第2章 2.3.1 第2课时 两条直线垂直的判定（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学课件聚焦两条直线垂直的条件及应用，通过十字路口等生活实例导入，衔接上节课平行知识，以问题引导倾斜角与斜率关系探究，搭建学习支架。 其亮点是结合生活实例培养数学眼光，通过逻辑推理和几何直观发展数学思维，如用斜率关系判定直角梯形，以例题和综合应用训练数学语言表达。帮助学生深化理解，提升解题能力，为教师提供清晰教学路径。

第2课时 第2章 <<< 两条直线垂直的判定 1.理解并掌握两条直线垂直的条件. 2.会运用条件判定两条直线是否垂直. 3.运用两条直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题. 学习目标 除平行外，生活中也存在很多垂直关系，比如十字路口，黑板相邻两边等等，上节课我们学习了两条直线平行的判定方法，研究了两条平行直线的倾斜角之间的关系，当斜率存在时，斜率也有联系，那么两条垂直直线的倾斜角和斜率是否也有关系呢？ 导 语 一、两条直线垂直关系的判定 二、求与已知直线垂直的直线方程 课时对点练 三、 直线平行与垂直的综合应用 随堂演练 内容索引 两条直线垂直关系的判定 一 若两条垂直直线的斜率都存在，那么它们的斜率有怎样的关系呢？ 问题1 反过来，如果两条直线斜率的乘积为－1，这两条直线互相垂直吗？ 问题2 提示　两条直线互相垂直. 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔_________ l1与l2中的一条斜率_______，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示     1.两条直线垂直的判定 k1k2＝－1 不存在 知识梳理 2.已知不重合的两条直线的一般式方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则(A1，B1)，(A2，B2)分别是l1，l2的法向量，则l1⊥l2⇔法向量垂直⇔(A1，B1)·(A2，B2)＝0⇔A1A2＋B1B2＝0. (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在. (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率. 注 意 点 <<< 10 　　　判断下列两条直线是否垂直，并说明理由： (1)l1：y＝－x＋2，l2：y＝x＋5； 例 1 ∵k1＝－1，k2＝1， ∴k1k2＝－1，则l1⊥l2. 11 (2)l1：2x＋3y＝10，l2：3x－2y＝5； ∴k1k2＝－1，则l1⊥l2. (3)l1：y＝2 023，l2：x＝2 024. ∵l1的斜率为0，l2的斜率不存在， ∴l1⊥l2. 12 (1)在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可. (2)若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. (3)若两条直线的法向量垂直，则这两条直线垂直. 反 思 感 悟 判断两条直线是否垂直的方法 13 　　　　　判断下列两直线是否垂直. (1)直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A(10,2)，B(20,3)； 跟踪训练 1 14 (2)直线l1经过点A(3,4)，B(3,7)，直线l2经过点P(－2,4)，Q(2,4)； 直线l1的斜率不存在，故l1与x轴垂直，直线l2的斜率为0，故直线l2与x轴平行，所以l1与l2垂直. (3)直线l1的法向量为(1,2)，直线l2的法向量为(2，－1). 因为1×2－1×2＝0，所以l1与l2的法向量垂直，所以l1与l2垂直. 15 二 求与已知直线垂直的直线方程 　　　求经过点A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程. 例 2 17 方法一　设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线2x＋y－10＝0垂直， 又直线l经过点A(2,1)， 即x－2y＝0. 18 方法二　设与直线2x＋y－10＝0垂直的直线方程为x－2y＋m＝0. ∵直线l经过点A(2,1)， ∴2－2×1＋m＝0，∴m＝0， ∴所求直线l的方程为x－2y＝0. 19 反 思 感 悟 求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率，若原直线斜率存在且不为0，利用斜率乘积等于－1求斜率；若不存在，则所求斜率为0，然后用点斜式求直线方程；若斜率为0，则所求直线斜率不存在. 　　　　　(1)与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的方程为 跟踪训练 2 √ 21 (2)已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上的高所在直线的方程为______________. 3x－5y＋15＝0 设BC边上的高为AD，则BC⊥AD， 22 直线平行与垂直的综合应用 三 　　　已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状. 例 3 24 A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图， 由斜率公式可得 ∴kAB＝kCD，且直线AB与CD不重合， ∴AB∥CD. 由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行. 25 ∴AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形. 26 反 思 感 悟 (1)利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤 反 思 感 悟 (2)判定几何图形形状的注意点 ①在顶点确定的前提下，判定几何图形的形状时，要先画图，猜想其形状，以明确证明的目标. ②证明两直线平行时，仅有k1＝k2是不够的，还要注意排除两直线重合的情况. ③判断四边形形状，要依据四边形的特点，并且不会产生其他的情况. 　　　　　