第2章 2.5.2 圆的一般方程（Word同步练习）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（湘教版）

**基本信息** 分层清晰，从概念理解到综合应用递进，适配新授课知识巩固与能力提升，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|圆的一般方程概念、求解及简单应用|题组化（理解/求解/应用），含选择、填空、基础解答题，如圆的方程判断、圆心求解，巩固运算能力| |能力提升练|圆的方程与不等式、轨迹、实际问题综合|综合题型（多选、压轴解答题），如阿波罗尼斯圆、航海触礁问题，培养推理能力与模型观念|

2.5.2　圆的一般方程 基础过关练 题组一　对圆的一般方程的理解 1.(2025甘肃平凉期中)已知圆x2+y2-16x+12y-96=0,则圆心位于(　　) A.第一象限　　　　　B.第二象限　　　　　 C.第三象限　　　　　D.第四象限 2.(2024江苏泰州靖江高级中学期中)若a∈,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为(　　) A.1　　　　　B.2　　　　　C.3　　　　　D.4 3.(2025重庆第一中学校入学考试)已知“m≤t”是“方程x2+y2+x-y+m=0表示圆”的必要不充分条件,则实数t的取值范围是(　　) A.(-1,+∞)　　　　　B.[1,+∞) C.(-∞,1]　　　 　　D.(-∞,-1) 4.(2025福建厦门第二中学期中)若点A(-1,1)在圆x2+y2-2x-y-a=0外,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,3)　　　　　B.(-∞,-3) C.　　　 　　D. 题组二　圆的一般方程的求解 5.(2025湖北部分省级示范高中期中)与圆x2+y2-4x+6y+3=0同圆心,且过点(1,-1)的圆的一般方程为(　　) A.x2+y2-4x+6y-8=0 B.x2+y2+4x-6y+8=0 C.x2+y2+4x-6y-8=0 D.x2+y2-4x+6y+8=0 6.(2025河南洛阳期中)已知O(0,0),A(4,3),B(1,-3),则△OAB的外接圆方程为(　　) A.x2+y2-4x-3y=0　　　　　B.x2+y2-x+3y=0 C.x2+y2-5x-5y=0　　　　　D.x2+y2-7x+y=0 7.(2024山东省实验中学期中)已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+3=0的圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限内,半径为,则圆的一般方程为　　　　　　　　.  题组三　圆的一般方程的应用 8.(2025甘肃庆阳期中)已知圆C:x2+y2+2x+my+3=0关于直线2x-y+4=0对称,则圆C的半径为(　　) A.　　　　　B.2　　　　　C.2　　　　　D.4 9.(2024浙江台州八校联盟期中)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,则x2+y2的最小值为(　　) A.2-　　　　　B.7+4　　　　　C.2+　　　　　D.7-4 10.已知AB为圆C:x2+y2-2x+2y-3=0的直径,点A的坐标为(0,1),则点B的坐标为　　　　.  11.(2024北京丰台期中)2023年以来,中国文旅市场迎来强劲复苏,某地一旅游景点为吸引游客,参照赵州桥的样式在景区内兴建圆拱桥,该圆拱桥的圆拱跨度为16 m,拱高为4 m,在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系. (1)求这座圆拱桥所在圆的方程; (2)若该景区游船的顶部宽10 m,水面以上的部分高3 m,试判断该景区游船能否从桥下通过,并说明理由.(附:≈1.732) 能力提升练 题组　圆的一般方程的求解与应用 1.(2025河北衡水二中月考)若圆x2+y2+2x-4y+1=0被直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)平分,则+的最小值为(　　) A.　　　　　B.9　　　　　C.4　　　　　D. 2.(多选题)(2025江苏徐州第三中学期中)已知圆C:x2+y2+kx-2y+k2=0,k∈R,则(　　) A.当k=0时,C的面积是π B.实数k的取值范围是 C.点(1,0)在C内 D.当C的周长最大时,C的圆心坐标是(0,-1) 3.(2024安徽合肥一中期中)已知圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),当圆C的面积最小时,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为　(　　) A.　　　　　