第3章 一元二次方程（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 九年级上册数学第三章一元二次方程单元卷，以基础通关为目标，融合中考真题情境与生活应用，覆盖核心知识点，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、根与系数关系等|融入2025湖北中考题，考查推理意识| |填空题|6/18|根的概念、判别式等|结合2026山东、江西中考题，强化运算能力| |解答题|9/72|方程求解、实际应用等|乡村旅游增长（模型意识）、矩形运动问题（几何直观），层次分明|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程一定是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2．将一元二次方程化为一般形式，正确的是(    ) A. B. C. D. 3．（2025·湖北中考）一元二次方程x²-4x+3=0的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A．+-4 B．+C．4 D．3 4．将一元二次方程化成为常数的形式，则，的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5．关于的一元二次方程没有实数根，则关于的一次函数的图象不经过(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6．已知关于的一元二次方程为常数有两个不相等的实数根和，若，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 不存在 7．春意复苏，郑州绿化工程正在如火如荼地进行着，某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽设小路的宽为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 8．假设某次宴会中，每一位参加宴会的人跟其他参会人员均有相同的握手礼节，在宴会结束时，所有人总共握手次，则参加宴会的人数为(    ) A. B. C. D. 9.已知，是方程的两个实数根，则的值为（ ）。 A. B.6 C. D. 10.已知，，是三条边的长，那么方程的根的情况是(    ) A. 没有实数根 B. 有两个不相等的正实数根 C. 有两个异号实数根 D. 有两个不相等的负实数根 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知方程是一元二次方程，则的值为          ． 12．（2026·山东中考）若关于x的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是        . 13．若一元二次方程有两个相等的实根，则的值为        . 14．用公式法解方程时，得，则“”处应填        . 15．若关于的一元二次方程不含一次项，则          ． 16．（2026·江西中考）如图，点P在直线上，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB的面积为为坐标原点若满足条件的点P有且仅有三个，则点P的横坐标为          . 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）解方程：． ． 18．（6分）已知关于的方程． 当为何值时，此方程是一元一次方程 当满足什么条件时，此方程是一元二次方程 19．（6分）近几年，乡村旅游在“新农村、新旅游、新体验、新风尚”的思路引领下蓬勃发展，某镇前年实现旅游收入万元，到今年该项收入达到万元，求该镇这两年旅游收入的年平均增长率． 20．（6分）已知，是方程的两个实数根，且，求实数的值． 21．（8分）关于的方程． 求证：不论取何值，方程总有两个实数根； 若方程有一个根小于，求的取值范围是． 22．（8分）某超市以元千克的进货价购进了一批绿色食品，如果以元千克销售这些绿色食品，那么每天可售出千克由销售经验可知，每天的销售量千克与销售单价元存在如图所示的一次函数关系． 试求出与的函数解析式 若要保证超市这批绿色食品每天盈利元，那么销售单价应为多少元 23．（8分）阅读下面的例题： 分解因式：． 解：令，得到一个关于的一元二次方程．，，， ，解得，， ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法解答下面的问题： 已知代数式对应的方程解为和，则代数式可因式分解为          ； 将代数式分解因式．  24．（12分）某生物实验室需培育一群有益菌，现有个活体样本，经过两轮培育后，总数达个，其中每个有益菌每一轮可分裂出若干个相同数目的有益菌． 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ 按照这样的分裂速度，经过三轮培育后有多少个有益菌？ 25．（12分）如图，在矩形中，，，点从点开始，沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始，沿边向终点以的速度移动如果点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动设运动时间为 填空：           ，           用含的代数式表示 当为何值时，的长度等于？ 是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程一定是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】A选项含有x，y两个未知数， B选项符合一元二次方程定义， C选项含有分式， D选项含未知数的最高次项的次数是3，故选B 2．