25.2.3《降次——解一元二次方程》分层作业 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本练习以因式分解法为核心，通过基础过关、进阶思维、中考链接三层设计，实现从单一方法到综合应用再到中考实战的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关题|提公因式法、平方差公式法等四种因式分解方法及综合应用|以选择、填空、解答题巩固单一知识点，如提公因式法解方程x²-3x=0，强化运算能力| |进阶思维题|因式分解与方程根的关系、实际问题（三角形边长、等腰三角形）|结合代数推理与几何应用，如通过方程根求参数m值，培养推理意识| |中考链接题|中考常见题型（基础解法、根的应用）|选用各地中考真题，如x²-2x=0的求解，对接中考测评，发展应用意识|

人教版九年级上册 第25章 一元二次方程 25.2降次—— 一元二次方程的概念 第3课时 因式分解法 本节知识点总结 1. 因式分解法：先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0，从而求出方程的解。 2. 基本原理：若ab = 0，则a = 0或b = 0。 3. 因式分解的常用方法： ① 提公因式法：如x² + x = 0 → x(x + 1) = 0 ② 平方差公式法：如4x² - 1 = 0 → (2x + 1)(2x - 1) = 0 ③ 完全平方公式法：如x² - 2x + 1 = 0 → (x - 1)² = 0 ④ 十字相乘法：如x² + 3x + 2 = 0 → (x + 1)(x + 2) = 0 4. 解一元二次方程的基本思路：降次——将二次方程转化为一次方程。 5. 三种解法特点对比： ① 配方法：适用于所有一元二次方程，但计算较繁； ② 公式法：适用于所有一元二次方程，是通用方法； ③ 因式分解法：简便快捷，但只适用于某些特殊方程。 6. 因式分解法的一般步骤： ① 移项：将方程右边化为0； ② 分解：将方程左边分解为两个一次因式的乘积； ③ 降次：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； ④ 求解：解这两个一元一次方程，得到原方程的解。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 提公因式法解方程 1．（2024秋·江苏南京·单元测）方程x² - 3x = 0的解是（　　） A．x = 0 B．x = 3 C．x₁ = 0，x₂ = 3 D．x₁ = 0，x₂ = -3 2．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）方程2x² + 4x = 0的解是（　　） A．x = -2 B．x = 0 C．x₁ = 0，x₂ = -2 D．x₁ = 0，x₂ = 2 3．（2024秋·山东济南·月考）解方程：x(x - 2) + x - 2 = 0。 4．（2024-2025九年级上·湖北武汉·单元测）解方程：3x(x - 1) = 2(x - 1)。 题型02 平方差公式法解方程 5．（2024秋·湖南长沙·期中）方程x² - 4 = 0的解是（　　） A．x = 2 B．x = -2 C．x₁ = 2，x₂ = -2 D．x = 4 6．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）方程9x² - 25 = 0的解是（　　） A．x = B．x = - C．x₁ = ，x₂ = - D．x₁ = ，x₂ = - 7．（2024秋·河北石家庄·期末）解方程：(x + 1)² - (2x - 3)² = 0。 题型03 完全平方公式法解方程 8．（2024-2025九年级上·陕西西安·期中）方程x² - 4x + 4 = 0的解是（　　） A．x = 2 B．x = -2 C．x₁ = x₂ = 2 D．x₁ = x₂ = -2 9．（2024秋·辽宁沈阳·月考）方程4x² + 4x + 1 = 0的解是（　　） A．x₁ = x₂ = B．x₁ = x₂ = - C．x₁ = ，x₂ = - D．x₁ = 2，x₂ = -2 10．（2024-2025九年级上·重庆渝中·期末）解方程：x² + 6x + 9 = 0。 题型04 十字相乘法解方程 11．（2024秋·天津南开·单元测）方程x² + 3x + 2 = 0的解是（　　） A．x₁ = 1，x₂ = 2 B．x₁ = -1，x₂ = -2 C．x₁ = 1，x₂ = -2 D．x₁ = -1，x₂ = 2 12．