2.3.1 课时1 两条直线平行的判定课件-2026-2027学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两条直线平行的判定”，通过“过山车”钢筋平行垂直的现实情境导入，引导学生从直线位置关系出发，逐步探究利用斜率、方向向量及法向量判定平行的方法，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实问题，通过步骤化判定流程和逻辑推导培养数学思维，用方程、向量符号表达判定条件发展数学语言。包含斜率存在与否、不同方程形式的例题及一题多解，帮助学生清晰掌握判定方法，也为教师提供结构化教学方案，提升教学效率。

2.3.1 课时1 两条直线平行的判定 观察与思考：“过山车”是一项富有刺激性的娱乐项目.为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，如果把它们看成直线，那么两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？ 一、利用斜率判定两条直线平行 问题1：平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行. 当两条直线， 平行时，它们的斜率， 满足什么关系？ 一般来说“两条直线， ”指两条不重合的直线. 形 数 反之，亦成立 故 ⟹ ， 即 追问1：当两条直线斜率不存在时，这两条直线是什么关系？ 追问2：当两条直线重合时，它们的斜率有什么关系？ y x O • A B • • C 斜率证明三点共线时，常常用到这个结论. 共线 前提：斜率存在 直线，的斜率不存在，此时 显然，当=90°时， 问题2：当直线l1和l2的斜截式方程为l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2时，两直线平行的条件如何？两条直线重合的条件又如何？ 例1 判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)l1:y=3x+2， l2:y=3x+1； (2)l1:x+2y-1=0， l2:x+2y=0; (3)l1:x+2=0， l2:2x=1. 解：(1)设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， 在y轴上的截距分别为b1，b2， 则由l1，l2的方程可知k1=k2=3，且b1≠b2， 所以l1∥l2. 例1 判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (2)l1:x+2y-1-0， l2:x+2y=0; (3)l1:x+2=0， l2:2x=1. (2)设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2. 因为l1，l2的方程分别可化为 所以k1=k2= ，且b1≠b2，所以l1∥l2. (3)由l1，l2的方程可知，l1⊥x轴，l2⊥x轴， 且两条直线l1，l2在x轴上的截距不相同，所以l1∥l2. 判断两条直线是否平行的步骤 例2.已知四边形的四个顶点分别为，试判断四边形的形状，并给出证明. 解：如图，由已知可得 边所在直线的斜率，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率，边所在直线的斜率为. 画图会比较直观，便于判断和计算 ∵由kAB≠kAD，可知A不在BC上，则AD与BC不重合， 又∴ 同理由且AB与CD不重合，得 因此四边形ABCD是平行四边形. 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤： （1）描点：在坐标系中描出给定的点. （2）猜测：根据描出的点，猜测图形的形状. （3）求斜率：若斜率不存在，则直接说明；若存在，则根据给定的坐标求直线的斜率. （4）结论：由斜率之间的关系判断形状. 1× 1× =0 二、借助直线的方向向量或法向量来判定两直线平行 问题3：若直线l1和l2的斜截式方程为l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，l1l2的方向向量分别为a=(1，k1)，b=(1，k2)，若l1l2，则它们的方向向量存在怎样的关系？ 前面我们是根据斜率来判定两条直线平行，事实上也可以借助直线的方向向量或法向量来判定． 问题4：已知两条直线的一般方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，则两条直线的法向量分别为 n1= (A1，B1)，n2 = (A2，B2)．若l1//l2，能得出怎样的数量关系？ l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0平行： l1//l2 法向量平行且两直线不重合 A1= λ A2，B1= λB2，C1≠λC2． 确保两直线不重合 A1B2= A2B1，A1C2≠A2C1或B1C2≠B2C1． 例3 (1)已知直线l1：3x＋2y－6=0，l2：6x＋4y－10=0．试判断直线l1与l2是否平行． (2) 已知直线l1：ax＋2y＋3a = 0与直线l2：3x＋(a－1)y＋7－a = 0平行， 则a = ． 3 例4 求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点(1，2)的直线l的方程. 解：设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线3x＋4y＋1＝0平行，∴k＝， 又直线过点(1，2)， ∴所求直线的方程为y－2＝(x－1)，即3x＋4y－11＝0. 还有其他解法吗？ (法二)： 例3 求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点(1，2)的直线l的方程. 解：设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠1). ∵直线l经过点(1，2)， ∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11， ∴所求直线的方程为3x＋4y－11＝0. (1)求与直线y＝kx＋b平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y＝kx＋m(m≠b)，然后通过待定系数法，求参数m的值． (2)求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程时，可设直线方程为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，代入已知条件求出m即可． 注意：其中对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论． 1.已知直线l1与l2为两条不重合的直线,则下列说法正确的是(　 　) A.若l1∥l2,则斜率k1=k2 B.若斜率k1=k2,则l1∥l2 C.若倾斜角α1=α2,则l1∥l2 D.若l1∥l2,则倾斜角α1=α2 BCD 2.若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合 D 3.过点A(1，－4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为 . 4.已知直线l1：ax＋y－a＝0，l2：4x＋ay－a－2＝0，则“a＝－2”是“l1∥l2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2x+3y+10＝0 C 根据本节课所学回答下列问题： 1.直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，分别满足什么条件时，l1与l2平行和重合？ 2.直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，l1与l2平行时，方程系数有怎样的关系？ 位置关系 平行 重合 图示 k，b满足条件 k1=k2且b1≠b2 k1=k2且b1=b2 $