B.6　　　　　C.-1　　　　　D.+1 4.(2025山东青岛二中期中)已知点P(7,3),圆M:x2+y2-2x-10y+25=0,点Q为圆M上一点,点S在x轴上,则|SP|+|SQ|的最小值为(　　) A.7　　　　　B.8　　　　　C.9　　　　　D.10 5.(2024湖北黄冈月考)已知两定点P,Q(m,0),如果动点M与Q,P之间的距离的比值为λ(λ>0且λ≠1),那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆,若其方程为x2+y2=4,则λ+m的值为(　　) A.-8　　　　　B.-4　　　　　 C.0　　　　 　D.4 6.(2025河北石家庄第二中学月考)过点P(-3,0)作直线2x+(λ+1)y+2λ=0(λ∈R)的垂线,垂足为M,已知点N(3,2),则当λ变化时,|MN|的取值范围是(　　) A.[0,5+]　　　　　B.[5-,5+] C.[5,5+]　　　　　D.[5-,5] 7.(2025江苏苏州张家港期中)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+mx-1的图象与坐标轴分别交于点A,B,C,记△ABC的外接圆为圆T.①当m=时,圆T的一般方程是　　　　　;②圆T恒过的两个定点是　　　　.  8.(2025江苏无锡市北高级中学期中)如图,海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东 45°方向且距O岛 40千米处,B岛在O岛的正东方向且距O岛20千米处,圆C经过O,A,B三点. (1)求圆C的方程; (2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船从O岛的南偏西 30°方向且距O岛40千米的D处出发,沿着北偏东45°方向航行,若不改变方向,则该船有没有触礁的危险?请说明理由. 答案与分层梯度式解析 第2章　平面解析几何初步 2.5　圆的方程 2.5.2　圆的一般方程 基础过关练 1.D　易得圆x2+y2-16x+12y-96=0的圆心为(8,-6),位于第四象限. 2.C　当方程表示圆时,有a2+(2a)2-4(2a2+a-1)=-3a2-4a+4>0,即(3a-2)(a+2)<0,解得-2<a<, 又a∈,所以a∈,即该方程表示的圆的个数为3. 3.B　若方程x2+y2+x-y+m=0表示圆,则3+m-4m>0,解得m<1, 因为“m≤t”是“方程x2+y2+x-y+m=0表示圆”的必要不充分条件, 所以m<1⇒m≤t,而m≤t⇒/　m<1, 所以t≥1,即t的取值范围是[1,+∞). 4.D　解法一:因为点A(-1,1)在圆x2+y2-2x-y-a=0外,所以解得-<a<3,即a的取值范围为. 解法二:圆的方程x2+y2-2x-y-a=0可化为(x-1)2+=a+, 因为点A(-1,1)在圆x2+y2-2x-y-a=0外, 所以 解得-<a<3,即a的取值范围为 5.D　设所求圆的方程为x2+y2-4x+6y+m=0(m≠3),由该圆过点(1,-1),得12+(-1)2-4×1+6×(-1)+m=0,解得m=8,所以所求圆的方程为x2+y2-4x+6y+8=0. 6.D　设△OAB的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 由题知此圆经过O(0,0),A(4,3),B(1,-3)三点,所以解得D=-7,E=1,F=0,所以△OAB的外接圆方程为x2+y2-7x+y=0. 7.答案　x2+y2+2x-4y+3=0 解析　根据题意,得圆心坐标为.∵圆心在直线x+y-1=0上, ∴---1=0,即D+E=-2.① ∵半径r==,∴D2+E2=20.② 由①②可得或 又∵圆心在第二象限内,∴ 故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 8.A　易得圆C:x2+y2+2x+my+3=0的圆心为. 因为圆C关于直线2x-y+4=0对称,所以圆心在直线2x-y+4=0上, 所以-2++4=0,解得m=-4, 故圆C:x2+y2+2x-4y+3=0,其半径为×=. 9.D　方程x2+y2-4x+1=0即(x-2)2+y2=3,圆心为(2,0),设为C,半径r=.x2+y2表示圆上的点与原点O(0,0)之间的距离的平方,又|OC|==2,所以x2+y2的最小值为(|OC|-r)2=7-4. 10.答案　(2,-3) 解析　易知圆心为AB的中点,整理x2+y2-2x+2y-3=0得(x-1)2+(y+1)2=5,所以圆心坐标为(1,-1). 设B(x0,y0),又因为A(0,1),所以解得所以点B的坐标为(2,-3). 