（2024-2025九年级上·四川成都·期中）方程x² - 5x + 6 = 0的解是（　　） A．x₁ = 2，x₂ = 3 B．x₁ = -2，x₂ = -3 C．x₁ = 1，x₂ = 6 D．x₁ = -1，x₂ = -6 13．（2024秋·广东深圳·月考）解方程：x² - x - 6 = 0。 14．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期末）解方程：2x² - 5x + 2 = 0。 题型05 因式分解法的综合应用（先整理再分解） 15．（2024秋·福建福州·单元测）解方程：x(x - 2) = 3x - 6。 16．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）解方程：(x - 3)² = 2(x - 3)。 17．（2024秋·山东青岛·期末）解方程：x² - 2x - 3 = 0。 题型06 选择合适的方法解方程 18．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）解方程：x² - 2x = 0（用因式分解法）。 19．（2024秋·北京海淀·月考）用适当的方法解方程：x² - 4x + 1 = 0。 20．（2024-2025九年级上·上海浦东·期末）用适当的方法解方程：(x + 1)(x - 2) = 4。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）用因式分解法解方程x² - mx - 6 = 0，若将左边分解后有一个因式为x - 3，则m的值为（　　） A．1 B．-1 C．5 D．-5 2．（2024秋·湖南长沙·期末）已知x = 2是一元二次方程x² + mx + 2 = 0的一个根，则m的值和另一个根分别是（　　） A．-3，1 B．3，1 C．-3，-1 D．3，-1 3．（2024-2025九年级上·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程x² - 3x + k = 0有一个根为1，则k的值为（　　） A．2 B．-2 C．1 D．-1 4．（2024秋·河北唐山·期末）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x² - 6x + 8 = 0的一个根，则这个三角形的周长是（　　） A．9 B．11 C．13 D．11或13 5．（2024-2025九年级上·陕西西安·期末）若x² - 5xy + 6y² = 0（y ≠ 0），则的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．-2或-3 6．（2024秋·辽宁大连·期末）已知方程x² + px + q = 0的两个根分别是2和-3，则x² + px + q可分解为（　　） A．(x + 2)(x + 3) B．(x - 2)(x - 3) C．(x - 2)(x + 3) D．(x + 2)(x - 3) （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）方程x² - 3x = 0的根为________。 8．（2024秋·天津和平·期末）若x² - mx - 15 = (x + 3)(x + n)，则m = ________，n = ________。 9．（2024-2025九年级上·四川成都·期末）已知x = 1是方程x² + ax - b = 0的一个根，则代数式1 - a + b的值为________。 10．（2024秋·广东广州·期末）方程(x - 1)(x + 2) = 2(x + 2)的根是_______。 11．（2024-2025九年级上·山东济南·期末）若关于x的方程x² - 2x - m = 0有一个根为3，则m的值为________，另一个根为________。 （三）解答题 12．（2024秋·江苏南京·期末）用因式分解法解方程： （1）x² - 4x = 0；（2）(x - 1)² - 4 = 0；（3）x² - 5x + 6 = 0。 13．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期末）解方程：(x - 3)² + 2x(x - 3) = 0。 14．（2024秋·湖北武汉·期中）已知关于x的一元二次方程x² - (k + 3)x + 2k + 2 = 0。 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围。 15．（2024-2025九年级上·四川成都·期末）在等腰三角形ABC中，AB = AC，BC = 8，AB、AC的长是关于x的方程x² - 10x + m = 0的两个根，求m的值。 