2.3.1 两条直线平行与垂直的判定（教学课件）数学湘教版选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第二章 平面解析几何初步 2.3.1 两条直线平行与垂直的判定 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.根据直线的斜率来判定两条不重合直线的平行与垂直（重点） 2.会利用垂直与平行的关系求直线的方程（重点、难点） 3.根据直线的方向向量、法向量来判定两条不重合直线的平行与垂直（重点） 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱 子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互 相平行，你能感受到过山车中的平行吗？两条直 线的平行用什么来刻画呢？ 情景导入 设在xOy平面上的两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，它们的方程分别是 y=k1x＋b1和 y=k2x＋b2． 平面几何中讲到，两直线与第三条直线相交，则这两条直线平行的充分必要条件是同位角相等． 设两条直线的倾斜角分别为α1，α2． 新知探究 5 首先，我们来研究两条直线平行（不重合）的情形． 如果l1//l2，则α1=α2，从而 tanα1=tanα2，即k1=k2=k． 此时，两条直线的方程分别为 y=k1x＋b1， y=k2x＋b2，并且b1≠b2． 反之，若k1=k2，并且b1≠b2，则l1//l2． 由此得到 显然，根据上述结论，可以得到∶ 若k1=k2，并且b1=b2，那么两条直线重合． l1//l2 k1=k2 且 b1≠b2． 6 如果两条直线斜率都不存在，它们都与 x 轴垂直但在 x 轴上的截距不同，则这两条直线平行，如图． 如果两条直线斜率都不存在，它们都与 x 轴垂直且在 x 轴上的截距相同，则这两条直线重合． 当l1，l2斜率都存在时， k1=k2 且 b1≠b2． 当l1，l2斜率都不存在时， 横截距不相等． 综上可得： l1//l2 7 例1 已知直线l1：3x＋2y－6=0，l2：6x＋4y－10=0．试判断直线l1与l2是 否平行． 课本例题 8 例2 已知四边形的四个顶点分别为O(0，0)， A(1，3)， B(−3，2)， C(−4，−1)，试判断四边形OABC的形状，并说明理由． 课本例题 9 除平行外，生活中也存在很多垂直关系，比如十字路口，黑板相邻两边等等，上节课我们学习了两条直线平行的判定 方法，研究了两条平行直线的倾斜角之间的关 系，当斜率存在时，斜率也有联系，那么两条 垂直直线的倾斜角和斜率是否也有关系呢？ 情景导入 设在xOy平面上的两条直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，它们的斜率 分别为k1，k2． 因此，当两直线的斜率都存在时，可得到 新知探究 11 如果两条直线l1，l2中的一条斜率不存在，另一条的斜率为零，（即一条垂直于 x 轴，垂直于 y 轴）那么这两条直线也垂直． 当l1，l2斜率都存在时，k1 k2 = －1． 当l1，l2中有一条斜率不存在时，另一条的斜率为零． 综上可得： l1⊥l2 12 例3 如图，已知平面直角坐标系中三点A(4，3)，B(2，1)，C(5，−2)． 证明：△ABC是直角三角形． 证明：由条件可知， 因为kAB∙kBC=－1， 所以AB⊥BC，即△ABC是直角三角形． 课本例题 13 例4 已知 λ ≠－1，求 λ 取何值时，直线l1：2x+(λ+1)y=2， l2：λx+y=1： (1)重合； (2)平行； (3)垂直． 解：直线l1，l2的方程可以分别化为 因此直线l1的斜率 在y轴上的截距 直线l2的斜率k2 =－λ，在y轴上的截距b2 =1． （1）重合 课本例题 14 例4 已知 λ ≠－1，求 λ 取何值时，直线l1：2x+(λ+1)y=2， l2：λx+y=1： (1)重合； (2)平行； (3)垂直． 解：直线l1，l2的方程可以分别化为 因此直线l1的斜率 在y轴上的截距 直线l2的斜率k2 =－λ，在y轴上的截距b2 =1． （2）平行 课本例题 15 例4 已知 λ ≠－1，求 λ 取何值时，直线l1：2x+(λ+1)y=2， l2：λx+y=1： (1)重合； (2)平行； (3)垂直． 解：直线l1，l2的方程可以分别化为 因此直线l1的斜率 在y轴上的截距 直线l2的斜率k2 =－λ，在y轴上的截距为b2 =1． （3）垂直 课本例题 16 例4 已知 λ ≠－1，求 λ 取何值时，直线l1：2x+(λ+1)y=2， l2：λx+y=1： (1)重合； (2)平行； (3)垂直． （3）垂直 （1）重合 （2）平行 课本例题 17 我们知道斜率、方向向量、法向量都是刻画直线方向的几何要素，前面我们是根据斜率来判定两条直线平行，事实上也可以借助直线的方向向量或法向量来判定． 已知两条直线的一般方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0， 则两条直线的法向量分别为 n1= (A1，B1)，n2 = (A2，B2)． 判断两条直线平行 l1//l2 法向量平行且两直线不重合 A1= λ A2，B1= λB2，C1≠λC2． 确保两直线不重合 新知探究 18 我们知道斜率、方向向量、法向量都是刻画直线方向的几何要素，前面我们是根据斜率来判定两条直线平行，事实上也可以借助直线的方向向量或法向量来判定． 已知两条直线的一般方程分别为l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0， 则两条直线的法向量分别为 n1= (A1，B1)，n2 = (A2，B2)． 判断两条直线垂直 l1⊥l2 法向量垂直 (A1，B1)∙(A2，B2) = A1A2＋B1B2 = 0． l1⊥l2 方向向量垂直 (1，k1)∙(1，k2) =1＋k1 k2= 0 k1 k2=－1． 19 例5 求过点(－3，4)，且与直线l：3x－4y＋29=0平行的直线． 课本例题 20 例5 求过点(－3，4)，且与直线l：3x－4y＋29=0平行的直线． 解：设所求直线的方程为3x－4y＋C =0 (C ≠ 29)． 因为过点(－3，4)， 所以 3×(－3)－4×4＋C =0， 解得C = 25． 因此，所求直线的方程为3x－4y＋25 =0 ． 与Ax＋By＋C=0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C′ =0（C′ ≠ C）． 课本例题 21 例5变式 求过点(－3，4)，且与直线l：3x－4y＋29=0垂直的直线． 求斜率后可用点斜式 22 例5变式 求过点(－3，4)，且与直线l：3x－4y＋29=0垂直的直线． 解：设所求直线的方程为4x＋3y＋C =0． 因为过点(－3，4)， 所以 4×(－3)＋3×4＋C =0， 解得C = 0． 因此，所求直线的方程为4x＋3y =0 ． 与Ax＋By＋C=0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C′ =0． 23 例3　已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，P(－1，a－2)，若l1⊥l2，则a的值为________． 解析：当直线l1的斜率存在时， 则由l1⊥l2知k1·k2＝－1 即＝－1，解得a＝0 当直线l1的斜率不存在时， 则a－2＝3，得a＝5， 此时k2＝0，故l1⊥l2. 综上a的值为0或5. 易错辨析　忽视直线斜率不存在的情况致错 错因分析 0或5 本题容易由k1·k2＝－1得a＝0而出错，误认为直线l1的斜率存在. 已知点的坐标中有参数的，首先判断直线的斜率是否存在，本题中直线l1的斜率就要分存在与不存在两种情况解答. 错因分析 题型1　两条直线平行的判定与应用 典例剖析 典例剖析 典例剖析 看斜率 相等？ 提醒：若已知直线上点的坐标，判断直线是否平行时，要考虑直线重合的情况． 平行 平行 不平行 都不存在 是 否 归纳总结 (1)l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，l2经过点M(1,1)，N(2,1)， 判断l1与l2是否垂直； (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)， 直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值． 题型2　两条直线垂直的判定与应用 典例剖析 典例剖析 典例剖析 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤 (1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步． (2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式． (3)三求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式对参数进行讨论． 提醒：若已知点的坐标含有参数，利用两条直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率是否存在． 归纳总结 　如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD＝5 m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？ 典例剖析 　题型3　平行与垂直的综合应用 典例剖析 利用坐标法解决实际问题的三个步骤 (1)建立恰当的直角坐标系． (2)将“形”转化为“数”进行运算． (3)将计算结果转化为实际问题所求解的问题． 提醒：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解． 归纳总结 已知直线l1经过A(3，m)，B(m－1,2)， 直线l2经过点C(1,2)，D(－2，m＋2)． (1)若l1∥l2，求m的值； (2)若l1⊥l2，求m的值． 题型四 由两条直线平行、垂直的条件求参数的值 典例剖析 1．两条直线平行时关注是否重合 由于斜率相等的两条直线可能平行，也可能重合，所以由两条直线平行得斜率相等，求参数的值后要注意检验，如本题中m＝1或m＝6时，经检验l1与l2不重合． 归纳总结 归纳总结 2．注意两条直线平行、垂直的特殊情况 解决平行与垂直时要注意以下两种情况： 一是两条直线的斜率都不存在时两条直线平行； 二是斜率为零的直线与斜率不存在的直线互相垂直． 因此解答此类问题时要注意分析斜率是否存在，如本例中注意到直线l2的斜率k2＝－可以回避复杂讨论，k2＝0时，直线l1的斜率存在证明了此时两条直线不垂直. 1．若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合 D 分层练习-基础 C 41 分层练习-基础 A B 分层练习-基础 5．已知△ABC中，A(0,3)，B(2，－1)，E，F分别为AC，BC的中点，则直线EF的斜率为________． 7．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四个结论： ①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC∥BD；④AC⊥BD．其中正确的序号有________． -2 ±2 ①②④　 分层练习-基础 8．已知A(1,5)，B(－1,1)，C(3,2)，若四边形ABCD是平行四边形，求D点的坐标． 分层练习-基础 9．已知点M(2,2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的点P的坐标． (1)∠MOP＝∠OPN(O是坐标原点)； (2)∠MPN是直角． 分层练习-基础 分层练习-巩固 10．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是(　　) ①l1的斜率为2，l2过点A(1,2)，B(4,8)，且l1不经过A点； ②l1经过点P(3,3)，Q(－5,3)，l2平行于x轴，但不经过P点； ③l1经过点M(－1,0)，N(－5，－2)，l2经过点R(－4,3)，S(0,5)． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 11．(多选)已知A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与CD平行，则m的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 D BC 分层练习-拓展 12．如图，在平面直角坐标系Oxy中，设△ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，点P(0，p)为线段AO上的一点(异于端点)，这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F.若BE⊥AC，求证：CF⊥AB． 分层练习-拓展 课堂小结 两直线平行于垂直的判定 平行 垂直 斜率相等 斜率都不存在 斜率之积等于-1 一条直线斜率为0，另一条斜率不存在 　根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，eq \r(3))，N(－2，－2eq \r(3))； (3)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)； (4)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2，3)． 解：(1)由题意知k1＝eq \f(5－1,－3－2)＝－eq \f(4,5)，k2＝eq \f(－7＋3,8－3)＝－eq \f(4,5)， 所以l1与l2重合或平行． 因为kBC＝eq \f(5－－3,－3－3)＝－eq \f(4,3)≠－eq \f(4,5)， 所以A，B，C，D四点不共线．所以l1∥l2. (2)由题意知k1＝tan 60°＝eq \r(3)，k2＝eq \f(－2\r(3)－\r(3),－2－1)＝eq \r(3)， 因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合． (3)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2. (4)由题意知k1＝eq \f(－1－1,－2－0)＝1，k2＝eq \f(3－4,2－3)＝1，所以l1与l2重合或平行． 因为kFG＝eq \f(4－－1,3－－2)＝1. 所以E，F，G，H四点共线，即l1与l2重合． 解：(1)直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)由题意，知l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在． 当l1的斜率不存在时，3＝a－2，即a＝5，此时k2＝0， 则l1⊥l2，满足题意． 当l1的斜率k1存在时，a≠5， 由斜率公式，得k1＝eq \f(3－a,a－2－3)＝eq \f(3－a,a－5)， k2＝eq \f(a－2－3,－1－2)＝eq \f(a－5,－3). 由l1⊥l2，知k1·k2＝－1， 即eq \f(3－a,a－5)×eq \f(a－5,－3)＝－1，解得a＝0. 综上所述，a的值为0或5. 解：如图，以点B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系．由AD＝5 m，AB＝3 m，可得C(5,0)，D(5,3)，A(0，3)． 设点M的坐标为(x,0)， 因为AC⊥DM， 所以kAC·kDM＝－1. 所以eq \f(3－0,0－5)×eq \f(3－0,5－x)＝－1，即x＝eq \f(16,5)＝3.2. 故当BM＝3.2 m时，两条小路AC与DM相互垂直． 由题意知直线l2的斜率存在， k2＝eq \f(2－m＋2,1－－2)＝－eq \f(m,3). (1)若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2，得 eq \f(m－2,3－m－1)＝－eq \f(m,3)，解得m＝1或m＝6. 经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2. (2)若l1⊥l2，当k2＝0时，此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意； 当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线的l1斜率也存在，且k1·k2＝－1， 即eq \f(m－2,3－m－1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,3)))＝－1， 解得m＝3或m＝－4. 所以m＝3或m＝－4时，l1⊥l2. 2．已知直线l与过点M(－，)，N(，－)的直线垂直，则直线l的倾斜角是(　　) A．60° B．120° C．45° D．135° 3．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2,1)，且与斜率为－的直线垂直，则实数a的值是(　　) A．－ B．－ C． D． 4．已知l1的斜率是2，l2过点A(－1，－2)，B(x,6)，且l1∥l2，则logx＝(　　) A． B．－ C．2 D．－2 6．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2的斜率k2＝m2＋－4，若l1∥l2，则m的值为________． 解：设D(x，y)，则kAB＝＝2，kCD＝. 由AB∥CD，得＝2，即y＝2x－4①. 又kAD＝，kBC＝＝， 因为AD∥BC，所以＝， 即x－4y＋19＝0②. 由①②解得 所以D点的坐标为(5,6)． 解：设P(x,0)． (1)因为∠MOP＝∠OPN， 所以OM∥NP，所以kOM＝kNP. 又kOM＝＝1，kNP＝＝(x≠5)， 所以1＝. 所以x＝7，即点P的坐标为(7,0)． (2)因为∠MPN＝90°， 所以MP⊥NP. 根据题意知MP，NP的斜率均存在， 所以kMP·kNP＝－1. kMP＝(x≠2)，kNP＝(x≠5)， 所以×＝－1， 解得x＝1或x＝6， 故点P的坐标为(1,0)或(6,0)． 证明：根据点B(b,0)和点P的坐标(0，p)写出直线BP的斜率为－. 由点A(0，a)和C(c,0)写出直线AC的斜率为－. 因为BE⊥AC，所以·＝－1，即pa＝－bc. 而由C(c,0)和P(0，p)，得直线CP的斜率为－， 由A(0，a)和B(b,0)，得直线AB的斜率为－， 故斜率之积为·＝＝＝－1. 所以CF⊥AB． $$