将一元二次方程化为一般形式，正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】，，，故选A． 3．（2025·湖北中考）一元二次方程x²-4x+3=0的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A．+-4 B．+C．4 D．3 【答案】D 【解析】对于方程x²-4x+3=0 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴+，； 故选：D 4．将一元二次方程化成为常数的形式，则，的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  【解析】， ， 则，即， ，， 故选A． 5．关于的一元二次方程没有实数根，则关于的一次函数的图象不经过(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C  【解析】由题意得（-2）²-4·m·（-1）＜0 解得m＜-1 ∴-m＞1 ∴不经过第三象限，故选C 6．已知关于的一元二次方程为常数有两个不相等的实数根和，若，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 不存在 【答案】B  【解析】由题意知=p，=1，b²-4ac=p²-4＞0 （）²-2=p²-2=2p+1 解得=3，=-1（舍）故选B 7．春意复苏，郑州绿化工程正在如火如荼地进行着，某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽设小路的宽为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】利用平移把小路移到矩形的一角，则阴影部分就是矩形的面积。 8．假设某次宴会中，每一位参加宴会的人跟其他参会人员均有相同的握手礼节，在宴会结束时，所有人总共握手次，则参加宴会的人数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】设这次参加宴会的人数为，根据题意得，解得，舍去故选B． 9.已知，是方程的两个实数根，则的值为（ ）。 A. B.6 C. D. 【答案】D ，是方程的两个实数根， ，， 是方程的一个实数根， ， ， 故选D 10.已知，，是三条边的长，那么方程的根的情况是(    ) A. 没有实数根 B. 有两个不相等的正实数根 C. 有两个异号实数根 D. 有两个不相等的负实数根 【答案】D  【解析】解： ，，是三条边的长， ，，，，即， ， 方程有两个不相等的实数根． 又两根的和是，两根的积是， 方程的根的情况是有两个不相等的负实数根． 故选D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知方程是一元二次方程，则的值为          ． 【答案】 或  【解析】由题意得=2，解得k=±1。 12．（2026·山东中考）若关于x的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是        . 【答案】2  【解析】解：， 或， 或， 方程另一个根是 故答案为： 13．若一元二次方程有两个相等的实根，则的值为        . 【答案】1  【解析】∵方程有两个相等的实根 ∴=4-4c=0 解得c=1 14．用公式法解方程时，得，则“”处应填        . 【答案】-5 【解析】原方程化为一般形式为 a=3，b=5，c= -7 =5²-4×3×（-7） ∴“”处应填-5 15．若关于的一元二次方程不含一次项，则          ． 【答案】  【解析】由题意得-（a²-4）≠0且a-2≠0， 解得a=-2 16．（2026·江西中考）如图，点P在直线上，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB的面积为为坐标原点若满足条件的点P有且仅有三个，则点P的横坐标为          . 【答案】1或或  【解析】设，依题意， 或 中，，方程有两个不等实数解， 依题意，满足条件的点P有且仅有三个 方程有且只有一个解， 所以方程， 解得： 解方程 解得： 综上所述，点P的横坐标为1或或 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）解方程：． ． 【答案】(1)移项,得-4x=7, 配方,得-4x+4=11, 即=11, 两边同时开平方,得x-2=, =2+,=2-. (2)整理,得+y(y-2)=0, 因式分解,得(y-2)(y-2+y)=0, 则y-2=0或2y-2=0, =2,=1. 18．（6分）已知关于的方程． 当为何值时，此方程是一元一次方程 当满足什么条件时，此方程是一元二次方程 【解析】(1)解:由题意,得当-9=0且m+30时,方程是一元一次方程, 所以m=3.  (2)由题意,得当-90时,方程是一元二次方程, 所以m.  19．（6分）近几年，乡村旅游在“新农村、新旅游、新体验、新风尚”的思路引领下蓬勃发展，某镇前年实现旅游收入万元，到今年该项收入达到万元，求该镇这两年旅游收入的年平均增长率． 【解析】解：设该镇这两年旅游收入的年平均增长率为． 依题意，得， 解得，不符合题意，舍去． 答：该镇这两年旅游收入的年平均增长率为． 20．（6分）已知，是方程的两个实数根，且，求实数的值． 【解析】解，是方程的两个实数根，，， ， ，，即，解得或 又有，解得， ．  21．（8分）关于的方程． 