11.解析　(1)设这座圆拱桥所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 因为该拱圆过A(-8,0),B(8,0),C(0,4), 所以解得所以所求圆的方程为x2+y2+12y-64=0,即x2+(y+6)2=100. (2)当x=5时,52+(y+6)2=100,所以y=5-6≈5×1.732-6=2.66<3, 所以该景区游船不能从桥下通过. 能力提升练 1.C　由题意得圆心(-1,2)在直线2ax-by+2=0上, 所以-2a-2b+2=0,即a+b=1, 又a>0,b>0,所以+=(a+b)=++2≥2+2=4,当且仅当=,即a=b=时取等号,所以+的最小值为4. 2.AB　对于A,当k=0时,圆C:x2+y2-2y=0,整理可得x2+(y-1)2=1,所以圆C的半径为1,所以其面积为12×π=π,故A正确; 对于B,将方程x2+y2+kx-2y+k2=0整理为标准方程,得+(y-1)2=1-k2,所以1-k2>0,解得-<k<,即实数k的取值范围为,故B正确; 对于C,由B中分析知圆C的圆心为C,半径r=,所以点(1,0)到圆心C的距离d==, 当k=0时,d=>r=1,点(1,0)在圆C外,故C错误; 对于D,可知当半径r=最大,即k=0,r=1时,圆C的周长最大,此时圆心为C(0,1),故D错误. 3.D　由x2+y2+2x-2my-4-4m=0,得(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,则圆心C的坐标为(-1,m),半径r==,可知当m=-2时,半径最小,此时圆C的面积最小,圆心为C(-1,-2),半径r=1, 因为圆心到坐标原点的距离d==>r,即原点在圆C外, 所以圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=+1. 4.C　整理圆M的方程得(x-1)2+(y-5)2=1,所以圆心为M(1,5),半径为1. 作点P(7,3)关于x轴的对称点P'(7,-3), 连接MP',交圆M于点Q,交x轴于点S,连接SP,则|SP|+|SQ|=|SP'|+|SQ|,可知此时|SP|+|SQ|的值最小, 故(|SP|+|SQ|)min=|P'M|-r=|P'M|-1=-1=9. 5.B　设M(x,y),由=λ(λ>0且λ≠1),得=λ,所以x2-2mx+m2+y2=λ2x2+λ2x+λ2+λ2y2,所以x2+y2-x=,又M的轨迹方程为x2+y2=4,所以=0且=4,解得m=-(舍去)或m=-8,所以λ2=-2×(-8)=16,所以λ=4,所以λ+m=-4. 6.B　直线2x+(λ+1)y+2λ=0(λ∈R),即(2x+y)+λ(y+2)=0, 由得故直线经过定点(1,-2),记为Q. 易知M在以PQ为直径的圆上运动, 可得圆心为PQ的中点(-1,-1),记为H,半径r=|PQ|=, 则N(2,3)与M之间的距离的最大值为|NH|+r=+=5+, 则N(2,3)与M之间的距离的最小值为|NH|-r=-=5-, 故|MN|的取值范围为[5-,5+]. 7.答案　x2+y2+-1=0 ;(0,1),(0,-1) 解析　①当m=时,不妨设二次函数y=x2+x-1的图象与两坐标轴分别交于点A(-2,0),B,C(0,-1),设圆T的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),把A,B,C的坐标分别代入此方程,得解得D=,E=0,F=-1,所以圆T的一般方程为x2+y2+-1=0. ②设所求圆的一般方程为x2+y2+D'x+E'y+F'=0(D'2+E'2-4F'>0), 令y=0,得x2+D'x+F'=0,由题意可得,这与x2+mx-1=0是同一个方程, 故D'=m,F'=-1. 令x=0,得y2+E'y+F'=0,由题意可得,此方程有一个根为-1, 代入此方程得出E=0,所以圆T的一般方程为x2+y2+mx-1=0, 当x=0时,y=1或-1,故圆T恒过定点(0,1),(0,-1). 8.解析　(1)由题意得A(40,40),B(20,0), 设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 因为圆C经过O,A,B三点, 所以解得 显然D2+E2-4F>0,所以圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0. (2)该船有触礁的风险. 由题意得D(-20,-20),且该船的航线所在的直线l的斜率为1,故直线l的方程为x-y+20-20=0, 由(1)知圆C的圆心为C(10,30),半径r=10, 所以圆心C到直线l的距离d==10<10, 所以该船有触礁的危险. 7 学科网（北京）股份有限公司 $