第3章 一元二次方程 单元测试 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

湘教版（2024）九年级上 第3章 一元二次方程 单元测试

一．选择题（共12小题）

1．在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）

A．

B．x2+1=2x

C．2（x+1）=x

D．x3+x2+2=0

2．用配方法解方程x2+4x+3=0时，配方后得到的方程为（　　）

A．（x+2）2=1

B．（ x+2）2=3

C．（x-2）2=3

D．（ x-2）2=1

3．用配方法解一元二次方程x2-6x+3=0时，下列变形正确的是（　　）

A．（x-3）2=3

B．（x-3）2=6

C．（x+3）2=6

D．（x-3）2=12

4．用配方法解方程x2-2x=2时，左右两边需同时加上常数是（　　）

A．1

B．-2

C．2

D．-1

5．已知关于x的一元二次方程x2-2x-5=0的两个根为x1，x2，则x1x2的值为（　　）

A．-5

B．5

C．2

D．-2

6．在“园林设计”项目学习活动中，在一块长为14m,宽为10m的矩形地面的中间种植草坪，草坪四周种植花卉，设计如图所示的平面图，如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为x m,则可列方程为（　　）

A．

B．

C．

D．

7．若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则实数m的取值范围为（　　）

A．m＜1

B．m≤1

C．m＞1

D．m≥1

8．关于x的一元二次方程kx2-4x+5=0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A．k≤且k≠0

B．k≥-且k≠0

C．k≤

D．k＜且k≠0

9．已知m,n是一元二次方程x2+x-2021=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）

A．2020

B．2021

C．-2021

D．-1

10．已知a≥2，m2-2am+2=0，n2-2an+2=0，则（m-1）2+（n-1）2的最小值是（　　）

A．6

B．3

C．-3

D．0

11．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（　　）

A．若0＜n＜1，则	B．若0＜n＜1，则
C．若n＞1，则	D．若n＞1，则

12．对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则
⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c=an2+bn+c；
其中正确的（　　）

A．只有①②④

B．只有①②④⑤

C．①②③④⑤

D．只有①②③

二．填空题（共5小题）

13．若一元二次方程为x2-2x=0，则方程的根为 ______．

14．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程x2-10x-24=0的解，则这个三角形的周长是______．

15．已知关于x的方程x2-2x-k=0没有实数根，则k的取值范围为______．

16．一元二次方程的判别式Δ______0，所以该方程根的情况是______．

17．通过学习，我们知道：若关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个实数根x1，x2，则x1+x2=-p,x1•x2=q,已知a2+3a-7=0，b4-3b2-7=0，且a+b2≠0，则代数式的值等于______．

三．解答题（共5小题）

18．解决下列问题：
（1）解分式方程：；
（2）解方程：2x2+4x-3=0．

19．若关于x的一元二次方程x2-2（k+1）x+k2+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根分别为α、β，且（α+1）（β+1）=29，求k的值．

20．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0．
（1）当方程有一个根为-1时，求k的值及另一个根；
（2）当方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（3）若方程两实根x1、x2满足x1+x2=x1•x2，求k的值．

21．人形机器人是设计和结构上模仿人类身体形态的机器人，代表了人类对通用型机器助手的长远梦想．随着人工智能、减速器和传感器技术的突破，它正从科幻走向现实，某商家采购减速器模型和传感器模型对外销售，每个减速器模型的进价为15元，每个传感器模型的进价为20元．
（1）若该商家准备用不超过10000元采购减速器模型和传感器模型共600个，求最多能购买传感器模型多少个？
（2）该商家在对外销售的过程中调查发现：当减速器模型的售价为30元时，平均每天能售出200个，经测算发现每个减速器模型的售价每降低1元，平均每天可多售出50个，为扩大销量占领市场，商家决定对减速器模型进行降价促销，要使平均每天的利润达到4400元，则减速器模型应降价多少元？