2.1 第1课时 锐角的正弦（课件）2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦锐角的正弦概念及30°、45°、60°的正弦值，通过回顾直角三角形性质（两锐角互余、斜边上中线等于斜边一半、勾股定理等）导入，搭建旧知到新知的学习支架。 亮点是以“特殊到一般”探究活动推进，结合动手操作（画直角三角形）和相似三角形推理，培养抽象能力与推理意识，归纳特殊角值及求正弦步骤，助力学生理解边角关系，便于教师开展高效教学。

第2章 锐角的正弦、余弦、正切 2.1 锐角的正弦和余弦 第1课时 锐角的正弦 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为边AB的 中线，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c. 直角三角 形作为三角形中特殊的存在，它有哪些性质？ 1.直角三角形的两个锐角互余，即∠A＋∠B＝90°. 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD＝AB. 3.直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方， 3.即a2＋b2＝c2. 4.在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 导入新课 2 高效课堂 活动一：探究特殊锐角30°角的对边与斜边的比值 动手操作：任意画一个Rt△ABC，其中∠C＝90°， ∠A＝30°，如图，并探讨30°角的对边与斜边之比. 根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等 于斜边的一半，可知∠A的对边BC与斜边AB之间的关系为BC＝AB. 于是，＝＝＝. 3 高效课堂 由上面可以看出：在有一个锐角为30°的所有直角三角形中，不论直角三角形的大小如何，30°角的对边与斜边的比值都是常数. 4 高效课堂 活动二：探究一般锐角的正弦——锐角的对边与斜边的比值 若把有一个角是30°角的直角三角形换成任意一个锐角α的直角三角形，角α的对边与斜边的比值是否也是一个常数？ 经过观察，得出猜想“锐角一定时，其对边与斜边的比值为定值，和直角三角形的大小无关”. 如何证明猜想成立？ 5 高效课堂 如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A＝∠D＝α，∠C＝∠F＝90°，则＝成立吗？为什么？ 证明：因为∠A＝∠D＝α，∠C＝∠F＝90°， 所以△ABC∽△DEF， 从而＝. 因此＝. 6 高效课堂 若改变角度大小，角α的对边与斜边的比值是否变化？ 影响角α的对边与斜边的比值的因素是角的大小，和直角三角形的大小无关. 7 高效课堂 在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关，只与角度的大小有关. 8 高效课堂 能用数学语言归纳出上述问题的结论吗？ 如图，在直角三角形中，锐角A的对边与 斜边的比叫作∠A的正弦，记作sin A，即 sin A＝＝. 9 高效课堂 锐角的正弦的前提条件是在什么图形中？请举出具体的例子. 必须在直角三角形中，例如，在Rt△ABC中，∠A＝30°时，由前面的分析和锐角的正弦概念可知sin 30°＝. sin A是一个完整的符号，如：sin A不是sin与A的乘积，而是一个 整体，表示角A的正弦. 10 高效课堂 如图，请思考，sin B＝？ 在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比. 所以sin B＝. 11 高效课堂 活动三：探究特殊角60°和45°角的正弦值 直角三角形中的特殊角除了30°，还有哪些特殊角？ 45°，60°. 12 高效课堂 能求出60°角的正弦值吗？ 如图，画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠B＝60°， 则∠A＝30°，从而BC＝AB. 根据勾股定理，得AC2＝AB2－BC2＝AB2－(AB)2＝AB2. 于是AC＝AB. 因此sin 60°＝＝. 13 高效课堂 如何求45°角的正弦值？ 如图，画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠B＝45°， 则∠A＝45°，从而有AC＝BC. 根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝AC2＋AC2＝2AC2. 于是AB＝AC. 因此sin 45°＝＝＝. 14 高效课堂 归纳总结： 1.三个特殊角(30°，45°，60°)的正弦值分别是 sin 30°＝，sin 45°＝，sin 60°＝. 2.在直角三角形中求锐角的正弦的步骤： 先找角，然后找角的对边和斜边，再计算角的对边和斜边的比值. 15 高效课堂 活动四：例题讲解 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5. (1)求sin A的值. ∠A的对边BC＝3，斜边AB＝5， 于是sin A＝＝. 16 高效课堂 (2)求sin B的值. ∠B的对边是AC，根据勾股定理，得 AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16. 于是AC＝4. 因此sin B＝＝. 17 高效课堂 例2 计算：sin230°－2sin 45°＋sin260°. 分析：根据sin 30°＝，sin 45°＝，sin 60°＝.来计算原式的值，其中，(sin 30°)2简记为sin230° 解 sin230°－2sin 45°＋sin260° ＝()2－×＋()2 ＝－1＋ ＝0. 18 课堂总结 1.通过本节课的学习，你学到了哪些概念？如何求一个锐角的正弦值？ 2.学习了本节课，你对直角三角形的边角关系有怎样更深入的认识？请畅所欲言. 3.结合以往经验，如何探索得到新的概念，运用了什么数学思想？ 19 作业设计 基础性作业：教材练习第1~3题. 提高性作业：教材习题2.1第1~3题. 20 EV录屏5.3.1软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn $