17.3 数学活动——用十字相乘法分解因式 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“个位数字为5的两位数平方规律”及“利用因式分解生成密码”两大核心内容，通过计算实例引导观察规律，复习因式分解方法搭建学习支架，衔接旧知与新知探究。 其亮点在于以问题驱动探究，活动1从具体算式抽象出规律并代数证明，培养抽象能力和推理意识，活动2结合密码生成与逆向应用，发展模型意识和应用意识。采用实例验证和实践操作，学生提升逻辑思维与创新能力，教师可依托清晰结构高效教学。

第十七章 因式分解 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 17.3 数学活动 1 第十七章 因式分解 活动1 个位数字是5的两位数平方的规律 2 学习目标 1. 掌握个位数字是 5 的两位数平方的规律，并能通过代数方法证明该规律. 2. 通过观察、归纳、代数证明的过程，培养逻辑推理能力和抽象概括能力. 3. 感受数学规律的简洁性与奇妙性，激发对代数探究的兴趣. 3 课程导入 4 新知探究 15×15 = . 25×25 = . 35×35 = . 计算下面各式： 225 625 1225 算一下这几个算式，你有什么发现吗？ 5 新知探究 = 1×2×100+25 = 2×3×100+25 = 3×4×100+25 观察下面的算式： 这些算式中，数字之间有什么共同规律？ 15×15 = . 25×25 = . 35×35 = . 225 625 1225 结果中的“1×2”、“2×3”、“3×4” ，与算式中的哪个数字有着密切的联系？ 6 新知探究 = 1×2×100+25 = 2×3×100+25 = 3×4×100+25 15×15 = . 25×25 = . 35×35 = . 225 625 1225 请仿照上面的形式，将□中的数字填写完整. 45×45 = □ × □ ×100+25 75×75 = □ × □ ×100+25 4 5 7 8 7 新知探究 15×15 = 1×2×100 + 25 25×25 = 2×3×100 + 25 35×35 = 3×4×100 + 25 45×45 = 4×5×100 + 25 观察算式中十位数字（1、2、3、4）与结果中“ 1×2”、“2×3”、 “3×4”、 “4×5”之间存在什么样的关系？结果中的“ 25 ”又与算式中的哪个数字有关？ 8 新知探究 设两位数的十位数字记为n（n为 1-9 的整数），则这个两位数可表示为10n+5. 平方结果的结构：“十位数字 ×（十位数字 + 1）×100 + 25”. 152 = 1×2×100 + 25 252 = 2×3×100 + 25 352 = 3×4×100 + 25 452 = 4×5×100 + 25 9 新知探究 猜想：个位数是 5 的两位数的平方，等于其十位数字n乘以n+1，再乘以 100，最后加上 25，即： (10n+5)2=n(n+1)×100+25（n为 1-9 的整数）. 152 = 1×2×100 + 25 252 = 2×3×100 + 25 352 = 3×4×100 + 25 452 = 4×5×100 + 25 10 新知探究 你能再举几个具有这样特征的例子，并用规律计算并验证吗？ 65²：n=6，则6×7×100+25=4200+25=4225， 实际计算65×65=4225，规律成立. 95²：n=5，则9×10×100+25=9000+25=9025， 实际计算95×95=9025，规律成立. 11 新知探究 你能用所学知识证明(10n+5)2=n(n+1)×100+25（n为 1-9 的整数）这个结论吗？ 根据完全平方公式： . 代入得： (a+b)2=a2+2ab+b2 (10n+5)2 = (10n)2+2×10n×5+52 = 100n2+100n+25 = 100n(n+1)+25 我们的结论是正确的！ 12 新知探究 思考：这个规律能否推广到个位数是 5 的三位数（如 105²）？ 105 可表示为10×10+5，令a=10， 则(10a+5)2=100a(a+1) +25，代入a=10，得 100×10×11+25=11025， 实际计算1052=11025， 规律可推广. 13 第十七章 因式分解 活动2 利用因式分解生成密码 14 学习目标 1. 理解利用因式分解生成密码的原理，能独立完成多项式的因式分解、因式码赋值与密码生成，以及根据密码反推因式的过程. 2.在因式分解生成密码的实践中，提升知识应用能力和创新思维能力。 3. 体会数学在实际生活中的应用价值，培养创新意识和应用意识. 15 16 课程导入 17 复习旧知 我们已经学习了哪些因式分解的方法？ 1.提公因式法： 分解3x2+6x： . 2.平方差公式： 分解9a2−16b2： . 3.完全平方公式： 分解x2+4x+4： . 先找公因式3x，再提取，得3x(x+2). 公式a2+2ab+b2=(a+b)2，推导得(x+2)2. 公式a2−b2=(a+b)(a−b)，推导得(3a+4b)(3a−4b). 18 新知探究 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码. 19 新知探究 例如多项式 x2y-4y： 第一步：因式分解：将其分解因式为 y(x+2)(x-2). 第二步：赋值计算：若取 x=15，y=12，则有y=12，x+2=17，x-2=13，其中12，17，13分别为因式码. 第三步：排序形成密码：将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317. 当然也可以另取一些适当的数字，得出新的密码. 20 新知探究 问题1 已知多项式16p4-q4，当取p=10，q=5时，用上述方法生成的密码是什么？ 步骤一：因式分解 根据平方差公式a² - b² = (a+b)(a-b). 16p⁴ - q⁴ = (4p² + q²)(4p² - q²) = (4p² + q²)(2p + q)(2p - q). 21 新知探究 问题1 已知多项式16p4-q4，当取p=10，q=5时，用上述方法生成的密码是什么？ 步骤二：赋值计算 将p=10，q=5代入： 4p² + q² = 4×10² + 5² = 425； 2p + q = 2×10 + 5 = 25； 2p - q = 2×10 - 5 = 15. 从而得到因式码425，25，15. 22 新知探究 问题1 已知多项式16p4-q4，当取p=10，q=5时，用上述方法生成的密码是什么？ 步骤三：排序生成密码 将15，25，425排序为1525425， 得出密码1525425. 23 新知探究 问题2 已知多项式16p4-q4，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？ 分析：5和15是三个因式码中较小的两个，第三个因式码应大于15. 由问题1的分解结果(4p² + q²)(2p + q)(2p - q)， 4p² + q²的值一定为正，且由于p、q为正整数， ∴ 4p² + q² > 2p + q， ∴ 4p² + q²是最大的因式码，5和15应为(2p + q)与(2p - q)的取值. 24 新知探究 问题2 已知多项式16p4-q4，用上述方法生成密码，若密码的前两个因式码为5，15，你能求出第三个因式码吗？ 由于2p - q < 2p + q，可列方程组： 解得p=5，q=5， 将p=5， q=5代入 4p² + q²，得 4×25 + 25 = 125. 从而得出第三个因式码为125，密码为515125. 25 新知探究 问题3 自己写一个多项式，并用上述方法生成密码. 例：分解多项式9a² - 6ab + b²，取a=5，b=3，生成密码. 9a² - 6ab + b² =(3a-b)² =12²，因式码12，密码12； 拓展：若多项式为3(9a²-6ab+b²)，取a=5，b=3，生成密码 ： 3(9a²-6ab+b²) =3(3a-b)²，密码312. 26 随堂演练 1．探究活动 (1)152＝15×15＝225＝(1×2)×100＋25； 252＝25×25＝625＝(2×3)×100＋25； 352＝35×35＝1 225＝(3×4)×100＋25； 452＝________________________________________； …… 45×45＝2 025＝(4×5)×100＋25 27 随堂演练 (2) 2＝ (表示十位上数字是a，个位上数字是5的两位数， 2表示此两位数的平方)；(结果化为最简) (3)“十位上的数字相同，个位上的数字之和等于10的两位数的积”，即 · (其中b＋d＝10)，会不会也有类似规律？如果有，请探索找出规律并证明；如果没有，请说明理由． 100a2＋100a＋25 28 随堂演练 解：(3) · 也有类似规律， · ＝100a2＋100a＋bd. 证明： · ＝(10a＋b)(10a＋d) ＝100a2＋10ad＋10ab＋bd ＝100a2＋10a(b＋d)＋bd. 因为b＋d＝10， 所以原式＝100a2＋10a×10＋bd＝100a2＋100a＋bd， 所以找出的规律成立． 29 随堂演练 2．在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如生日，连续数字等简单密码又容易被破解，密码过于复杂自己又容易忘记，因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了．某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用因式分解产生的密码，方便记忆．其原理是将一个多项式分解因式，如将多项式x3－x分解因式的结果为x(x－1)(x＋1)，若取x＝10，则有x＝10，x－1＝9，x＋1＝11，此时把由几个因式得到的数字按照从小到大的顺序排列得到数字密码091011(不足10的数字在其前补0). 30 随堂演练 (1)根据上述方法，小明同学设置了某软件登录密码：将多项式x3－xy2分解因式后利用x，y的数值设置密码，若取x＝9，y＝3，请问小明该软件的登录密码是多少？ (2)根据上述方法，学校管理员设置了一个密码：一个等腰三角形的周长是12，其中腰长和底边长分别为不同的整数x，y，请你破解出对多项式x3－4xy2分解因式后得到的密码． 31 随堂演练 解：(1) x3－xy2＝x(x2－y2)＝x(x－y)(x＋y)， 若取x＝9，y＝3， 则有x＝9，x－y＝9－3＝6，x＋y＝9＋3＝12， ∴小明该软件的登录密码是060912. 32 随堂演练 (2)∵一个等腰三角形的周长是12，其中腰长和底边长分别为不同的整数x，y， ∴2x＋y＝12. ∵x，y都为整数， ∴(不合题意的已舍去). x3－4xy2＝x(x2－4y2)＝x(x＋2y)(x－2y)， 当x＝5，y＝2时，x＋2y＝5＋2×2＝9，x－2y＝5－2×2＝1， ∴对多项式x3－4xy2分解因式后得到的密码是010509. 33 课程小结 活动 1：个位数字是 5 的两位数平方规律 个位数字为 5 的两位数可表示为10a+5（其中a是 1 到 9 的整数），其平方的规律为：(10a+5)2=a×(a+1)×100+25.​ 活动 2：利用因式分解生成密码 把多项式因式分解为几个因式的乘积，将选定的数值代入因式得到 “因式码”，再将因式码按从小到大排列，即可生成密码. 逆向应用：若已知前两个因式码，可通过解方程组反推字母取值，进而求出第三个因式码. 34 第十七章 因式分解 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 17.3 数学活动 35 $