2.3.1 课时2 两条直线垂直的判定课件-2026-2027学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“两条直线垂直的判定”，涵盖斜率关系、方向向量与法向量应用及不同方程形式的垂直条件。通过问题导入回顾平行重合知识，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生逐步深入。 其亮点在于以数学思维为核心，通过倾斜角推导斜率乘积关系培养逻辑推理，结合方向向量法向量点积深化数学抽象。实例丰富如判断三角形形状、求参数值，总结设方程技巧，助力学生提升应用能力，教师可高效开展教学。

2.3.1 课时2 两条直线垂直的判定 当直线l1和l2的斜截式方程为l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2时，当存在以下位置关系时，有： 如果是垂直呢？ 问题1：当直线与直线垂直时，它们的斜率与之间有什么关系？请画出相应的示意图. 两种情况： （1）斜率都存在; （2）有一条直线斜率不存在 一、利用斜率判定两条直线垂直 α1 α2 (1)若直线l1，l2有一条直线的斜率都存在，那么直线l1，l2的倾斜角α1，α2中必定一个是锐角，另一个是钝角. 反之，如果k1k2＝-1，那么l1⊥l2. 不妨设α2是钝角，则α2＝α1＋，从而 k2tan α2tan(α1+) ， 即k1k2＝-1. （2）若与中某条直线的斜率不存在： 由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于； 反之，如果两条直线的斜率之积等于，那么它们互相垂直. 即 不妨设直线的斜率不存在，即的倾斜角为90°,若 ，则的倾斜角为0°，即. 问题2：设直线l1的方向向量、法向量分别是m1，n1，l2的方向向量、法向量分别是m2，n2，如果l1⊥l2，则m1、m2之间，n1、n2之间分别有什么关系？ ①l1⊥l2⇔m1⊥m2⇔n1⊥n2； ②l1⊥l2⇔m1·m2＝0⇔n1·n2＝0. 二、借助直线的方向向量或法向量来判定两直线垂直 若两直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2. 方向向量m1=(1，k1)，m2=(1，k2) 问题2：设直线l1的方向向量、法向量分别是m1，n1，l2的方向向量、法向量分别是m2，n2，如果l1⊥l2，则m1、m2之间，n1、n2之间分别有什么关系？ l1⊥l2⇔k1k2＝-1 l1⊥l2⇔m1·m2＝0，即1+k1k2＝0 若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 法向量n1=(A1，B1)，n2=(A2，B2) 设直线l1的方向向量、法向量分别是m1，n1，l2的方向向量、法向量分别是m2，n2，如果l1⊥l2，则m1、m2之间，n1、n2之间分别有什么关系？ l1⊥l2⇔n1·n2＝0，即A1A2+B1B2＝0 两条直线的垂直 (1)设直线l1，l2的方程分别为y=k1x+b1，y=k2x+b2，则l1⊥l2⇔k1k2=-1. (2)设直线l1，l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0(A1，B1不同时为零，A2，B2不同时为零)，则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0. 例1 已知三点，试判断的形状. 解：边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率 由，得即 ∴是直角三角形. 1.已知直线经过点，直线经过点 ①若，则= ； ②若，则= . 解：据题意， ①若，则即解得或 . 经检验，当或时，. ②若，当时，，此时，，不符合题意. 当时，的斜率存在，此时由得 解得或∴当或时，. 例2 已知 λ ≠－1，求 λ 取何值时，直线l1：2x+(λ+1)y=2， l2：λx+y=1： (1)重合； (2)平行； (3)垂直． 解：直线l1，l2的方程可以分别化为 （1）重合 因此直线l1的斜率 在y轴上的截距 直线l2的斜率k2 =－λ，在y轴上的截距b2 =1． 12 （2）平行 （3）垂直 你还能想到更 简单的方法吗？ 例2 已知 λ ≠－1，求 λ 取何值时，直线l1：2x+(λ+1)y=2， l2：λx+y=1： (1)重合； (2)平行； (3)垂直． 解：直线l1，l2的方程可以分别化为 因此直线l1的斜率 在y轴上的截距 直线l2的斜率k2 =－λ，在y轴上的截距b2 =1． 13 （3）垂直 解：（1）重合 （2）平行 例2 已知 λ ≠－1，求 λ 取何值时，直线l1：2x+(λ+1)y=2， l2：λx+y=1： (1)重合； (2)平行； (3)垂直． 14 直线的 l1，l2 的一般式方程为, , 一般式方程系数的满足以下关系，l1 与 l2 平行、相交、垂直、重合： （i）若且，l1//l2； （ii）若，l1 与 l2 相交； （iii）若A1A2+B1B2=0，l1⊥l2； （iv），l1 与 l2 重合. 2.(1)已知直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，则实数a= . (2)已知直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0垂直，则实数a= . －6 1或-1 例3 求经过点A(2，1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程. 解：(方法一)设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直，∴k·(－2)＝－1，∴k＝， 又∵直线l经过点A(2，1)，∴直线l的方程为y-1＝(x－2)，即x－2y＝0. (方法二)设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. ∵直线l经过点A(2，1)，∴2－2×1＋m＝0， ∴m＝0. ∴直线l的方程为x－2y＝0. (1)求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在且斜率不为0，则利用斜率乘积等于－1求斜率；若不存在，则所求直线斜率为0，然后用点斜式求直线方程；若斜率为0，则所求直线斜率不存在. (2)与直线l1：Ax＋By＋C1＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0，其中A，B不全为0. 根据本节课所学，回答下列问题： 1.设直线l1：y=k1x+bl，l2：y=k2x+b2，满足什么条件时，l1与l2垂直？ 2.设直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，满足什么条件时，l1与l2垂直？ 1.已知直线l1的倾斜角为30°，且直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　) A. B. C. D. C 2.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2 的位置关系是（ ） A.平行 B.垂直 C.可能重合 D.无法确定 B 3.已知点A(2，3)，B(4，1)，直线x－2y＋4＝0与y轴相交于点C，则△ABC中AB边上的高CE所在直线的方程是( ) A.x＋y－2＝0 B.x＋y＋2＝0 C.x－y＋2＝0 D.x－y－2＝0 C 4.已知在平行四边形ABCD 中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4). (1)求点D的坐标. (2)试判断平行四边形ABCD是否为菱形. 位置关系 平行 重合 图示 k，b满足条件 k1=k2且b1≠b2 k1=k2且b1=b2 $