的求法与选用？ 3.如何根据圆的一般方程判断点与方程的位置关系？ 1.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2，3)，则D，E分别为(　　) A.4，－6 B.－4，－6 C.－4，6 D.4，6 A 2.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是( ) C 4.过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的一般方程为___________________. x2＋y2－8x＋6y＝0 3.判断下列各点与圆的位置关系： (1) 点，圆: ； (2) 点，圆: ； (3) 点，圆: . （3）点在圆上 （1）点在圆内； （2）点在圆外； A. B. C. D. $