三、中考链接题 1．（2024·江苏苏州·中考）方程x² - 2x = 0的解是（　　） A．x = 0 B．x = 2 C．x₁ = 0，x₂ = 2 D．x₁ = 0，x₂ = -2 2．（2024·浙江杭州·中考）方程x² - 4 = 0的解是（　　） A．x = 2 B．x = -2 C．x₁ = 2，x₂ = -2 D．x = 4 3．（2024·山东济南·中考）一元二次方程x(x - 2) = x - 2的根是（　　） A．x = 1 B．x = 2 C．x₁ = 1，x₂ = 2 D．x₁ = 0，x₂ = 2 4．（2024·广东广州·中考）方程x² - 5x + 6 = 0的两个根分别是（　　） A．x₁ = 2，x₂ = 3 B．x₁ = -2，x₂ = -3 C．x₁ = 1，x₂ = 6 D．x₁ = -1，x₂ = -6 5．（2024·四川成都·中考）已知x = 2是关于x的一元二次方程x² + x + m = 0的一个根，则m的值为（　　） A．-6 B．6 C．-3 D．3 6．（2024·湖北武汉·中考）解方程：x² - 3x + 2 = 0。 7．（2024·陕西·中考）方程(x - 2)² = 3(x - 2)的解是（　　） A．x = 5 B．x = 2 C．x₁ = 2，x₂ = 5 D．x₁ = -2，x₂ = -5 8．（2024·重庆·中考）若关于x的一元二次方程x² - 4x + m = 0有一个根为x = 1，则另一个根为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024·北京·中考）方程x² - 2x - 3 = 0的解是________。 10．（2024·上海·中考）解方程：(x + 1)(x - 3) = 5。 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级上册 第25章 一元二次方程 25.2降次—— 一元二次方程的概念 第3课时 因式分解法 本节知识点总结 1. 因式分解法：先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0，从而求出方程的解。 2. 基本原理：若ab = 0，则a = 0或b = 0。 3. 因式分解的常用方法： ① 提公因式法：如x² + x = 0 → x(x + 1) = 0 ② 平方差公式法：如4x² - 1 = 0 → (2x + 1)(2x - 1) = 0 ③ 完全平方公式法：如x² - 2x + 1 = 0 → (x - 1)² = 0 ④ 十字相乘法：如x² + 3x + 2 = 0 → (x + 1)(x + 2) = 0 4. 解一元二次方程的基本思路：降次——将二次方程转化为一次方程。 5. 三种解法特点对比： ① 配方法：适用于所有一元二次方程，但计算较繁； ② 公式法：适用于所有一元二次方程，是通用方法； ③ 因式分解法：简便快捷，但只适用于某些特殊方程。 6. 因式分解法的一般步骤： ① 移项：将方程右边化为0； ② 分解：将方程左边分解为两个一次因式的乘积； ③ 降次：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； ④ 求解：解这两个一元一次方程，得到原方程的解。 分层作业 📅 一、基础过关题 题型01 提公因式法解方程 1．（2024秋·江苏南京·单元测）方程x² - 3x = 0的解是（　　） A．x = 0 B．x = 3 C．x₁ = 0，x₂ = 3 D．x₁ = 0，x₂ = -3 【答案】C 【分析】提取公因式x，将方程化为x(x - 3) = 0。 【详解】解：x² - 3x = 0， 提取公因式：x(x - 3) = 0， ∴x = 0 或 x - 3 = 0， ∴x₁ = 0，x₂ = 3。 故选：C。 2．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期中）方程2x² + 4x = 0的解是（　　） A．x = -2 B．x = 0 C．x₁ = 0，x₂ = -2 D．x₁ = 0，x₂ = 2 【答案】C 【分析】提取公因式2x。 【详解】解：2x² + 4x = 0， 提取公因式：2x(x + 2) = 0， ∴2x = 0 或 x + 2 = 0， ∴x₁ = 0，x₂ = -2。 故选：C。 3．（2024秋·山东济南·月考）解方程：x(x - 2) + x - 2 = 0。 【答案】x₁ = 2，x₂ = -1 【分析】将(x - 2)看作整体，提取公因式(x - 2)。 