3.1 一元二次方程的概念 课件 2025--2026学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及系数识别，通过回顾一元一次方程，结合矩形铁皮制作铁盒、排球邀请赛场次等实际问题导入，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以实际问题为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力，通过典例分析（如判断方程是否为一元二次方程）和变式练习发展数学思维中的推理意识，规范步骤表述强化数学语言应用。课堂小结系统归纳三要素和转化步骤，助力学生构建知识体系，教师可利用分层练习提升教学效率。

湘教版·九年级上册 第三章 一元二次方程 3.1 一元二次方程的概念 学 习 目 标 1 2 3 能根据实际问题列出等量关系式，整理得到整式方程，归纳一元二次方程的定义。 掌握一元二次方程一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)，能准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数。 会将任意一元二次方程整理成一般形式，理解方程根的含义，能检验数值是否为方程的根。 知识回顾 1.我们学过哪些方程？ 一元一次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数1的整式方程.形如： 2.思考：现实中存在未知数次数为2的方程吗？请看课本上两个问题. 新知探究 知识要点 探究一： 一元二次方程的概念 1、如图, 一块矩形铁皮, 长100 cm, 宽50 cm. 在四个角各切去一个同样的正方形，制作无盖长方体铁盒. 要求铁盒底面积为3600 CM2，求切去正方形边长. 100 cm 50 cm 解：设切去正方形边长为 x cm. 依题列：(100-2x)(50-2x)=3600 整理, 得： 化简, 得： 新知探究 知识要点 2、要组织排球邀请赛, 每两支队伍比赛一场. 赛程7天, 每天安排4场比赛, 一共需要邀请多少支队伍参赛? 总场次7×4=28场 解：设参赛队伍有x 支. 列方程：=28 整理化简： 新知探究 知识要点 观察两个方程，找出共同特征 像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 1.等号两边都是整式； 2.只含有一个未知数x（一元）； 3.未知数最高次数是2（二次） 知识要点 例1 判断下列方程是不是一元二次方程： 思考： (1)   (2)   (3) (4) 　 (5)  3x(x-1)=5(x+2)　 √ √ √整理后是一元二次方程 × 两个未知数 ×等式左边不是整式 一定是一元二次方程吗？ 典例分析 知识要点 典例分析 1.下列方程中,是一元二次方程的为(　　) A. ax2+bx+c=0 B. x2+x=x(x-1) C. x2-=2 D. x2=3x 2.一元二次方程3x2-2x-1=0的一次项系数为(　　) A. 3 B. -2 C. -1 D. 0 3.若方程(a-4)x|a|﹣2﹣x＝2是关于x的一元二次方程，则a的值为 D B 练一练 -4 新知探究 知识要点 探究二： 一元二次方程的一般形式 任何一元二次方程整理后，都可以写成一般形式： ，注意： 名称区分： 是二次项；是二次项系数； 是一次项；是一次项系数； 是常数项. 拓展特殊形式：注意, 当a=0时,bx+c=0为一元一次方程形式, 不是一元二次方程 ※(b=0时)、 (c=0时)、 (b=c=0时) 其他性质 将方程 化为一般形式，写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。 解：去括号： 合并同类项： 所以, 二次项系数为3, 一次项系数为-8, 常数项为-10. ❗易错提醒：系数必须包含前面正负符号！ 新知探究 典例分析 其他性质 例2 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数、一次项系数和常数项. (1)x2－x=2； (2)4x+1=x2； (3)2x2=－3x； (4)x(x+3)=－2. 解：(1)一般形式：x2－x－2=0 二次项系数是1，一次项系数是－1，常数项是－2. (2)一般形式：x2－4x－1=0 二次项系数是1，一次项系数是－4，常数项是－1. (3)一般形式：2x2+3x=0 二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是0. (4)一般形式：x2+3x+2=0 二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是2. 典例分析 其他性质 4、把下列方程化成一元二次方程一般形式，并写出各项系数 ※两人板演 (1) (2) 练一练 （1）解：移项，得 : 所以，二次项系数为5； 一次项系数为-4， 常数项为-1. （2）解：移项，得: 所以，二次项系数为4； 一次项系数为0， 常数项为-81. 其他性质 新知探究 (3) (4) （3）解：去括号，得 移项，得 . 所以，二次项系数为4； 一次项系数为8， 常数项为-25. （4）解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得. 所以，二次项系数为3； 一次项系数为-7， 常数项为1. 其他性质 典例分析 例2 已知方程 是一元二次方程，求 的值。※选讲（经典题型） 分析：①未知数x的最高次数=2，即=2 ②二次项系数≠0，即 解：∵ 是一元二次方程 ∴ ∴ 解得 m= - 2 其他性质 典例分析 5、已知关于X的方程(m-1)Xm2+1+(m-2)X-1=0,回答下面的问题： (1) 若方程是一元二次方程，求m的值． (2) 若方程是一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m的值，并求出方程的解． 练一练 解：(1)根据题意，得m2+1=2，且m-1≠0，解得m=-1 (2)存在，有两种情况： ①当满足m2+1=1，且(m-1)+(m-2)≠0时， 解得m=0,则方程变为：-3x-1=0,则X= - ②当满足m-1=0,且m-2≠0时， 解得m=1,则方程变为-x-1=0,解得x=-1 课堂练习 A 课堂练习 2.已知关于x的一元二次方程(a-3)x2+a2x=9x+5化为一般形式后不含一次项,则a的值为 (　　) A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3 3.已知关于x的一元二次方程(m-5)x2+x+|m|-5=0的一个根是x=0,则实数m的值为 (　　) A. -5 B. 0 C. 5 D. -5或5 D A 课堂练习 4、根据下列问题，列出关于x的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式且写出各项系数： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x; 解：正方形边长x，依据题意列，得4=25,化为一般形式为 所以，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-25. (2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x; 解：矩形长为x，则宽为 x-2，依题，列=100,化为一般形式为所以，二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为-100. 课堂练习 5、已知m是方程x2+4x-1=0的一个根,则(m+5)(m-1)+1的值为　 . 解：把x=m代入方程,得m2+4m-1=0, 即m2+4m=1. ∴ (m+5)(m-1)=m2-m+5m-5 =m2+4m-5+1 =1-5+1 =-3. -3 课堂小结 1、一元二次方程三要素：整式方程、一元、二次. 4、系数一定要带上正负号. 3、化为一般形式步骤：去括号→移项→合并同类项. 2、一般形式：； 拓展提升 B x (8＋x)＝240 1、 2、根据题意列方程 拓展提升 3、已知矩形的周长为14,面积为12.设一边的长为x,则可列一元二次方程为　　　 　　(化为一般形式).  4、近年来,由于新能源汽车的崛起,燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑,经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年3月的售价为23万元/辆,5月的售价为16万元/辆.设该款汽车这两个月售价的月平均下降率是x,则可列方程为　　　　　　　　. x2-7x+12=0 23(1-x)2=16 拓展提升 5、若m是方程x2-2x-1=0的根,则m2++1的值为　　　　. 解：∵ m是方程x2-2x-1=0的根, ∴ m2-2m-1=0,且m≠0, ∴ m-2-=0,即m-=2. 两边分别平方,得=4,即m2-2+=4, ∴ m2++1=7. 7 感谢聆听! $