2.1 锐角的正弦和余弦 第1课时 课件 2026-2027学年湘教版 数学九年级上册

该初中数学课件核心内容为正弦定义及30°、45°、60°特殊角的正弦值。课堂导入先复习30°直角三角形性质，通过探究其对边与斜边比值为常数，推广到任意锐角，用相似三角形证明比值恒定，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点是以探究为主线，通过相似三角形推理锐角对边与斜边比值为常数，培养推理能力，结合勾股定理应用（如例1求sinA、sinB）和坐标问题（如点P(3,4)求正弦），强化应用意识。小结罗列定义与特殊角值，帮助学生理解本质，教师可直接用于教学，提升效率。

湘教·九年级上册 正弦及特殊角的正弦值 复习回顾 含 30°角的直角三角形有怎样的性质？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 探究新知 任意画一个 Rt△ABC ，其中∠C=90°，∠A = 30° (如图2.1-1所示)，则∠A的对边 BC 与斜边 AB 之间的关系为BC = AB. A B C 30° 图2.1-1 由上面可以看出：在有一个锐角为30°的所有直角三角形中，不论直角三角形的大小如何，30°角的对边与斜边的比值都是常数 . A B C 30° 图2.1-1 若把30°角换成任意一个锐角，角α的对边与斜边的比值是否也是一个常数？ 如图2.1-2，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A =∠D=α， ∠C =∠F=90°，则 成立吗？为什么？ 探究 A B C α E F D α 图2.1-2 A B C α E F D α 图2.1-2 因为 ∠A=∠D =α，∠C=∠F= 90°， 所以 △ABC∽△DEF. 在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关. 总结 如图2.1-3，在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sin A，即 A B C 斜边c 对边a 图2.1-3 1. 正弦是在直角三角形中定义的，因此在研究正弦时先要确定三角形是直角三角形. 2. 正弦反应了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值，没有单位. 4. sinA正弦的符号“sin” 一定要小写，且要注意“∠”的使用：sin∠A，sin∠1，sin∠ABC. 3. 当锐角的度数确定时，其正弦值也随之确定，正弦值与直角三角形的边的长短无关，即与三角形的大小无关. 注意事项 可省略 不可以省略 例1：如图2.1-4，在Rt△ABC中，∠C=90°， BC = 3，AB = 5. （1）求 sin A 的值； （2）求 sin B 的值. 解 (1) ∠A的对边 BC=3，斜边 AB = 5， 于是 A B C 图2.1-4 A B C 图2.1-4 (2) ∠B的对边是AC，根据勾股定理，得 AC2 = AB2－BC2 = 52－32 =16. AC = 4. 因此 于是 例1：如图2.1-4，在Rt△ABC中，∠C=90°， BC = 3，AB = 5. （1）求 sin A 的值； （2）求 sin B 的值. 随堂诊断 1. 求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值. 解：图①，在Rt△ABC中，由勾股定理得 随堂诊断 1. 求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值. 图②，在Rt△DEF中，由勾股定理得 2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， AD⊥BC 于点 D ，则下列结论不正确的是 ( ). C 思考： 如何求 sin 60°的值？ AC2=AB2－BC2=AB2－( AB)2= AB2. 于是 AC= AB． 根据勾股定理，得 如图2.1-5，画一个 Rt△ABC ，使∠C=90°， ∠B = 60°，则∠A=30°，从而BC = AB. A B C 60° 图2.1-5 根据勾股定理，得 AB2 = AC2 + BC2 = 2BC2. 议一议 如何求 sin 45°的值？小芳算出 ，你认为她的结果对吗？ 如图，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，则∠B=45°，从而AC=BC． 于是 ， A B C 45° 三个特殊角 (30°， 45°， 60°)的正弦值 例2：计算： 解： (sin30°)2 简记为sin230°. 随堂诊断 3.计算： （1） sin230°+ sin260° －sin245°； 解： sin230°+ sin260° －sin245°； （2）2sin30°+ sin260°sin245° 解： 2sin30°+ sin260°sin245° 练习 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5.求sin A，sin B的值. A B C 解：∠A的对边BC=5，斜边AB=13. ∠B的对边是AC，根据勾股定理，得 AC2= AB2－BC2= 132－52=144. 于是 AC = 12. 于是 因此 2.如图，在平面直角坐标系内有一点 P(3，4) ， 连接OP，求OP与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值. 解：如图，过点P作 x 轴的垂线，垂足为A，则点A坐标为(3，0). 在Rt△APO中，由勾股定理得 OP2 = AP2 + AO2 = 42+32=25. 于是OP=5. 因此 P(3，4) 1 2 3 4 1 2 3 4 y x O α A 3.计算： （1） sin260°+ sin245°； （2） 1－2sin30°sin60°. 解：sin260°+ sin245° 解：1－2sin30°sin60° 课堂小结 在直角三角形中，我们把锐角A的对边与斜边的比叫作角A的正弦，记作sin A，即 A B C 斜边c 对边a $