【详解】解：x(x - 2) + x - 2 = 0， 提取公因式(x - 2)：(x - 2)(x + 1) = 0， ∴x - 2 = 0 或 x + 1 = 0， ∴x₁ = 2，x₂ = -1。 4．（2024-2025九年级上·湖北武汉·单元测）解方程：3x(x - 1) = 2(x - 1)。 【答案】x₁ = 1，x₂ = 【分析】移项后提取公因式(x - 1)，注意不能直接两边除以(x - 1)，会丢根。 【详解】解：3x(x - 1) = 2(x - 1)， 移项：3x(x - 1) - 2(x - 1) = 0， 提取公因式：(x - 1)(3x - 2) = 0， ∴x - 1 = 0 或 3x - 2 = 0， ∴x₁ = 1，x₂ = 。 题型02 平方差公式法解方程 5．（2024秋·湖南长沙·期中）方程x² - 4 = 0的解是（　　） A．x = 2 B．x = -2 C．x₁ = 2，x₂ = -2 D．x = 4 【答案】C 【分析】利用平方差公式a² - b² = (a + b)(a - b)分解。 【详解】解：x² - 4 = 0， 利用平方差公式：(x + 2)(x - 2) = 0， ∴x + 2 = 0 或 x - 2 = 0， ∴x₁ = -2，x₂ = 2。 故选：C。 6．（2024-2025九年级上·河南郑州·月考）方程9x² - 25 = 0的解是（　　） A．x = B．x = - C．x₁ = ，x₂ = - D．x₁ = ，x₂ = - 【答案】C 【分析】9x² = (3x)²，25 = 5²，利用平方差公式。 【详解】解：9x² - 25 = 0， (3x)² - 5² = 0， 利用平方差公式：(3x + 5)(3x - 5) = 0， ∴3x + 5 = 0 或 3x - 5 = 0， ∴x₁ = - ，x₂ = 。 故选：C。 7．（2024秋·河北石家庄·期末）解方程：(x + 1)² - (2x - 3)² = 0。 【答案】x₁ = 4，x₂ = 2/3 【分析】将(x+1)和(2x-3)看作整体，利用平方差公式。 【详解】解：(x + 1)² - (2x - 3)² = 0， 利用平方差公式：[(x + 1) + (2x - 3)][(x + 1) - (2x - 3)] = 0， 化简：(3x - 2)(-x + 4) = 0， ∴3x - 2 = 0 或 -x + 4 = 0， ∴x₁ = ，x₂ = 4。 题型03 完全平方公式法解方程 8．（2024-2025九年级上·陕西西安·期中）方程x² - 4x + 4 = 0的解是（　　） A．x = 2 B．x = -2 C．x₁ = x₂ = 2 D．x₁ = x₂ = -2 【答案】C 【分析】利用完全平方公式a² - 2ab + b² = (a - b)²。 【详解】解：x² - 4x + 4 = 0， 利用完全平方公式：(x - 2)² = 0， ∴x - 2 = 0， ∴x₁ = x₂ = 2。 故选：C。 9．（2024秋·辽宁沈阳·月考）方程4x² + 4x + 1 = 0的解是（　　） A．x₁ = x₂ = B．x₁ = x₂ = - C．x₁ = ，x₂ = - D．x₁ = 2，x₂ = -2 【答案】B 【分析】4x² = (2x)²，1 = 1²，4x = 2·2x·1，利用完全平方公式。 【详解】解：4x² + 4x + 1 = 0， (2x)² + 2·2x·1 + 1² = 0， 利用完全平方公式：(2x + 1)² = 0， ∴2x + 1 = 0， ∴x₁ = x₂ = -。 故选：B。 10．（2024-2025九年级上·重庆渝中·期末）解方程：x² + 6x + 9 = 0。 【答案】x₁ = x₂ = -3 【分析】利用完全平方公式。 【详解】解：x² + 6x + 9 = 0， (x + 3)² = 0， ∴x + 3 = 0， ∴x₁ = x₂ = -3。 题型04 十字相乘法解方程 11．（2024秋·天津南开·单元测）方程x² + 3x + 2 = 0的解是（　　） A．x₁ = 1，x₂ = 2 B．x₁ = -1，x₂ = -2 C．x₁ = 1，x₂ = -2 D．x₁ = -1，x₂ = 2 【答案】B 【分析】十字相乘：x² + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)。 【详解】解：x² + 3x + 2 = 0， 十字相乘分解：(x + 1)(x + 2) = 0， ∴x + 1 = 0 或 x + 2 = 0， ∴x₁ = -1，x₂ = -2。 故选：B。 12．（2024-2025九年级上·四川成都·期中）方程x² - 5x + 6 = 0的解是（　　） A．x₁ = 2，x₂ = 3 B．x₁ = -2，x₂ = -3 C．x₁ = 1，x₂ = 6 D．x₁ = -1，x₂ = -6 【答案】A 【分析】十字相乘：x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)。 【详解】解：x² - 5x + 6 = 0， 十字相乘分解：(x - 2)(x - 3) = 0， ∴x - 2 = 0 或 x - 3 = 0， ∴x₁ = 2，x₂ = 3。 故选：A。 13．（2024秋·广东深圳·月考）解方程：x² - x - 6 = 0。 【答案】x₁ = 3，x₂ = -2 【分析】十字相乘：x² - x - 6 = (x - 3)(x + 2)。 【详解】解：x² - x - 6 = 0， 十字相乘分解：(x - 3)(x + 2) = 0， ∴x - 3 = 0 或 x + 2 = 0， ∴x₁ = 3，x₂ = -2。 14．（2024-2025九年级上·安徽合肥·期末）解方程：2x² - 5x + 2 = 0。 【答案】x₁ = 2，x₂ = 1/2 【分析】二次项系数不为1的十字相乘：2x² - 5x + 2 = (2x - 1)(x - 2)。 【详解】解：2x² - 5x + 2 = 0， 十字相乘分解：(2x - 1)(x - 2) = 0， ∴2x - 1 = 0 或 x - 2 = 0， ∴x₁ = ，x₂ = 2。 题型05 因式分解法的综合应用（先整理再分解） 15．（2024秋·福建福州·单元测）解方程：x(x - 2) = 3x - 6。 【答案】x₁ = 2，x₂ = 3 【分析】先移项整理，再提取公因式。 【详解】解：x(x - 2) = 3x - 6， 移项：x(x - 2) - 3x + 6 = 0， x(x - 2) - 3(x - 2) = 0， 提取公因式：(x - 2)(x - 3) = 0， ∴x - 2 = 0 或 x - 3 = 0， ∴x₁ = 2，x₂ = 3。 16．（2024-2025九年级上·江西南昌·期中）解方程：(x - 3)² = 2(x - 3)。 【答案】x₁ = 3，x₂ = 5 【分析】移项后提取公因式(x - 3)。 【详解】解：(x - 3)² = 2(x - 3)， 移项：(x - 3)² - 2(x - 3) = 0， 提取公因式：(x - 3)(x - 3 - 2) = 0， 即(x - 3)(x - 5) = 0， ∴x - 3 = 0 或 x - 5 = 0， ∴x₁ = 3，x₂ = 5。 17．（2024秋·山东青岛·期末）解方程：x² - 2x - 3 = 0。 【答案】x₁ = 3，x₂ = -1 【分析】十字相乘分解。 【详解】解：x² - 2x - 3 = 0， 十字相乘分解：(x - 3)(x + 1) = 0， ∴x - 3 = 0 或 x + 1 = 0， ∴x₁ = 3，x₂ = -1。 题型06 选择合适的方法解方程 18．（2024-2025九年级上·江苏苏州·期末）解方程：x² - 2x = 0（用因式分解法）。 【答案】x₁ = 0，x₂ = 2 【分析】提取公因式x。 【详解】解：x² - 2x = 0， 提取公因式：x(x - 2) = 0， ∴x = 0 或 x - 2 = 0， ∴x₁ = 0，x₂ = 2。 19．（2024秋·北京海淀·月考）用适当的方法解方程：x² - 4x + 1 = 0。 【答案】x₁ = 2 + ，x₂ = 2 - 【分析】此方程不能因式分解，用配方法或公式法。 【详解】解：x² - 4x + 1 = 0， 用配方法： 移项：x² - 4x = -1， 配方：x² - 4x + 4 = -1 + 4， 即(x - 2)² = 3， 开平方：x - 2 = ±， ∴x₁ = 2 + ，x₂ = 2 - 。 20．（2024-2025九年级上·上海浦东·期末）用适当的方法解方程：(x + 1)(x - 2) = 4。 【答案】x₁ = 3，x₂ = -2 【分析】先展开整理为一般形式，再十字相乘。 【详解】解：(x + 1)(x - 2) = 4， 展开：x² - 2x + x - 2 = 4， 整理：x² - x - 6 = 0， 十字相乘分解：(x - 3)(x + 2) = 0， ∴x - 3 = 0 或 x + 2 = 0， ∴x₁ = 3，x₂ = -2。 二、进阶思维题 （一）选择题 1．（2024-2025九年级上·湖北武汉·期末）用因式分解法解方程x² - mx - 6 = 0，若将左边分解后有一个因式为x - 3，则m的值为（　　） A．1 B．-1 C．5 D．-5 【答案】A 【分析】x - 3是因式，说明x = 3是方程的根，代入求m。 【详解】解：∵x - 3是x² - mx - 6的一个因式， ∴x = 3是方程x² - mx - 6 = 0的一个根， 代入得：9 - 3m - 6 = 0， 3 - 3m = 0， ∴m = 1。 故选：A。 2．（2024秋·湖南长沙·期末）已知x = 2是一元二次方程x² + mx + 2 = 0的一个根，则m的值和另一个根分别是（　　） A．-3，1 B．3，1 C．-3，-1 D．3，-1 【答案】A 【分析】先代入求m，再解方程求另一个根。 【详解】解：∵x = 2是方程x² + mx + 2 = 0的根， 代入得：4 + 2m + 2 = 0， 2m = -6， ∴m = -3。 方程为x² - 3x + 2 = 0， 分解：(x - 1)(x - 2) = 0， ∴另一个根为x = 1。 故选：A。 3．（2024-2025九年级上·河南郑州·期末）若关于x的一元二次方程x² - 3x + k = 0有一个根为1，则k的值为（　　） A．2 B．-2 C．1 D．-1 【答案】A 【分析】将x = 1代入方程求k。 【详解】解：∵x = 1是方程x² - 3x + k = 0的根， 代入得：1 - 3 + k = 0， ∴k = 2。 故选：A。 4．（2024秋·河北唐山·期末）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x² - 6x + 8 = 0的一个根，则这个三角形的周长是（　　） A．9 B．11 C．13 D．11或13 【答案】C 【分析】先解方程，再用三角形三边关系判断。 【详解】解：x² - 6x + 8 = 0， 分解：(x - 2)(x - 4) = 0， ∴x₁ = 2，x₂ = 4。 当第三边为2时，3 + 2 = 5 < 6，不能构成三角形； 当第三边为4时，3 + 4 > 6，能构成三角形， 周长 = 3 + 6 + 4 = 13。 故选：C。 5．（2024-2025九年级上·陕西西安·期末）若x² - 5xy + 6y² = 0（y ≠ 0），则的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．-2或-3 【答案】C 【分析】将方程看作关于x的二次方程，十字相乘分解。 【详解】解：x² - 5xy + 6y² = 0， 十字相乘分解：(x - 2y)(x - 3y) = 0， ∴x - 2y = 0 或 x - 3y = 0， ∴x = 2y 或 x = 3y， ∵y ≠ 0， ∴ = 2 或 x/y = 3。 故选：C。 6．（2024秋·辽宁大连·期末）已知方程x² + px + q = 0的两个根分别是2和-3，则x² + px + q可分解为（　　） A．(x + 2)(x + 3) B．(x - 2)(x - 3) C．(x - 2)(x + 3) D．(x + 2)(x - 3) 【答案】C 【分析】根据根与因式的关系：若x = a是根，则(x - a)是因式。 【详解】解：∵方程x² + px + q = 0的两个根分别是2和-3， ∴x² + px + q = (x - 2)(x - (-3)) = (x - 2)(x + 3)。 故选：C。 （二）填空题 7．（2024-2025九年级上·重庆沙坪坝·期末）方程x² - 3x = 0的根为___x₁ = 0，x₂ = 3_____。 【答案】x₁ = 0，x₂ = 3 【分析】提取公因式x。 【详解】解：x² - 3x = 0， x(x - 3) = 0， ∴x₁ = 0，x₂ = 3。 8．（2024秋·天津和平·期末）若x² - mx - 15 = (x + 3)(x + n)，则m = ___2_____，n = _____-5___。 【答案】2；-5 【分析】展开右边，对应系数相等。 【详解】解：(x + 3)(x + n) = x² + nx + 3x + 3n = x² + (n + 3)x + 3n， ∵x² - mx - 15 = x² + (n + 3)x + 3n， ∴3n = -15，n = -5； -m = n + 3 = -5 + 3 = -2， ∴m = 2。 9．（2024-2025九年级上·四川成都·期末）已知x = 1是方程x² + ax - b = 0的一个根，则代数式1 - a + b的值为___2_____。 【答案】2 【分析】由x = 1是根，得1 + a - b = 0，即a - b = -1，整体代入。 【详解】解：∵x = 1是方程x² + ax - b = 0的根， ∴1 + a - b = 0，即a - b = -1， ∴1 - a + b = 1 - (a - b) = 1 - (-1) = 2。 10．