求证：不论取何值，方程总有两个实数根； 若方程有一个根小于，求的取值范围是． 【解析】(1)证明：， 无论取何值时，， 原方程总有两个实数根． (2)解：， ， 或， 若方程有一个根小于，则，解得． 综上可知，若方程有一个根小于，的取值范围为． 故答案为：． 22．（8分）某超市以元千克的进货价购进了一批绿色食品，如果以元千克销售这些绿色食品，那么每天可售出千克由销售经验可知，每天的销售量千克与销售单价元存在如图所示的一次函数关系． 试求出与的函数解析式 若要保证超市这批绿色食品每天盈利元，那么销售单价应为多少元 【解析】(1)解:设y与x的函数解析式为y=kx+b(k0), 将(30,400),(40,200)代入y=kx+b,得解得 y与x的函数解析式为y=-20x+1000(30x50).  (2)依题意,得(x-20)(-20x+1000)=4500, 整理得-70x+1225=0, 解得==. 答:销售单价应为35元.  23．（8分）阅读下面的例题： 分解因式：． 解：令，得到一个关于的一元二次方程．，，， ，解得，， ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法解答下面的问题： 已知代数式对应的方程解为和，则代数式可因式分解为          ； 将代数式分解因式． 【解析】(1)  (2)解：令，得到一个关于的一元二次方程． ∵，，，∴， 解得，， ∴．  24．（12分）某生物实验室需培育一群有益菌，现有个活体样本，经过两轮培育后，总数达个，其中每个有益菌每一轮可分裂出若干个相同数目的有益菌． 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ 按照这样的分裂速度，经过三轮培育后有多少个有益菌？ 【解析】(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，由题意，得60（1＋x）2＝24000， 解得x1＝19，x2＝－21．∵x>0，∴x＝19． 故每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌．  (2)由题意，得60×（1＋19）3＝480000（个）． 故经过三轮培育后有480000个有益菌．  25．（12分）如图，在矩形中，，，点从点开始，沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始，沿边向终点以的速度移动如果点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动设运动时间为 填空：           ，           用含的代数式表示 当为何值时，的长度等于？ 是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)2t  ;  (2)由题意，得，解得，. 当或2时，PQ的长度等于5cm.  (3)当时，能够使得五边形APQCD的面积等于.理由如下： 由题意，得矩形ABCD的面积为， 若五边形APQCD的面积等于， 则的面积为. ∴，解得（不符合题意舍去），. ∴当时，五边形APQCD的面积等于. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 一元二次方程·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程一定是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2．将一元二次方程化为一般形式，正确的是(    ) A. B. C. D. 3．（2025·湖北中考）一元二次方程x²-4x+3=0的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A．+-4 B．+C．4 D．3 4．将一元二次方程化成为常数的形式，则，的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5．关于的一元二次方程没有实数根，则关于的一次函数的图象不经过(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6．已知关于的一元二次方程为常数有两个不相等的实数根和，若，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 不存在 7．春意复苏，郑州绿化工程正在如火如荼地进行着，某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽设小路的宽为，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 8．假设某次宴会中，每一位参加宴会的人跟其他参会人员均有相同的握手礼节，在宴会结束时，所有人总共握手次，则参加宴会的人数为(    ) A. B. C. D. 9.已知，是方程的两个实数根，则的值为（ ）。 A. B.6 C. D. 10.已知，，是三条边的长，那么方程的根的情况是(    ) A. 没有实数根 B. 有两个不相等的正实数根 C. 有两个异号实数根 D. 有两个不相等的负实数根 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知方程是一元二次方程，则的值为          ． 12．（2026·山东中考）若关于x的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是        . 13．若一元二次方程有两个相等的实根，则的值为        . 14．用公式法解方程时，得，则“”处应填        . 15．若关于的一元二次方程不含一次项，则          ． 16．（2026·江西中考）如图，点P在直线上，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，矩形OAPB的面积为为坐标原点若满足条件的点P有且仅有三个，则点P的横坐标为          . 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）解方程：． ． 18．（6分）已知关于的方程． 当为何值时，此方程是一元一次方程 当满足什么条件时，此方程是一元二次方程 19．（6分）近几年，乡村旅游在“新农村、新旅游、新体验、新风尚”的思路引领下蓬勃发展，某镇前年实现旅游收入万元，到今年该项收入达到万元，求该镇这两年旅游收入的年平均增长率． 20．（6分）已知，是方程的两个实数根，且，求实数的值． 21．（8分）关于的方程． 求证：不论取何值，方程总有两个实数根； 若方程有一个根小于，求的取值范围是． 22．（8分）某超市以元千克的进货价购进了一批绿色食品，如果以元千克销售这些绿色食品，那么每天可售出千克由销售经验可知，每天的销售量千克与销售单价元存在如图所示的一次函数关系． 试求出与的函数解析式 若要保证超市这批绿色食品每天盈利元，那么销售单价应为多少元 23．（8分）阅读下面的例题： 分解因式：． 解：令，得到一个关于的一元二次方程．，，， ，解得，， ． 这种因式分解的方法叫求根法，请你利用这种方法解答下面的问题： 已知代数式对应的方程解为和，则代数式可因式分解为          ； 将代数式分解因式．  24．（12分）某生物实验室需培育一群有益菌，现有个活体样本，经过两轮培育后，总数达个，其中每个有益菌每一轮可分裂出若干个相同数目的有益菌． 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？ 按照这样的分裂速度，经过三轮培育后有多少个有益菌？ 25．（12分）如图，在矩形中，，，点从点开始，沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始，沿边向终点以的速度移动如果点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动设运动时间为 填空：           ，           用含的代数式表示 当为何值时，的长度等于？ 是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第三章 一元一次方程·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A D A C B A B D D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．或  12．2 13.1 14．-5 15．-2 16．1或或  三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分） 【答案】(1)移项,得-4x=7, 配方,得-4x+4=11, 即=11, 两边同时开平方,得x-2=, =2+,=2-.（3分） (2)整理,得+y(y-2)=0, 因式分解,得(y-2)(y-2+y)=0, 则y-2=0或2y-2=0, =2,=1.（6分） 18．（6分） 【解析】(1)解:由题意,得当-9=0且m+30时,方程是一元一次方程, 所以m=3. （3分） (2)由题意,得当-90时,方程是一元二次方程, 所以m. （6分） 19．（6分） 【解析】解：设该镇这两年旅游收入的年平均增长率为．（1分） 依题意，得，（3份） 解得，不符合题意，舍去．（5分） 答：该镇这两年旅游收入的年平均增长率为．（6分） 20．（6分） 【解析】解，是方程的两个实数根，，，（2分） ， ，，即，解得或（4分） 又有，解得，（6分） ．  21．（8分） 【解析】(1)证明：， 无论取何值时，， 原方程总有两个实数根．（4分） (2)解：， ， 或， 若方程有一个根小于，则，解得． 综上可知，若方程有一个根小于，的取值范围为． 故答案为：．（8分） 22．（8分） 【解析】(1)解:设y与x的函数解析式为y=kx+b(k0), 将(30,400),(40,200)代入y=kx+b,得解得 y与x的函数解析式为y=-20x+1000(30x50). （4分） (2)依题意,得(x-20)(-20x+1000)=4500, 整理得-70x+1225=0, 解得==. 答:销售单价应为35元. （8分） 23．（8分） 【答案】(1) （3分） (2)解：令，得到一个关于的一元二次方程． ∵，，，∴， 解得，， ∴．（8分） 24．（12分） 【解析】(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，（1分） 由题意，得60（1＋x）2＝24000，（4分） 解得x1＝19，x2＝－21．∵x>0，∴x＝19．（7分） 故每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌． （8分） (2)由题意，得60×（1＋19）3＝480000（个）． 故经过三轮培育后有480000个有益菌． （12分） 25．（12分） 【解析】(1)2t  ; （4分） (2)由题意，得，解得，. 当或2时，PQ的长度等于5cm.（8分） (3)当时，能够使得五边形APQCD的面积等于.理由如下： 由题意，得矩形ABCD的面积为， 若五边形APQCD的面积等于， 则的面积为. ∴，解得（不符合题意舍去），. ∴当时，五边形APQCD的面积等于.（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $