21.2用公式法分解因式（第3课时，综合运用）（教学课件）数学新教材人教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦因式分解综合运用，涵盖提公因式法、公式法及十字相乘法，通过知识回顾（概念、已学方法）和“练一练”巩固旧知，为新知探究搭建从单一方法到综合运用的学习支架。 其亮点在于以“一提二套三查”步骤引导推理，结合“议一议”“做一做”探究十字相乘法，融入三角形形状判断等实例培养应用意识。课堂小结用顺口溜强化方法，助力学生提升数学思维与综合能力，为教师提供系统教学流程与丰富例题。

21.2用公式法分解因式 第21章 因式分解 第3课时 综合运用各种方法分解因式 学 习 目 标 1 2 能综合运用提公因式法和公式法进行因式分解,提高学生的观察分析能力和综合运用能力 ． 感受十字相乘法,了解因式分解方法的多样性,扩展学生思维 ． 3 了解代数推理,强化学生的推理能力、应用意识与创新意识 ． 知识回顾 3、因式分解的主要方法： （１）提取公因式法： （２）公式法： 一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解. 1、因式分解的概念 利用公式对某些符合公式特征的多项式进行分解因式 平方差公式 完全平方公式 整式乘法 因式分解 一个多项式 几个整式的积 2.因式分解和整式乘法的关系是？ 是方向相反的变形 下列多项式能不能用公式法因式分解，为什么？ (1) m2－4m+4; (2)1+4m2; (3) 4b4 - 9a² ; (4)m2+mb+b2. (1) m2－4m+4符合完全平方公式特征， m2－4m+4=（m-2）² (2)1+4m2不符合平方差公式，不能因式分解 (3) 4b4 - 9a² 符合平方差公式特征， 4b4 - 9a² =（2b²+3a）（ 2b²-3a ） (4)m2+mb+b2不符合完全平方公式特征，不能因式分解 解： 练一练 知识回顾 新知探究 探究点1 因式分解一般步骤 议一议 （1）对于多项式 ＋4＋ ,我们在进行因式分解的时候该怎么做? ＋ 4 ab ＋ 各项系数有公因式２，先提取 =２ ( ＋２ab ＋ ) （2）分解因式结束了吗? 符合完全平方式结构，可以继续分解因式 ＋4ab ＋ ＝ ２ ( ＋２ab ＋ ) ＝２ ． 先提取公因式 再用完全平方公式 新知探究 探究点1 因式分解一般步骤 议一议 （3）多项式,它符合平方差公式特征吗？能用平方差公式分解吗？ （4）你认为它还能不能再分解呢? 符合完全平方式结构，可以继续分解因式 利用平方差公式因式分解 对于一些复杂的因式分解问题,有时需要多次运 用公式法,有时还需要综合运用提公因式法和公式法 新知探究 探究点1 因式分解一般步骤 议一议 说一说因式分解的一般步骤 一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要优 　　　先提取公因式； 二套：再看有几项。 如两项，则考虑用平方差公式； 　　如三项，则考虑用完全平方公式； 三查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分 　　　解，如能分解，应分解到不能再分解为止。 典例分析 探究点1 因式分解一般步骤 (1) x4 – y4； 解：(1) x4 – y4 = (x2)2 – (y2)2 （1）可以用___________分解因式 = (x2 + y2)(x2 – y2) 平方差公式 其中 a = ____，b = ____ x2 y2 还能用平方差公式再分解 = (x2 + y2)(x + y)(x – y) 例 1　分解因式: (2) a3b – ab. 分析 分解因式，要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 解：(2) a3b – ab = ab(a2 – 1) = ab(a + 1)(a – 1) 还能用____________再分解 （2）可以用 ___________ 分解因式 提公因式法 平方差公式 典例分析 探究点1 因式分解一般步骤 (1) x4 – y4 例 1　分解因式: (2) a3b – ab. 分析 有时需要多次运用公式法 典例分析 探究点2 提公因式法与公式法综合运用 (1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) – ax2 + 2a2x – a3 . 解：(1) 3ax2 + 6axy + 3ay2 = 3a(x2 + 2xy + y2) 先提出公因式，再用公式法进一步分解因式 (2) – ax2 + 2a2x – a3 = –a(x2 – 2ax + a2) = –a(x – a)2 = 3a(x + y)2 例 ２　分解因式: 各项有公因式3a 各项有公因式-a （1）x4 – 8x2 + 16； （2）(x2 – 2x)2 + 2(x2 – 2x) + 1. 