（2024秋·广东广州·期末）方程(x - 1)(x + 2) = 2(x + 2)的根是____x₁ = -2，x₂ = 3____。 【答案】x₁ = -2，x₂ = 3 【分析】移项后提取公因式(x + 2)。 【详解】解：(x - 1)(x + 2) = 2(x + 2)， 移项：(x - 1)(x + 2) - 2(x + 2) = 0， 提取公因式：(x + 2)(x - 1 - 2) = 0， 即(x + 2)(x - 3) = 0， ∴x₁ = -2，x₂ = 3。 11．（2024-2025九年级上·山东济南·期末）若关于x的方程x² - 2x - m = 0有一个根为3，则m的值为____3____，另一个根为____-1____。 【答案】3；-1 【分析】先代入求m，再解方程求另一个根。 【详解】解：∵x = 3是方程x² - 2x - m = 0的根， 代入得：9 - 6 - m = 0， ∴m = 3。 方程为x² - 2x - 3 = 0， 分解：(x - 3)(x + 1) = 0， ∴另一个根为x = -1。 （三）解答题 12．（2024秋·江苏南京·期末）用因式分解法解方程： （1）x² - 4x = 0；（2）(x - 1)² - 4 = 0；（3）x² - 5x + 6 = 0。 【答案】（1）x₁ = 0，x₂ = 4；（2）x₁ = 3，x₂ = -1；（3）x₁ = 2，x₂ = 3 【分析】分别用提公因式法、平方差公式法、十字相乘法。 【详解】解：（1）x² - 4x = 0， 提取公因式：x(x - 4) = 0， ∴x = 0 或 x - 4 = 0， ∴x₁ = 0，x₂ = 4。 （2）(x - 1)² - 4 = 0， 利用平方差公式：(x - 1 + 2)(x - 1 - 2) = 0， 即(x + 1)(x - 3) = 0， ∴x + 1 = 0 或 x - 3 = 0， ∴x₁ = -1，x₂ = 3。 （3）x² - 5x + 6 = 0， 十字相乘分解：(x - 2)(x - 3) = 0， ∴x - 2 = 0 或 x - 3 = 0， ∴x₁ = 2，x₂ = 3。 13．（2024-2025九年级上·浙江杭州·期末）解方程：(x - 3)² + 2x(x - 3) = 0。 【答案】x₁ = 3，x₂ = 1 【分析】提取公因式(x - 3)。 【详解】解：(x - 3)² + 2x(x - 3) = 0， 提取公因式(x - 3)：(x - 3)[(x - 3) + 2x] = 0， 化简：(x - 3)(3x - 3) = 0， 即3(x - 3)(x - 1) = 0， ∴x - 3 = 0 或 x - 1 = 0， ∴x₁ = 3，x₂ = 1。 14．（2024秋·湖北武汉·期中）已知关于x的一元二次方程x² - (k + 3)x + 2k + 2 = 0。 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围。 【答案】（1）证明见详解；（2）k < 0 【分析】（1）计算判别式证明非负；（2）因式分解求根，再根据条件列不等式。 【详解】（1）证明：Δ = [-(k + 3)]² - 4×1×(2k + 2) = k² + 6k + 9 - 8k - 8 = k² - 2k + 1 = (k - 1)² ≥ 0， ∴方程总有两个实数根。 （2）解：x² - (k + 3)x + 2k + 2 = 0， 十字相乘分解：(x - 2)(x - k - 1) = 0， ∴x₁ = 2，x₂ = k + 1。 ∵方程有一个根小于1，而2 > 1， ∴k + 1 < 1， ∴k < 0。 15．（2024-2025九年级上·四川成都·期末）在等腰三角形ABC中，AB = AC，BC = 8，AB、AC的长是关于x的方程x² - 10x + m = 0的两个根，求m的值。 【答案】m = 25 【分析】AB = AC，说明方程有两个相等的实数根，判别式为0，或两根相等。 【详解】解：∵AB = AC，AB、AC是方程x² - 10x + m = 0的两个根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴Δ = (-10)² - 4m = 0， 100 - 4m = 0， ∴m = 25。 验证：当m = 25时，方程为x² - 10x + 25 = 0， (x - 5)² = 0， x₁ = x₂ = 5， 即AB = AC = 5， 5 + 5 > 8，能构成三角形，符合题意。 ∴m = 25。 三、中考链接题 1．（2024·江苏苏州·中考）方程x² - 2x = 0的解是（　　） A．x = 0 B．x = 2 C．