2.2 锐角的正切 课件 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“锐角的正切”，涵盖定义、特殊角值、计算器应用及锐角三角函数，从直角三角形边比切入，衔接勾股定理，通过定义辨析、性质推导构建知识支架，逐步延伸到特殊角与计算器操作。 其亮点是以“母题+变式”贯穿教学，结合网格、折叠等情境题，培养数学眼光（几何直观）和数学思维（推理能力）。通过“解题通法+技巧点拨”总结方法，如构造直角三角形求正切值，助力学生理解概念本质，教师可直接利用中考题和易错点分析提升教学效率。

2.2 锐角的正切 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 正切 特殊角的正切值 用计算器求正切值或相应的锐角 锐角三角函数 知识点 正切 知1－讲 1 1. 正切的定义： 文字语言 数学语言 图示 在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作tan A，即tan A＝ 在Rt△ABC 中， tan α＝ 感悟新知 知1－讲 注意 锐角α的正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，无单位，tan α的值只与角α的大小有关，而与所在的直角三角形边的长短无关. 感悟新知 知1－讲 2. 与正切相关的结论 (1)互余两角的正切值之间的关系 当两个角互余时，它们的正切值互为倒数. 如图2.2-1，在Rt △ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，tan A=，tan B=，所以tan A·tan B =· =1，即tan A·tan (90 °- ∠ A) =1 或tan A=. 感悟新知 知1－讲 (2)锐角的正切值随角度的变化情况 若锐角α>β，则 tan α>tan β，即锐角α 的正切值tan α 随着角α 的增大而增大. 感悟新知 知1－讲 特别解读 1. tan α 是一个完整的符号，若锐角用三个大写字母或数字表示，在记角的正切时，角的符号“∠”不能省略，如∠ ABC 的正切记作tan ∠ ABC，∠ 1 的正切记作tan ∠1；若锐角用一个大写字母或小写希腊字母表示，在记角的正切时，可省略符号“∠”，如∠ A 的正切记作tan A，∠α的正切记作tan α. 2. 在直角三角形中，各边的长都是正数，故tan α >0(0°<α <90°). 感悟新知 知1－练 感悟新知 [母题 教材P73 练习T1]如图2.2-2，已知在Rt △ABC中，∠ACB=90°，AC∶AB=3∶5，则tan A的值为( ) A. B. C. D. 例1 知1－练 感悟新知 解题秘方：设出参数， 表示出∠A的对边和邻边， 利用正切的定义求解. 知1－练 感悟新知 解：因为在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC∶AB=3∶5， 所以设AC=3x， 则AB=5x. 由勾股定理，得BC= = =4x. 所以tan A===. 答案：B 知1－练 感悟新知 1-1.如图，在Rt △ ABC中，∠ ACB=90 °，AC=8，BC=6，CD⊥ AB，垂足为点D，则tan∠BCD=_______. 知2－讲 1. 特殊角的正切值： α 30° 45° 60° tan α 1 知识点 特殊角的正切值 2 感悟新知 知2－讲 2. 30°，45°，60°角的正切值的记忆方法 (1)图形记忆法：如图2.2-3，由正切的定义可得各锐角的正切值. 感悟新知 知2－讲 (2)增减性记忆法：tan α的值随角α的增大而增大，依次为，1，3 . (3)口诀记忆法：以3 为分母，分子3，9，27，根号别忘记.知道一个特殊角，可以求出它的正切值；反之，已知特殊角的正切值，也可以求出这个特殊角. 感悟新知 知2－讲 注意 考向：利用特殊角的正弦、余弦、正切值计算 感悟新知 知2－讲 归纳总结 特殊角的正弦、余弦、正切值总结如下表： α 30° 45° 60 ° sin α cos α tan α 1 感悟新知 知2－练 [母题 教材P74 习题T3]求下列各式的值： (1) tan 30°·tan 60°-tan2 45°； (2) tan 30°·sin 60°-. 例2 解题秘方：有关特殊角的正切值和正弦、余弦值的计算， 先直接写出正切值和正弦、余弦值， 将运算转化为实数的混合运算，然后根据实数的运算法则计算. 