2.3.1 两条直线平行与垂直的判定-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第2章 平面解析几何初步 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 2．3　两条直线的位置关系 2．3．1　两条直线平行与垂直的判定 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 k1＝k2 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 k1·k2＝－1 l1⊥l2 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 综合应用 素养提升 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 随堂演练 对点落实 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 课 时 精 练（十八） 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 谢谢观看！ 第2章　平面解析几何初步 数 学 选择性必修 第一册 综 合 应 用 随 堂 演 练 课 时 精 练 [学习目标]　1．理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件．2．会运用条件判定两直线是否平行或垂直．3．运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题． 知识点一　两条直线平行的判定 [问题导引1]　在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ 提示：　两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． [问题导引2]　平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示：　两直线平行，倾斜角相等． 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 a1＝a2≠90° a1＝a2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔__________ l1∥l2⇐两直线斜率都不存在 图示 判断下列各对直线是否平行，并说明理由． (1)l1：3x＋5y－6＝0，l2：6x＋10y＋3＝0； (2)l1：x＝2，l2：x＝4． 解析：　(1)将两直线方程各化为斜截式： l1：y＝－eq \f(3,5)x＋eq \f(6,5)，l2：y＝－eq \f(3,5)x－eq \f(3,10)． 则k1＝－eq \f(3,5)，b1＝eq \f(6,5)；k2＝－eq \f(3,5)，b2＝－eq \f(3,10)． ∵k1＝k2，且b1≠b2， ∴l1∥l2． (2)∵l1：x＝2，l2：x＝4，且两直线在x轴上的截距不相等，∴l1∥l2． 判断两条不重合的直线是否平行的方法 即时练1．已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(－1， －eq \r(3))，B(0，0)，则直线l1，l2的位置关系是(　　) A．平行或重合　　　 B．平行 C．垂直 D．重合 A　[由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 60°＝eq \r(3)，直线l2的斜率k2＝eq \f(0－（－\r(3)）,0－（－1）)＝eq \r(3)，所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合．] 即时练2．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，则过点(－1，3)，且与l平行的直线l′的方程为_______________． 解析：　l的方程可化为y＝－eq \f(3,4)x＋3，∴l的斜率为－eq \f(3,4)． ∵l′与l平行，∴l′的斜率为－eq \f(3,4)． 又∵l′过点(－1，3)， ∴由点斜式知方程为y－3＝－eq \f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y－9＝0． 答案：　3x＋4y－9＝0 知识点二　两条直线垂直的判定 [问题导引]　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示：　k1·k2＝－1． 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线斜率都存在)⇔_____________ l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒_________ 判断下列各对直线是平行还是垂直，并说明理由． (1)l1：3x－6y＋14＝0，l2：2x＋y－2＝0； (2)l1：y＝－3，l2：x＝1． 解析：　(1)将两直线方程各化为斜截式： l1：y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(7,3)， l2：y＝－2x＋2． 则k1＝eq \f(1,2)，k2＝－2． ∵k1·k2＝－1，故l1⊥l2． (2)由方程知l1⊥y轴，l2⊥x轴，则l1⊥l2． 判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．　　 即时练3．过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　　) A．x－2y＋4＝0　　　 B．2x＋y－7＝0 C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0 A　[过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为eq \f(1,2)，由点斜式得直线的方程为y－3＝eq \f(1,2)(x－2)，化简可得x－2y＋4＝0，故选A．] 即时练4．已知直线l：x－2y－2＝0，则(　　) A．直线x－2y＋1＝0与直线l平行 B．直线2x＋y－2＝0与直线l平行 C．直线x＋2y－1＝0与直线l垂直 D．直线2x＋y－2＝0与直线l垂直 AD　[对于A，∵x－2y＋1＝0与直线l斜率相同，但截距不同，∴x－2y＋1＝0与直线l平行，A正确； 对于B，∵1×1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))×2＝5≠0，∴2x＋y－2＝0与直线l不平行，B错误； 对于C，∵1×1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))×2＝－3≠0，∴x＋2y－1＝0与直线l不垂直，C错误； 对于D，∵1×2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2))×1＝0，∴2x＋y－2＝0与直线l垂直，D正确． 故选AD．] 应用一、已知直线的位置关系求参数 (1)已知直线l1：x－ay＋2＝0与直线l2：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋2))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－4))y＋a＝0平行，则a的值是(　　) A．－4　　　　　　 B．1 C．－4或1 D．4或－1 (2)设直线l1：ax＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－2))y＋1＝0，l2：x＋ay－3＝0．若l1⊥l2，则a的值为(　　) A．0或1 B．0或－1 C．1 D．