2.1 锐角的正弦和余弦（第1课时）-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件(湘教版·新教材)

该初中数学课件聚焦锐角正弦的定义及应用，通过帆船航行实际问题导入，引导学生动手测量65°角对边与斜边比值，经猜想和相似三角形证明形成定义，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以实际问题培养数学眼光，通过动手操作和逻辑推理发展数学思维，典例涵盖坐标、特殊角等情境用数学语言表达。如帆船问题抽象出直角三角形模型，相似证明体现推理能力，帮助学生理解定义和应用，教师可借助清晰流程提升教学效率。

2 第2章 锐角的正弦、余弦、正切 2.1 　锐角的正弦和余弦 第1课时 锐角的正弦 3 学习目标 1.利用相似直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A）的定义. 2.会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值. 3.会求特殊角30°，45°，60°的正弦值，并熟记这些值. 新课导入 北 东 30º A B C 问题1：小李驾驶“开心号”帆船从西向东航行到B处时，灯塔A在船的正北方向，帆船从B处继续向正东方向航行1000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西30º的方向．试问：C处和灯塔A的距离约等于多少米？ 1000m 分析：由题意，△ABC是直角三角形， 其中∠B =90°，∠A= 65°，∠A所对的边BC=2000m，求斜边AC=？ 北 东 思考：在直角三角形中， 65°角的对边与斜边的比值有什么规律？ 65º A B C 问题2：小李驾驶“开心号”帆船向东航行到 B处时，灯塔A在船的正北方向，帆船从B处继续向正东方向航行2000m到达C处，此时灯塔A在船的北偏西65º的方向．试问：C处和灯塔A的距离约等于多少米？（精确到1m） 2000m 知识讲解 知识点 正弦的定义 做一做：每位同学画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出65º角的对边长度和斜边长度，计算： 的值（精确到0.01） 结论：在有一个锐角为65º的直角三角形中， 65º角的对边与斜边的比值是一个常数，它约等于0.91． 与同桌和邻桌的同学交流，你能发现什么？ 猜想：在有一个锐角为 的所有直角三角形中，角 的对边与斜边的比值一定是一个常数吗？ 证明：因为 ∠C=∠F=90°，∠A=∠D， 所以 △ABC ∽ △DEF. 已知：任意两个直角三角形△ABC 和△DEF，∠C=∠F = 90º，∠A =∠D. E F D B C A 验证猜想 结论：在有一个锐角为 的所有直角三角形中，角 的对边与斜边的比值一定是一个常数. 解决问题1：现在解决第2题中，帆船航行到C处时和灯塔A的距离约等于多少米的问题． 解：在直角三角形ABC中，BC=2000m ，∠A= 65º， 解得 答：C 处和灯塔A的距离约等于2200米. 在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫作角A的正弦，记作sin A, 即sin A=. B C A （1）sin A 不是一个角 （2）sin A 不是sin与A的乘积 （3）sin A 是一个比值 （4）sin A 没有单位 例1.如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于 ( ) O x y P (a，b) α A. B. C. D. D 典例精析 例2. 在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sin A 的值 ( ) A. 扩大 100 倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定 C (2)∠B 的对边是 AC，根据勾股定理，得 AC2 = AB2 - BC2 = 52 - 32 = 16.于是 AC = 4. 因此sin B==. 例3： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 3，AC = 5. （1）求 sin A 的值； （2）求 sin B 的值. A B C 5 3 解：(1)∠A 的对边BC = 3，斜边AB = 5，于是sin A==. 例4：如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4． A (3，0) 在 Rt△APO 中，由勾股定理得 因此 α 方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向x轴或y轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 例5：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A=，BC = 3，求 sin B 及 Rt△ABC 的面积. A B C 提示：已知 sin A 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sin B 及 Rt△ABC 的面积. 解：因为∠C = 90°， 所以 所以 AB = 3BC = 3×3 = 9. 所以 所以 所以 解决问题2：如何求sin 45°的值？ 如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°. 于是∠B=45°.从而AC=BC． 根据勾股定理，得 AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2. 于是 AB= BC. 因此sin45°=. 解决问题3：如何求 sin 60° 的值？ 如图所示，构造一个 Rt△ABC，使∠B = 60°，则 ∠A = 30°，从而BC=AB. 根据勾股定理得 AC2 = AB2 - BC2 = AB2 - 于是 因此 知识讲解 知识点1 特殊角的正弦值 30°，45°，60°角的正弦值如下表： 锐角a 三角 函数 30° 45° 60° sin a 例6：计算：sin230°－sin45°＋sin260°. 解： sin230°－sin45°＋sin260° 通常我们把 (sin30°)2 简记为sin230° 典例精析 随 堂 小 测 1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将 ( ) A. 扩大为原来的 2 倍 B.不变 C. 缩小为原来的 D. 无法确定 B 2.在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，则的值是 ( ) A 3. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 . 解析：因为 AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，所以 AB2＝BC2＋AC2． 所以 ∠ACB＝90°． 所以 sin∠ABC＝ 4. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA =，求△ABC 的面积. D 5 5 C B A 解：如图，作 BD⊥AC 于点 D． 因为sin A = ， 所以 又因为 AB = AC，BD⊥AC， 所以AC = 2AD = 6， 所以S△ABC = AC · BD÷2 = 12. 小结 正弦的概念 正弦 正弦的应用 ∠A的对边 斜边 sin A = 已知边长求正弦值 已知正弦值求边长 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 绿卡图书—走向成功的通行证 30 $