感悟新知 知2－练 解：(1) tan 30°·tan 60°-tan2 45°=× -=1-1=0. (2) tan 30°·sin 60°- =×-=-2=-. 感悟新知 知2－练 2-1.计算： (1)； 解：原式== =-=-. 感悟新知 知2－练 (2)tan 60 °•sin 60 °-. 解：原式=×-=-2=-. 感悟新知 知3－讲 1. 用计算器求锐角的正切值：如果已知一个锐角，可以用计算器求该锐角的正切值，由于计算器的型号不同，按键步骤及显示的位数也可能略有不同，请参看所用计算器的使用说明. 例如求25°角的正切值，可以在计算器上依次按键 ，显示结果为0.466 307 658. 知识点 用计算器求正切值或相应的锐角 3 感悟新知 知3－讲 2. 用计算器由正切值求相应的锐角：如果已知一个锐角的正切值，也可以利用计算器求出它对应的锐角. 例如，已知 tan α=0.839 1，依次按键 显示结果为40.000 012 4，表示角α 约等于40°. 感悟新知 知3－讲 特别提醒 所求结果要根据精确度四舍五入得出. 感悟新知 知3－练 [母题 教材P73 练习T3]用计算器求下列锐角的正切值(精确到0.000 1)： (1)48°； (2)64°17′. 例3 解题秘方：按照计算器的键位准确输入即可. 感悟新知 知3－练 解：(1)依次按键： ， 显示结果为1.110 612 515，因此tan 48°≈1.110 6. (2)依次按键 ， 显示结果为2.076 300 675，因此tan 64°17′≈2.076 3. 感悟新知 知3－练 3-1.用计算器求下列锐角的正切值( 精确到0.000 1)： (1)12.5°； (2)75°25′55″. 解：(1)tan 12.5°≈0.221 7. (2)tan 75°25′55″≈3.847 9. 感悟新知 知3－练 [母题 教材P73 练习T4]已知下列正切值，用计算器求对应的锐角α： (1)tan α=3.549 2( 精确到1°)； (2)tan α=0.538 6( 精确到1′). 例4 解题秘方：启动“第二功能键”， 依次输入数值即可. 感悟新知 知3－练 解：(1)依次按键： ， 显示结果为74.264 624 79， 因此α ≈ 74°. (2)依次按键 ： ， 显示结果为28.306 905 51，再按 ，显示结果 为28°18′24.86″，因此α≈28°18′. 感悟新知 知3－练 4-1.已知下列正切值，用计算器求对应的锐角β： (1) tan β=1.216 4( 精确到0.1°)； (2) tan β=2.226 7( 精确到1″). 解：(1)β≈50.6°. (2)β≈65°48′55″. 感悟新知 知4－讲 知识点 锐角三角函数 4 1. 锐角三角函数：从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角α，它的正弦sin α (或余弦cos α，或正切tan α) 都有唯一确定的值与它对应，并且当锐角α 变化时，相应的sin α (cos α，tan α)的值也随之变化. 习惯上把锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数. 感悟新知 知4－讲 2. 同一锐角的正弦、余弦、正切的关系：同一锐角的正切与正弦、余弦之间的关系为tan A=. 推理过程： 如图2.2-4，因为sin A=，cos A=， 所以 = = .又tan A=，所以tan A=. 变式： sin A=cos A·tan A； cos A= . 感悟新知 知4－讲 特别解读 1. 并非只有在直角三角形中才有三角函数值，而是只要有锐角就有锐角三角函数. 2. 锐角三角函数的定义说明了直角三角形中边角之间的关系，它是一个比值，无单位，这些比值只与锐角的大小有关，当一个锐角的大小固定时，它的锐角三角函数值就固定. 在锐角三角函数中，自变量是锐角α，三角函数值随着角α 的变化而变化. 感悟新知 知4－练 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c. 求出∠A的三个三角函数值. 解题秘方：已知直角三角形的任意两边长求某个锐角的三角函数值时， 运用数形结合思想， 首先画出符合题意的直角三角形，然后根据勾股定理求出未知边长， 最后结合锐角三角函数的定义求锐角的三角函数值. 例5 感悟新知 知4－练 解：如图2.2-5，在Rt△ABC中， 因为∠C＝90°，a＝6，c＝10， 所以 b＝＝＝8. 所以sin A＝＝＝，cos A＝＝＝， tan A＝＝＝. 感悟新知 知4－练 感悟新知 5-1. 在Rt △ ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5. 求sin A，cos A和tan A的值. 解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5， 由勾股定理，得AB===13. 所以sin A==，cos A==， tan A==. 知4－练 如图2.2-6，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，如果2AB＝3BC，求∠B的三个三角函数值. 解题秘方：作垂线构造直角三角形， 设参数求解 . 例6 感悟新知 解：如图2.2-6，过点A作AD⊥BC于点D， 因为 AB＝AC，所以BD＝DC.因为2AB＝3BC，所以＝. 设AB＝AC＝3k(k>0)，则BC＝2k.所以BD＝CD＝k， 所以AD＝ ＝＝＝2k. 所以sin B＝＝＝，cos B＝＝＝， tan B＝＝＝2. 知4－练 感悟新知 知4－练 感悟新知 6-1. 如图所示， 在△ ABC 中， D 是 AB的中点， DC ⊥ AC，且 tan ∠ BCD= ，求sinA， cosA， tanA 的值 . 知4－练 感悟新知 知4－练 所以sin A===，cos A===， tan A===. 感悟新知 正 切 锐角 三角 函数 正弦 余弦 正切 定义 特殊角的正切值 一般锐角的正切值 课堂小结 题型 已知锐角的正弦或余弦，求正切 1 [一题多解] 设角α为锐角，已知sin α=，求cos α，tan α的值. 思路导引： 例7 综合应用创新 解：如图2.2-7，在 Rt △ABC中，∠C=90 °， ∠A=α，因为 sin α= =， 所以设BC=3r(r>0)，则 AB=5r. 根据勾股定理， 得AC= AB2-BC2 = =4r， 所以 cos α==， tan α==. 综合应用创新 另解 因为角α 为锐角，根 据同角的正弦、余弦的平方关系 sin2α+cos2α=1，得 cos α== =，所以 tan α= ==. 综合应用创新 题型 求网格中锐角的正切值 2 如图 2.2-8，在网格中，小正方形的边长均为 1， 点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是( ) A. 2 B. C. D. 例8 类型 1 锐角的顶点在格点上 综合应用创新 解题秘方：连接AC， 先由勾股定理的逆定理判定直角三角形，再利用正切的定义求解 . 综合应用创新 解：如图 2.2-8 所示， 连接AC. 由勾股定理，得AB2=22+22=8，AC2=12+12=2，BC2=12+32=10， 所以AB=2 ，AC= ，AB2+AC2=BC2， 所以△ABC是直角三角形， 且∠BAC=90°. 所以 tan ∠ABC= ==. 答案：D 构造△ ABC，证明△ ABC是直角三角形 综合应用创新 解题通法 求网格图中锐角的正切值，解题关键是发现或构造直角三角形 . 综合应用创新 如图2.2-9，在边长均为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，AB，CD相交于点P，则 tan ∠APD的值是_______. 例9 类型 2 锐角的顶点不在格点上 2 综合应用创新 解题秘方：在网格图中 作DE//AB， 找到与 ∠APD相等的角 . 综合应用创新 解：如图 2.2-9，过点D作DE//AB，DE过网格图 中的格点E，设CD过网格图中的格点F，连接EF. 由CD，EF都经过小正方形的对角线，得∠CFB=45°，∠BFE=45°，所以∠CFE=90°， 所以∠DFE=90°. 因为DE//AB， 所以∠APD= ∠FDE. 在 Rt △DEF中，DF= ，EF=2 ， 所以 tan ∠FDE= ==2. 所以 tan ∠APD=tan ∠FDE=2. 综合应用创新 技巧点拨 在网格图中，当锐角的顶点不在格点上时，可利用等角转换来求锐角的三角函数值，等角的几种常见转换方式：两直线平行，同位角(内错角)相等；同角或等角的余角相等． 综合应用创新 一直角三角形纸片ABC的两直角边的长分别为 6，8，现将该直角三角形纸片ABC按如图 2.2-10 所示的方式折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则 tan ∠CBE的值为_______. 例10 题型 求折叠图形中锐角的正切值 3 综合应用创新 解题秘方：根据折叠的性质得到相等的线段， 利用勾股定理建立方程， 解方程求出相关线段的长， 然后利用正切的定义求解 . 综合应用创新 解：设CE=x， 因为AC=8， 所以AE=8-x. 根据折叠的性质可知BE=AE=8-x. 在 Rt △BCE中，BC=6， 由勾股定理， 得BE2=BC2+CE2， 即 (8-x)2=62+x2， 解得 x=. 所以CE=. 所以 tan ∠CBE==. 综合应用创新 解题关键 解决有关折叠的问题时，找到折叠前后不变的量是解题的关键 . 综合应用创新 [新视角 材料阅读题]阅读以下材料，并按要求完成相应的任务 .构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，例如在计算tan 15°时，可构造如图2.2-11所示的图形．在Rt△ACB中，∠C=90 °，∠ABC=30 °，AC=x(x ＞ 0)， 延 长CB至 点D，使 得BD=AB， 连接AD，易知∠D=15°，CD= BD+BC=AB+BC=2x+ 3 x，所以tan 15°=tan D=… 例11 题型 利用构造法求非特殊角的正切值 4 综合应用创新 任务： (1)请根据上面的步骤，完成 tan 15°的计算． (2)类比这种方法，画出图形，并计算 tan 22.5°的值． 解题秘方：类比材料中的构造方法利用45°角构造出22.5°角，再根据正切的定义求解. 综合应用创新 解：(1) tan 15°=tan D===2- ， 即tan 15°的值是2- . 综合应用创新 (2)解：如图2.2-12 所示.在Rt △ABC中，∠C=90°，∠ABC= 45°，延长CB到点D， 使得BD=AB， 连接AD，易知∠D=22.5°. 设AC=BC=x (x>0)，则BD=AB= x， 故CD=BC+BD=x+ x， 所以tan 22.5°=tan D= = = -1， 即tan 22.5°的值是-1. 综合应用创新 技巧点拨 构造等腰三角形，使其底角等于非特殊角，利用定义求解即可. 综合应用创新 如图2.2-13，在△ABC中，AC=6，AB=8，AD⊥BC于点D，CD=3，则tan B=______，tan C=______ . 例12 易错点 忽略锐角三角函数是在直角三角形中定义的，错误利用了非直角三角形的边 1 综合应用创新 错解：tan B= ==， tan C= ==. 正解：因为AD⊥BC，所以△ADC和△ADB都是直角三角形. 在Rt △ADC中，AD= = =3 ,所以tan C= = ， 在Rt △ADB中， BD= == .所以在Rt △ADB中， tan B= ==. 综合应用创新 诊误区： 正弦、余弦、正切都是在直角三角形中定义的,因此在解答有关锐角三角函数的问题时,往往要转化到直角三角形中解答,同时要明确哪个角是直角． 综合应用创新 [中考·天津] tan 45°- cos 45°的值等于( ) A. 0 B. 1 C. 1- D. 1- 例13 考法 利用特殊角的三角函数值计算 1 中考风向标 试题评析：本题考查特殊角的三角函数值的计算， 代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算， 即可求解. 解：tan 45°- cos 45°=1-×=0. 答案：A 中考风向标 [中考·苏州]如图2.2-14，∠MON=60°，以O为圆心，2 为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心， 6为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则tan ∠BCO=_______(结果保留根号). 例14 考法 利用正切的定义求锐角的正切值 2 中考风向标 试题评析：本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识， 熟练掌握锐角的正切的定义是解题的关键. 解：如图2.2-14， 连接AB， 交OC于点D. 由题意得OA=OB=2，AC=BC= ， 所以OC垂直平分AB，即OC⊥AB，BD=AB. 中考风向标 因为∠MON=60°，OA=OB，所以△AOB是等边三角形. 所以AB=OA=2，从而BD=1. 