－1 解析：　(1)因为直线l1：x－ay＋2＝0与直线l2：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋2))x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－4))y＋a＝0平行， 则有a(a＋2)＋a－4＝0，解得a＝1或a＝－4， 当a＝1时，直线l1：x－y＋2＝0与直线l2：3x－3y＋1＝0平行； 当a＝－4时，直线l1：x＋4y＋2＝0与直线l2：－2x－8y－4＝0，即x＋4y＋2＝0重合， 所以a的值是1． 故选B． (2)因为l1⊥l2，则a＋aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－2))＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1))＝0，解得a＝0或1． 故选A． 答案：　(1)B　(2)A 利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． ①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0． ②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． 即时练5．若直线l1的斜率k1＝eq \f(3,4)，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为(　　) A．1 B．3 C．0或1 D．1或3 D　[因为l1⊥l2，所以k1·k2＝－1， 即eq \f(3,4)×eq \f(a2＋1－（－2）,0－3a)＝－1， 解得a＝1或a＝3．] 即时练6．“a＝－2”是“直线ax＋2y＋3a＝0和5x＋(a－3)y＋a－7＝0平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[当a＝－2时，直线ax＋2y＋3a＝0和5x＋(a－3)y＋a－7＝0分别为： x－y＋3＝0和5x－5y－9＝0，显然，两直线平行； 当直线ax＋2y＋3a＝0和5x＋(a－3)y＋a－7＝0平行时，有a(a－3)＝10成立， 解得a＝－2或a＝5， 当a＝－2时，两直线为x－y＋3＝0 和5x－5y－9＝0，显然，两直线不重合是平行关系； 当a＝5时，两直线为5x＋2y＋15＝0 和5x＋2y－2＝0，显然，两直线不重合是平行关系； 由此可判断“a＝－2”是“直线ax＋2y＋3a＝0和5x＋(a－3)y＋a－7＝0平行”的充分不必要条件， 故选A．] 应用二、平行与垂直的综合应用 已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状． 解析：　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图， 由斜率公式可得 kAB＝eq \f(5－3,2－（－4）)＝eq \f(1,3)，kCD＝eq \f(0－3,－3－6)＝eq \f(1,3)，kAD＝eq \f(0－3,－3－（－4）)＝－3，kBC＝eq \f(3－5,6－2)＝－eq \f(1,2)， ∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， ∴AB∥CD． 由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行． 又kAB·kAD＝eq \f(1,3)×(－3)＝－1， ∴AB⊥AD． 故四边形ABCD为直角梯形． 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 即时练7．已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)． 解析：　设所求点D的坐标为(x，y)， 如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0， ∴kAB·kBC＝0≠－1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰． ①若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD， ∵kBC＝0， ∴CD的斜率不存在，从而有x＝3． 又kAD＝kBC， ∴eq \f(y－3,x)＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行， 故所求点D的坐标为(3，3)． ②若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD， ∵kAD＝eq \f(y－3,x)，kCD＝eq \f(y,x－3)， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y－3,x)·3＝－1，,\f(y－3,x)·\f(y,x－3)＝－1，)) 解得x＝eq \f(18,5)，y＝eq \f(9,5)， ∴D点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(9,5)))． 综上，D点坐标为(3，3)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)，\f(9,5)))． 1．若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是(　　) A．eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C．2 D．－2 B　[由题意知，PQ的斜率存在， 由kPQ＝kMN，即eq \f(2m－2,3－（－m）)＝eq \f(4－（－1）,－3－2)，解得m＝－eq \f(1,3)． 经检验知，m＝－eq \f(1,3)符合题意．] 2．(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为(　　) A．eq \f(1,a) B．－eq \f(1,a) C．a D．不存在 BD　[当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－eq \f(1,a)； 当a＝0时，l2的斜率不存在．] 3．已知直线eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋1))x＋3y＋1＝0与直线4x＋my＋1＝0平行，则m的值为(　　) A．3 B．－4 C．3或－4 D．3或4 B　[由题设，m(m＋1)－12＝m2＋m－12＝(m＋4)(m－3)＝0，可得m＝－4或m＝3， 当m＝－4时，3x－3y－1＝0、4x－4y＋1＝0平行，符合题意； 当m＝3时，4x＋3y＋1＝0、4x＋3y＋1＝0重合，不合题意；∴m＝－4． 故选B．] 4．已知△ABC的三个顶点分别是A(2，2)，B(0，1)，C(4，3)，点D(m，1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝__________． 解析：　设直线AD，BC的斜率分别为kAD，kBC，由题意，得AD⊥BC， 则有kAD·kBC＝－1， 所以有eq \f(1－2,m－2)·eq \f(3－1,4－0)＝－1，解得m＝eq \f(5,2)． 答案：　eq \f(5,2) 5．已知直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，其中l1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，则k1＋k2＋k3的值为________． 解析：　因为k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的两根，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－\f(1,2)，,k3＝2，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝2，,k3＝－\f(1,2)，)) 又l1∥l2，所以k1＝k2， 所以k1＋k2＋k3＝1或eq \f(7,2)． 答案：　1或eq \f(7,2) $$