典例分析 探究点2 提公因式法与公式法综合运用 例3.分解因式: (1) 原式 = (x2 – 4)2 = [(x + 2)(x – 2)]2 = (x + 2)2(x – 2)2 (2) 原式 = (x2 – 2x + 1)2 = [(x – 1)2]2 = (x – 1)4 解： 看成整体，符合完全平方公式 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差(或 完全平方)的形式，就能用平方差(完全平方)公式因式分解. 提示 新知探究 探究点3 形如x2 + (p + q)x + pq因式分解 阅读理解：（1）计算后填空： x2-2x-3 x2+3x+2 （2）归纳、猜想后填空： p + q p q （3）根据你的理解，分解下列因式： x-5 x+2 x+8 x-1 做一做 x2 + (p + q)x + p q =( ) ( ) x + p x + q 可以将某些二次项系数是 1 的二次三项式因式分解. 新知探究 探究点3 形如x2 + (p + q)x + pq因式分解 议一议 二次三项式x2+bx+c满足什么条件能分解为两个一次式的积 （1）将多项式 － x －６ 分解因式 － x －６ = + （－3＋2）x +（－3）×2 =（ x－3）（ x +2） ∴b= －1= p + q ∵ － x －６=（x+ ）（x+ ） p q c = －６=pq 分析 1 1 2 -3 b=１× ( －３ ) ＋１×２＝－１ 交叉相乘求和 （-3）×2=-6 ∴p=-3 q=2 验证 新知探究 探究点3 形如x2 + (p + q)x + pq因式分解 议一议 二次三项式x2+bx+c满足什么条件能分解为两个一次式的积 （2）试用上述方法分解因式: ＋７x －18． c = －18=pq 1 1 －2 9 b=１× ( －2 ) ＋１×9＝＋7 交叉相乘求和 （-2）×9=－18 验证 ∵b= 7= p + q ＋７x －18 =（ 9）（ －2） ∴p= +9 q= －2 “十字相乘法” 新知探究 探究点3 形如x2 + (p + q)x + pq因式分解 议一议 二次三项式x2+bx+c满足什么条件能分解为两个一次式的积 x2+bx+c = x2 + (p + q)x + pq = x x p q px + qx = (p+q)x (x+ p)(x+q) 步骤 ①竖分二次项与常数项； ②交叉相乘，和相加； ③检验确定，横写因式． 顺口溜： 竖分常数交叉验， 横写因式不能乱． 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法． 典例分析 探究点3 形如x2 + (p + q)x + pq因式分解 例5.把下列多项式因式分解： (1) x2 - 6x + 8； (2) x2 + 4x − 5 . 解（1）分解因式，得 x2 - 6x + 8=(x − 2)(x − 4) . × -2 -4 （2）分解因式，得 x2 + 4x − 5=(x − 1)(x + 5) × -1 5 -4-2=-6 -1+5=4 拓展提升 （1）(x ＋２ )(x － 6) ＋１６ （2） （3）－－３ (２ a －３ ) (１ ) ( ＋２ )( －６ ) ＋１６ ＝ －６ ＋２ －１２＋１６ ＝ －４ ＋４ ＝ ; （1）（2）（3）均不能直接进行因式分解，（1）（3）要进行整式的乘法对原式化简，（2）是四项式，不符合公式特征，但可以先部分组合因式分解，再进一步因式分解 分析 利用整式的乘法化简 解: 1.分解因式: 拓展提升 （1）(x ＋２ )(x － 6) ＋１６ （2） （3）－－３ (２ a －３ ) （1）（2）（3）均不能直接进行因式分解，（1）（3）要进行整式的乘法对原式化简，（2）是四项式，不符合公式特征，但可以先部分组合因式分解，再进一步因式分解 分析 利用平方差公式 解: 1.分解因式: 加括号（） 分组后由公因式出现 (3) －－３ (２ a －３ ) ＝ －－６a ＋９ ＝ ( －６a ＋９ ) －􀪎 ＝ －􀪎􀪎􀪎􀪎􀪎 ＝ ( a －３＋ b )( a －３－ b ) 拓展提升 （1）(x ＋２ )(x － 6) ＋１６ （2） （3）－－３ (２ a －３ ) （1）（2）（3）均不能直接进行因式分解，（1）（3）要进行整式的乘法对原式化简，（2）是四项式，不符合公式特征，但可以先部分组合因式分解，再进一步因式分解 分析 去括号，整理为一个多项式 解: 1.分解因式: 符合完全平分公式 分组整理后利用平方差公式因式分解 拓展延伸 2. 分解因式： （1）4a2 – b2 + 4a – 2b； （2）x2 – 2xy + y2 – 1； （3）x2 – 6x + 8； （4）x2 + 3x – 10 . 解：(1) 原式 = (4a2 – b2) + (4a – 2b) = (2a + b)(2a – b) + 2(2a – b) = (2a – b)(2a + b + 2) (2) 原式 = (x – y)2 – 12 = (x – y + 1)(x – y – 1) (3) 原式 = x2 + [(–2) + (–4)]x + (–2)×(–4) = (x – 2)(x – 4) (4) 原式 = x2 + [5 + (–2)]x + 5×(–2) = (x + 5)(x – 2) 拓展提升 3.已知 a ,b , c 分别是 △ ABC 三边的长，且 ＋２ ＋ －２b ( a ＋ c ) ＝０ ,请判断 △ ABC 的形状,并说明理由 ． 解: △ ABC 是等边三角形,理由如下: 由 ＋２ ＋ －２b ( a ＋ c ) ＝０ , 得: －２ab ＋ ＋ －２bc ＋ ＝０ , 即：＋ ＝０ , ∴ ＝０ ,＝０ , ∴ a ＝ b ＝ c , ∴△ ABC 是等边三角形 ． 符合完全平分公式，部分因式分解 拓展提升 4. －１ 可以被 60 和 70 之间某两个自然数整除,求这两个数 ． 解: －１＝ ( ＋１ )( －１ ) ＝ (＋１ )( ＋１ )( －１ ) ＝ ( ＋１ )( ＋１ )( ＋１ )( －１ ) ∵26 ＝64 , ∴ －１＝63, ＋１＝65 , ∴原式=＝ ( ＋１ )×( ＋１ )×63×65 ∴这两个数是 63 和 65． 对 －１ 连续使用平方差公式进行分解,直至不能分解为止,再在题目所给范围内找寻符合题意的数 ． 分析 新知巩固 1. 分解因式： （1）x2y – 4y； （2）a3 – 2a2 + a； （3）ax2 + 2a2x + a3； （4） – a4 + 16； （5）3a – 6ax + 3ax2； （6） – 4bx2 + 8bxy – 4by2. 解：(1) 原式 = y(x2 – 4) = y(x + 2)(x – 2) (2) 原式 = a(a2 – 2a + 1) = a(a – 1)2 (3) 原式 = a(x2 + 2ax + a2) = a(x + a)2 新知巩固 1. 分解因式： （1）x2y – 4y； （2）a3 – 2a2 + a； （3）ax2 + 2a2x + a3； （4） – a4 + 16； （5）3a – 6ax + 3ax2； （6） – 4bx2 + 8bxy – 4by2. (5) 原式 = 3a(1 – 2x + x2) = 3a(x – 1)2 解： (6) 原式 = – 4b(x2 – 2xy + y2) = – 4b(x – y)2 (4) 原式 = – (a4 – 16) = – (a2 + 4)(a2 – 4) = – (a2 + 4)(a + 2) (a – 2) 新知巩固 2. 分解因式： （1）(a – b)2 + 4ab （2）(p – 4)(p + 1) + 3p . 解：(1) 原式 = a2 – 2ab + b2 + 4ab = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (2) 原式 = p2 + p – 4p – 4 + 3p = p2 – 4 = (p + 2)(p – 2) （1）（2）均不能直接进行因式分解，要进行整式的乘法对原式化简整理，在根据式子特征选择分解方法 分析 真题感知 1.(2024齐齐哈尔)分解因式：2a3－8ab2. 解：原式＝2a(a2－4b2) ＝2a(a＋2b)(a－2b)． 2．(2022荆门)对于任意实数a，b，a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)恒成立，则下列关系式正确的是( ) A．a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2) B．a3－b3＝(a＋b)(a2＋ab＋b2) C．a3－b3＝(a－b)(a2－ab＋b2) D．a3－b3＝(a＋b)(a2＋ab－b2) A 真题感知 2.（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： （1） （2） 真题感知 2.（24-25八年级上·山东东营·阶段练习） 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 分解因式： （1） （2） 解： （1） （2） 提公因式法 公式法 课堂小结 对于综合运用提公因式法和公式法分解因式,你能总结一般性步骤吗? 你能熟练运用各种方法分解因式吗? 一提 如果多项式各项都含有公因式，那么第一步是提取这个公因式 二套 如果多项式各项没有公因式，那么第一步考虑用公式法分解因式 三审 分解因式以后，若所含多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式的因式都不能分解为止 多步分解因式方法总结 因式分解顺口溜 若要分解多项式，先看有无公因式； 看到两次两项式，就用平方差公式； 遇到两次三项式，应用完全平方式； 结果都是积整式，彻底分解多项式。 结论：多项式的因式分解要分解到不能再分解为止. 方法：先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用公式分解因式. 课堂小结 课后练习 1.（1）18y3 – 27y4 – 3y2； （2）m4 – 18m2 + 81； （3）x4 – 16y4 ； （4）(a2 + b2 – c2)2 – (a2 – b2 – c2)2 解：(1) 原式 = – 3y2(9y2 – 6y + 1) = – 3y2(3y – 1)2 因式分解 (2) 原式 = (m2 – 9)2 = [(m + 3)(m – 3)]2 = (m + 3)2(m – 3)2 (3) 原式 = (x2 + 4y2)(x2 – 4y2) = (x2 + 4y2)(x + 2y)(x – 2y) (4) 原式 = [(a2 + b2 – c2) + (a2 – b2 – c2)][(a2 + b2 – c2) – (a2 – b2 – c2)] = (2a2 – 2c2)·2b2 = 4b2(a2 – c2) = 4b2(a + c)(a – c) 课后练习 2. 已知 xy = 4，x + y = 5，求 x3y + 2x2y2 + xy3 . 当 xy = 4，x + y = 5 时， 原式 = xy(x + y)2 = 4×52 = 100 解： x3y + 2x2y2 + xy3 = xy(x2 + 2xy + y2) = xy(x + y)2 课后练习 3. 分解因式： （1）(2ab + 1)2 – a4b4； （2）(p + q)2 – 6(p2 – q2) + 9(p – q)2. 解：(1) 原式 = (2ab + 1 + a2b2)(2ab + 1 – a2b2) = (ab + 1)2(2ab + 1 – a2b2) (2) 原式 = (p + q)2 – 6(p + q)(p – q) + 9(p – q)2 = [(p + q) – 3(p – q)]2 = (4q – 2p)2 = 4(2q – p)2 拓展提升 4.观察下列式子，你得出了什么结论？你能证明你的结论吗？ 12 + 12×22 + 22 = (1 + 1 + 1)2， 22 + 22×32 + 32 = (4 + 2 + 1)2， 32 + 32×42 + 42 = (9 + 3 + 1)2， ······ 12 + 12×22 + 22 = (1 + 1 + 1)2 22 + 22×32 + 32 = (4 + 2 + 1)2 32 + 32×42 + 42 = (9 + 3 + 1)2 ······ n2 + n2(n + 1)2 + (n + 1)2 = (n2 + n +1)2 (n 为正整数) 分析: 研究特例 观察总结 得到规律 拓展提升 4.观察下列式子，你得出了什么结论？你能证明你的结论吗？ 12 + 12×22 + 22 = (1 + 1 + 1)2， 22 + 22×32 + 32 = (4 + 2 + 1)2， 32 + 32×42 + 42 = (9 + 3 + 1)2， ······ 解:观察发现规律: n2 + n2(n + 1)2 + (n + 1)2 = (n2 + n +1)2 (n 为正整数) 为证明所得结论,需证明等号左右两边相等 = n2 + n2(n2 + 2n + 1) + (n2 + 2n + 1) = n4 + 2n3 + 2n2 + n2 + 2n + 1 = (n2)2 + 2n2(n + 1) + (n2 + 2n + 1) = (n2)2 + 2n2(n + 1) + (n + 1)2 = (n2 + n + 1)2 证明： n2 + n2(n + 1)2 + (n + 1)2 = (n2 + n + 1)2 对 2n3 + 2n2提公因式,得 2n3 + 2n2 ＝２n2 (n ＋１ ) 将 n ＋１ 看作一个整体, 对(n2)2 + 2n2(n + 1) + (n + 1)2 进行因式分解 强化练习 例１　 分解因式: (１ ) －４x; ( ２ ) － ; ( ３ ) －３ ＋24x －48; (４ ) －16; (５ ) ９ (a － b ) ＋(b － a ) ; (６ ) ＋８ (－ x )＋１． 解: (１ 原式＝x ( －４ ) ＝x (x ＋２ y )( x －２ y ); (２ )原式 ＝ (＋ ) (－ ) ＝ (＋ ) ( a ＋ b ) ( a － b ) ; (３ )原式＝ －３ ( －８x ＋１６ ) ＝－３ ; (４ )原式＝ ( ＋４＋４a )( ＋４－４a ) ＝ ; (５ )原式＝９ (a － b ) － (a － b ) ＝ (a － b ) ( ９ － ) ＝ (a － b )( ３ x ＋ y )( ３ x － y ); (６ )原式＝ ＋２ · (４ －４x ) · １＋ ＝ ＝ ＝ ． 感谢聆听! $