第2章 锐角的正弦、余弦、正切 本章复习课（课件）2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕锐角三角函数展开，涵盖概念、特殊角值、同角及互余角关系、解直角三角形及实际应用，通过“回顾与思考”引导学生用知识结构图梳理，搭建从概念到应用的逻辑学习支架。 其亮点是结合作图与小组活动培养几何直观，推导三角函数关系发展推理意识，以测量旗杆为例构建模型意识。采用分层作业和方法总结，助力学生系统掌握知识，教师可高效组织复习教学。

第2章 锐角的正弦、余弦、正切 本章复习课 回顾与思考 通过本章的学习你对图形与几何的知识有怎样的认识？能尝试用知识结构图对本章的知识进行梳理吗？ 导入新课 2 高效课堂 知识点一：锐角的正弦、余弦和正切 请以小组为单位，回顾锐角三角函数的相关概念. 如图，在直角三角形中，角α为锐角. (1)正弦：在直角三角形中，锐角的对边与斜边的 比叫作该角的正弦，即sin α＝. (2)余弦：在直角三角形中，锐角的邻边与斜边的比叫作该角的 余弦，即cos α＝. 3 高效课堂 (3)正切：在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比叫作该角的 正切，即tan α＝. (4)锐角三角函数：从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角α，它的正弦sin α(或余弦cos α，或正切tan α)都有唯一确定的值与它对应，并且当锐角α变化时，相应的sin α(或cos α，tan α)的值也随之变化. 习惯上把锐角α的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数. 4 高效课堂 方法总结： 此类型问题主要考查已知三角形中的边与角的关系，求其他的边与角. 解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解. 5 高效课堂 知识点二：三个特殊角的正弦值、余弦值和正切值 请通过作图，回顾特殊角(30°，45°，60°)的三角函数值，并用表格表示. 先画出两个特殊的直角三角形，如图1、图2. 6 高效课堂 结合图1、图2得出特殊角(30°，45°，60°)的三角函数值，如下表所示： 7 高效课堂 知识点三：锐角的正弦、余弦和正切的关系 请通过作图，回顾同一个锐角的三角函数值之间的关系. 画出一个直角三角形，如图，得到 sin α＝，cos α＝，tan α＝. 在Rt△ABC中，由勾股定理得a2＋b2＝c2， 两边同除以c2得＋＝1，即sin2α＋cos2α＝1. 8 高效课堂 而＝＝＝tan α. 即同角的三角函数的基本关系： (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商的关系：tan α＝. 9 高效课堂 请通过作图，找出互为余角的两个角的正弦与余弦之间有着怎样的关系？ 画出一个直角三角形，如图，在直角三角形中， ∠C＝90°，设α是锐角. (1)sin(90°－α)＝，cos α＝，则sin(90°－α)＝cos α； (2)sin α＝，cos(90°－α)＝，则cos(90°－α)＝sin α. 即互为余角的两个角的正弦与余弦的关系为： (1)sin(90°－α)＝cos α； (2)cos(90°－α)＝sin α. 10 高效课堂 知识点四：解直角三角形 什么是解直角三角形？在直角三角形中，已知几个元素就可以解直角三角形？分类并结合具体例子说明如何解直角三角形. 画一个直角三角形，如图. 由直角三角形中已知的元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形. 11 高效课堂 在直角三角形中，除直角外的5 个元素(3 条边和2 个锐角)，只要知道其中的2 个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3 个未知元素. 解直角三角形可分为5类，具体如下： (1)已知两直角边(如a，b)： 由tan A＝，求∠A，∠B＝90°－∠A，c＝； (2)已知斜边、一直角边(如c，a)： 由sin A＝，求∠A，∠B＝90°－∠A，b＝； 12 高效课堂 (3)已知锐角、邻边(如∠A，b)： ∠B＝90°－∠A，a＝btan A，c＝； (4)已知锐角、对边(如∠A，a)： ∠B＝90°－∠A，b＝，c＝； (5)已知锐角、斜边(如∠A，c)： ∠B＝90°－∠A，a＝c sin A，b＝c cos A. 13 高效课堂 解直角三角形可以概括为：有“斜”用弦，无“斜”用“切”，避“除”就“乘”，有“始”去“中”. 意思是说：当已知条件或求解的过程中有斜边时，就用正弦或余弦；没有斜边时，就用正切. 在求解过程中，选用的关系式既能用乘法，也能用除法，则用乘法. 当既可以用原始数据又可以用中间求得的数据进行计算时，就要用原始数据，不用中间的结果，这样可以提高计算的准确程度. 14 高效课堂 方法总结：在直角三角形中，已知一条边和一个角，或已知两条边，就可以求出其他的边和角. 15 高效课堂 知识点五：解直角三角形的实际应用 请回顾学习解直角三角形的实际应用时还学了哪些常用术语？ (1)仰角、俯角：如图，进行测量时，从下向上看， 视线与水平线的夹角叫作仰角；从上往下看，视线与水 平线的夹角叫作俯角. 16 高效课堂 (2)坡度、坡角：从坡脚点A上坡走到点B时， 升高的高度h(即线段BC的长度)与水平前进的距 离l (即线段AC的长度)的比叫作坡度，用字母i 表示，即i＝(坡度通常写成1∶m的形式). 在图中，∠BAC叫作坡角，记作α，显然，坡度等于坡角的正切，即i＝＝tan α. 根据正切的定义可知，坡度越大，山坡越陡. (3)方向角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫作方向角. 17 高效课堂 锐角三角函数在生活中有着广泛的应用，试结合实例谈谈如何将实际问题转化为解直角三角形的问题. 如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆底部10 m 的A处，用高1.50 m的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角 为α.求旗杆BC的高.如图，过点D作DE⊥CB，垂足为E. 构造直角三角形DEC. 转化：CE＝DE×tan α＝AB×tan α＝10tan α. 旗杆高：CB＝1.50＋10tan α. 18 高效课堂 总结：首先要理解题意，识别出可以构成直角三角形的元素，当原图形不是直角三角形时，需通过作垂线等方式构造直角三角形，这样就将实际问题转化为解直角三角形的问题. 19 课堂总结 1.你对本章知识点有了哪些新的认识？ 2.你弄懂了哪些之前不太清楚的知识？ 3.在直角三角形的应用中能用到哪些数学思想方法？ 20 作业设计 基础性作业：教材复习题2第1~9题. 提高性作业：教材复习题2第10~12题. 拓展性作业：教材复习题2第13题. 21 $