所以CD= = =. 在Rt△BCD中，tan∠BCO= ==. 中考风向标 1.[中考·云南] 如图，在△ABC中，若∠B=90°，AB=3，BC=4，则tan A= (　　) A. B. C. D. C 综合素养训练 2. 如图，在8×4 的网格图中，每个小正方形的边长都是 1，则tan ∠ACB等于( ) A. B. C. D. 2 A 综合素养训练 3.[模拟·长沙望城区] 在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sin A=，tan B= 3 ，下列说法正确的是(　　) A. ∠ A=30° B. ∠ B=30° C. △ ABC 是等边三角形 D. △ ABC 是直角三角形 C 综合素养训练 4. [中考·广东] 如图，在矩形ABCD中，E，F 是BC边上 的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG. 若AB=8，BC=12，则tan ∠GCF的值是( ) A. B. C. D. B 综合素养训练 5. [母题 教材P73 做一做]用计算器计算： (1) tan 18°23′≈_______(精确到0.000 1)； (2) 若tan α=8.162 4，则锐角α≈_______ (精确到0.1°) . 0.332 3 83.0° 综合素养训练 6. [期末· 岳阳岳阳楼区] 在Rt △ ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，且AC=3，BC=1，则tan ∠ACD=_____. 3 综合素养训练 7. 已知α 是锐角，且tan α=2，则的值是 _____. 综合素养训练 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点C在OB上，OC∶BC=1∶2，连接 AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线 于点P. 若点P的坐标为(1，1)，则tan ∠OAP=________. 综合素养训练 9. [中考·常州]如图，在Rt △ABC中，∠ A=90°，点D在边AB上，连接CD. 若BD=CD，=，则tan B=________ . 综合素养训练 10. [黄冈中学自主招生]已知等边三角形ABC，点P是直线BC上一点，且满足BP=2CP，则tan ∠ BPA=_______ . 3或 综合素养训练 11. [母题 教材P74 习题T3 ]求下列各式的值： (1)[中考·湖南](-2 025)0+|-1|-tan 45°； 解：原式=1+1-1=1. 综合素养训练 (2)cos230°+sin245°-tan 60°·tan 30°. 解：原式=()2+()2-×=+-1=. 综合素养训练 12. 如图，在ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F. 若BE=5，OF=2，求tan ∠OBE的值. 综合素养训练 解：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以BO=OD.因为BE⊥AC，DF⊥AC， 所以∠BEO=∠DFO=90°. 又∠BOE=∠DOF，所以△BOE≌△DOF.所以OE=OF=2. 所以在Rt△BEO中，tan∠OBE==. 综合素养训练 13. [新视角 新定义题]定义：如图，在Rt △ABC中，锐角α 的邻边与对边的比叫作角α 的余切，记作cot α，即cot α==，根据上述角的 余切定义，解答下列各题： 综合素养训练 (1)求cot 30°的值； 解：设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°， 所以BC=AB.所以AC===AB. 所以cot 30°===. 综合素养训练 (2)如图，若tan A=，试求cot A的值； 解：因为tan A==， 所以cot A==. 综合素养训练 (3)请根据(2) 的求解过程，直接写出tan A与cot A满足的关系. 解： tan A=. 综合素养训练 解：如图，过点D作ED∥AC，交BC于E， 所以∠ACD＝∠CDE＝90°.因为tan∠BCD＝＝， 所以设DE＝x，则CD＝3x. 因为ED∥AC，D是AB的中点，所以DE＝AC. 所以AC＝2DE＝2x.所以在Rt△ACD中， AD＝＝＝x， $