已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形. 跟踪训练 3 29 设所求点D的坐标为(x，y)， 如图所示，由于kAB＝3， kBC＝0， ∴kAB·kBC＝0≠－1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰. (1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD， AD⊥CD， 30 ∵kBC＝0， ∴CD的斜率不存在，从而有x＝3. 又kAD＝kBC， 故所求点D的坐标为(3,3). 31 (2)若AD是直角梯形的直角腰， 则AD⊥AB，AD⊥CD， 32 33 1.知识清单： (1)两直线垂直的条件. (2)求与已知直线垂直的直线方程. (3)直线平行与垂直的综合应用. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：研究两直线垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋2y－2＝0互相垂直，则实数a的值是 A.1 B.－1 C.4 D.－4 √ 2.(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为 1 2 3 4 √ 当a＝0时，l2的斜率不存在. √ 1 2 3 4 设经过点A(3,4)且垂直于直线x－2y－1＝0的直线的一般式方程为2x＋y＋m＝0，把点A的坐标代入可得6＋4＋m＝0，解得m＝－10，故所求直线方程为2x＋y－10＝0. 3.过点A(3,4)且与直线l：x－2y－1＝0垂直的直线的方程为 A.2x＋y－10＝0 B.x＋2y－11＝0 C.x－2y＋5＝0 D.x－2y－5＝0 √ 1 2 3 4 所以直线CD的斜率存在. 则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1， 4.已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D的坐标为_______时，AB⊥CD. (－9,0) 课时对点练 五 1.直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是 A.平行 B.垂直 C.可能重合 D.无法确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立. 故方程有两个不同的实数根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在.设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2. 3.若直线l1的斜率k1＝ ，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为 A.1 　　　　B.3 　　　　C.0或1 　　　　D.1或3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为l1⊥l2， 所以k1k2＝－1， 解得a＝1或a＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知直线l经过点P(2,1)，且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则直线l的方程为 A.2x＋3y－7＝0 B.3x＋2y－8＝0 C.2x－3y－1＝0 D.3x－2y－4＝0 √ 5.若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为 A.－12 B.－2 C.0 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由2m－20＝0，解得m＝10. 由垂足(1，p)在直线10x＋4y－2＝0上，代入得p＝－2， 所以垂足坐标为(1，－2). 又垂足在直线2x－5y＋n＝0上，代入得n＝－12. 6.已知A(1，－1)，B(2,2)，C(3,0)三点，且有一点D满足CD⊥AB，CB∥AD，则点D的坐标为 A.(－1,0) B.(0，－1) C.(1,0) D.(0,1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设D(x，y)， 又CD⊥AB，CB∥AD， 因为直线l1的斜率k1＝1，且直线l2⊥l1， 则直线l2的斜率k＝－1， 所以直线l2的倾斜角为135°. 7.已知直线l1的斜率为1，若直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 135° 8.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝_____，若l1∥l2，则m＝____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －2 2 9.(1)直线l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，知直线l2的斜率k2一定存在， 直线l1的斜率可能不存在. 当直线l1的斜率不存在时，3＝a－2， 即a＝5，此时k2＝0，则l1⊥l2，满足题意. 当直线l1的斜率k1存在时，a≠5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由l1⊥l2，知k1k2＝－1， 综上所述，a的值为0或5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4). (1)求点D的坐标； 设点D坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)试判定▱ABCD是否为菱形. 所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形. C.是以A点为直角顶点的直角三角形 D.是以B点为直角顶点的直角三角形 11.(多选)以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形，下列结论正确的有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)设平面内四点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，则下面四个结论正确的是 A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.PR⊥QS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意计算得， ∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS， ∴PS与QS不平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3，2)，则其顶点A的坐标为_____________. (－19，－62) 设A(x，y)，因为AC⊥BH，AB⊥CH， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知m，n为正数，且直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直，则m＋2n的最小值为____. 9 ∵直线x－(n－2)y＋5＝0与直线nx＋my－3＝0互相垂直， ∴n－(n－2)m＝0，∴2m＋n＝mn， 当且仅当m＝n＝3时取等号，故m＋2n的最小值为9. 15.直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，∵直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， ∴直线l1的斜率 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值. (1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)； ∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0. 又∵直线l1过点(－3，－1)， ∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵直线l2的斜率存在，l1∥l2， (2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等. 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， 提示　如图，如果直线l1⊥l2(l1，l2都不与x轴垂直)，那么直线l1，l2的倾斜角α1，α2中必定一个是锐角，另一个是钝角.不妨设α2是钝角，则α2＝α1＋，从而k2＝tan α2＝tan＝－＝－，即k1k2＝－1. ∵k1＝－，k2＝， 直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，因为k1k2＝－10×＝－1，所以l1与l2垂直. ∴k·(－2)＝－1，∴k＝， ∴所求直线l的方程为y－1＝(x－2)， A.y＝x＋4 B.y＝2x＋4 C.y＝－2x＋4 D.y＝－x＋4 直线y＝2x＋1的斜率k1＝2，则与直线y＝2x＋1垂直的直线的斜率k2＝－，因为在y轴上的截距为4，所以直线的方程为y＝－x＋4. 所以kAD·kBC＝－1，因为kBC＝＝－， 所以－·kAD＝－1，解得kAD＝， 所以BC边上的高所在直线的方程为y－0＝(x＋5)，即3x－5y＋15＝0. kAB＝＝，kCD＝＝， kAD＝＝－3，kBC＝＝－， 又kAB·kAD＝×(－3)＝－1， ∴＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行， 解得 ∵kAD＝，kCD＝， ∴ ∴点D的坐标为. 综上，点D的坐标为(3,3)或. 两直线的斜率分别为－，－，依题意得×＝－1，解得a＝－4. A. B.－ C.a D.不存在 当a≠0时，由k1k2＝－1知，k2＝－， 所以4·＝－1，解得x＝－9，所以D(－9,0). 设点D(x,0)，因为kAB＝＝4≠0， A.－ B. C.－ D. 如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，因为直线l1⊥l2，所以l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°，则l2的斜率为tan 120°＝－tan 60°＝－. 即×＝－1， 由题意知，直线2x＋3y＋1＝0的斜率k＝－，故kl＝，所以直线l的方程为y－1＝(x－2)，整理得3x－2y－4＝0. 则kCD＝＝，kAD＝， kAB＝＝3，kCB＝＝－2， ∴∴ ∴∴即D(0,1). 直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，则m≤2，所以k1k2＝，若l1⊥l2，则k1k2＝＝－1，得m＝－2；若l1∥l2，则k1＝k2，所以Δ＝16－8m＝0，解得m＝2. 由斜率公式，得k1＝＝， k2＝＝. 即×＝－1，解得a＝0. 所以解得所以D(－1,6). 因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1， A.kAB＝－ B.kBC＝－ 由题意得kAB＝＝－，kBC＝＝－5，故A正确，B错误； 又kAB·kBC＝－×(－5)≠－1，∴△ABC不是以B点为直角顶点的直角三角形，故D错误； kAC＝＝，又kAC·kAB＝×＝－1，∴△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形，故C正确. kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝， 且kBH＝－，kCH＝－， 所以解得所以A(－19，－62). ∴＋＝1，∴m＋2n＝(m＋2n) ＝5＋＋≥5＋2＝9， 4＋ k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－. ∴＝＝－，解得m＝4＋. ∴直线l1的斜率存在，∴k1＝k2，即＝1－a. ∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b. 故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2. $