x₁ = 0，x₂ = 2 D．x₁ = 0，x₂ = -2 【答案】C 【分析】提取公因式x。 【详解】解：x² - 2x = 0， 提取公因式：x(x - 2) = 0， ∴x = 0 或 x - 2 = 0， ∴x₁ = 0，x₂ = 2。 故选：C。 2．（2024·浙江杭州·中考）方程x² - 4 = 0的解是（　　） A．x = 2 B．x = -2 C．x₁ = 2，x₂ = -2 D．x = 4 【答案】C 【分析】利用平方差公式分解。 【详解】解：x² - 4 = 0， (x + 2)(x - 2) = 0， ∴x + 2 = 0 或 x - 2 = 0， ∴x₁ = -2，x₂ = 2。 故选：C。 3．（2024·山东济南·中考）一元二次方程x(x - 2) = x - 2的根是（　　） A．x = 1 B．x = 2 C．x₁ = 1，x₂ = 2 D．x₁ = 0，x₂ = 2 【答案】C 【分析】移项后提取公因式(x - 2)。 【详解】解：x(x - 2) = x - 2， 移项：x(x - 2) - (x - 2) = 0， 提取公因式：(x - 2)(x - 1) = 0， ∴x - 2 = 0 或 x - 1 = 0， ∴x₁ = 2，x₂ = 1。 故选：C。 4．（2024·广东广州·中考）方程x² - 5x + 6 = 0的两个根分别是（　　） A．x₁ = 2，x₂ = 3 B．x₁ = -2，x₂ = -3 C．x₁ = 1，x₂ = 6 D．x₁ = -1，x₂ = -6 【答案】A 【分析】十字相乘分解。 【详解】解：x² - 5x + 6 = 0， 十字相乘分解：(x - 2)(x - 3) = 0， ∴x - 2 = 0 或 x - 3 = 0， ∴x₁ = 2，x₂ = 3。 故选：A。 5．（2024·四川成都·中考）已知x = 2是关于x的一元二次方程x² + x + m = 0的一个根，则m的值为（　　） A．-6 B．6 C．-3 D．3 【答案】A 【分析】将x = 2代入方程求m。 【详解】解：∵x = 2是方程x² + x + m = 0的根， 代入得：4 + 2 + m = 0， ∴m = -6。 故选：A。 6．（2024·湖北武汉·中考）解方程：x² - 3x + 2 = 0。 【答案】x₁ = 1，x₂ = 2 【分析】十字相乘分解。 【详解】解：x² - 3x + 2 = 0， 十字相乘分解：(x - 1)(x - 2) = 0， ∴x - 1 = 0 或 x - 2 = 0， ∴x₁ = 1，x₂ = 2。 7．（2024·陕西·中考）方程(x - 2)² = 3(x - 2)的解是（　　） A．x = 5 B．x = 2 C．x₁ = 2，x₂ = 5 D．x₁ = -2，x₂ = -5 【答案】C 【分析】移项后提取公因式(x - 2)。 【详解】解：(x - 2)² = 3(x - 2)， 移项：(x - 2)² - 3(x - 2) = 0， 提取公因式：(x - 2)(x - 2 - 3) = 0， 即(x - 2)(x - 5) = 0， ∴x - 2 = 0 或 x - 5 = 0， ∴x₁ = 2，x₂ = 5。 故选：C。 8．（2024·重庆·中考）若关于x的一元二次方程x² - 4x + m = 0有一个根为x = 1，则另一个根为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先代入求m，再解方程求另一个根。 【详解】解：∵x = 1是方程x² - 4x + m = 0的根， 代入得：1 - 4 + m = 0， ∴m = 3。 方程为x² - 4x + 3 = 0， 分解：(x - 1)(x - 3) = 0， ∴另一个根为x = 3。 故选：C。 9．（2024·北京·中考）方程x² - 2x - 3 = 0的解是___x₁ = 3，x₂ = -1_____。 【答案】x₁ = 3，x₂ = -1 【分析】十字相乘分解。 【详解】解：x² - 2x - 3 = 0， 十字相乘分解：(x - 3)(x + 1) = 0， ∴x - 3 = 0 或 x + 1 = 0， ∴x₁ = 3，x₂ = -1。 10．（2024·上海·中考）解方程：(x + 1)(x - 3) = 5。 【答案】x₁ = 4，x₂ = -2 【分析】先展开整理为一般形式，再十字相乘。 【详解】解：(x + 1)(x - 3) = 5， 展开：x² - 3x + x - 3 = 5， 整理：x² - 2x - 8 = 0， 十字相乘分解：(x - 4)(x + 2) = 0， ∴x - 4 = 0 或 x + 2 = 0， ∴x₁ = 4，x₂ = -2。 学科网（北京）股份有限公司 $