专题1.1.2 空间向量的数量积运算-重难点题型专讲讲义【知识清单+5大题型+强化训练】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量的数量积运算核心知识点，先通过定义、范围及两种求法构建空间向量夹角的认知基础，再系统梳理数量积的定义、运算规律、性质及求模长步骤，最后延伸至投影向量及在平面上的投影，形成从概念到应用的完整学习支架。 该资料以知识点与题型深度融合为特色，即学即练与综合题覆盖求数量积、夹角、模长、投影向量及最值等场景，如正四面体中向量运算、球与几何体结合的最值问题，培养学生用数学思维分析空间关系、用数学语言表达逻辑推理的能力。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，提升解题素养。

专题1.1.2 空间向量的数量积运算-重难点题型精讲 知识点01：空间向量的夹角 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：. 那么空间两个向量、的夹角的余弦. 2、夹角的范围： 3、求两个向量的夹角有两种方法： 方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小；（2）先求，再利用公式求，最后确定. 方法二：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量) ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小 【即学即练】 1．（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 知识点02：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作， 即． 2、数量积的运算规律： （1）； （2）（交换律） （3）（分配律） 3、空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 4、求空间向量数量积的步骤 （1）将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式， （2）利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积， （3）代入求解. 5、利用空间向量求模长 在空间两个向量的数量积中，特别地， 所以向量的模：。 将其推广： 【即学即练】 1．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 知识点03：向量的投影 1、向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）。 2、向量在平面上的投影 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量。这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角。 【即学即练】 1．（25-26高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型01 求空间向量的数量积 1．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 2．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）已知正四面体的棱长为，动点在面上运动，且满足，　则的值为__________. 3．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在斜三棱柱中，底面边长和侧棱长都为，且，则的值为____． 4．（25-26高二上·山东·阶段检测）如图，已知是等腰直角三角形，且，正方形的边长为4．若二面角的大小为，则______．    题型02 利用数量积求夹角 5．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）如图，直二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于．若，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）空间四边形中，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 7．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，.记向量，，，取的中点. (1)用向量，，表示向量，并求； (2)求向量和向量所成角的余弦值. 8．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，棱长为斜三棱柱中，，分别是的中点. (1)求四边形的面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 题型03 利用数量积求模长 9．（2026高三上·全国·专题练习）在空间四边形中，，，且，平面，则棱的长为______. 10．（25-26高三下·贵州安顺·阶段检测）正四棱台在古代被称为“方亭”，在中国古代建筑中有着广泛的应用．例如，古代园林中的台榭建筑常常采用这种结构，台上建有屋宇，称为“榭”，这种结构不仅美观，还具有广瞻四方的功能，常用于观赏和娱乐．在正四棱台中，，，，则________. 11．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则线段的长度为__________. 12．（25-26高二上·广东阳江·阶段检测）如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且（）．则线段的长的最小值为________． 题型04 利用数量积求投影向量 13．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·广东佛山·期中）在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·山东泰安·期中）在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______． 16．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 题型05 利用数量积求最值 17．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 18．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知半径为2的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是______. 19．（25-26高二上·上海·期中）体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是___________． 20．（2026高三上·全国·专题练习）在正方体中，，点,在线段上，且.点、、是正方体表面上动点,且，则的最小值为______. 1．（25-26高二上·江苏徐州·期末）在棱长为1的正四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建泉州·期末）在平行六面体中，，，则（   ） A．14 B．16 C．18 D．20 3．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 4．（25-26高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖南·阶段检测）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·贵州·阶段检测）（多选）在平行六面体中，，，且，则的值可能为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 10．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（多选）如图，平行六面体，，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）（多选）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图在平行六面体中，，，，则的长是___________．    13．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______． 14．（25-26高二下·河南开封·期末）已知四面体的所有棱长都等于，、分别是的中点，则___________． 15．（25-26高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 16．（25-26高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1.2 空间向量的数量积运算-重难点题型（讲） 知识点01：空间向量的夹角 1、定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：. 那么空间两个向量、的夹角的余弦. 2、夹角的范围： 3、求两个向量的夹角有两种方法： 方法一：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小；（2）先求，再利用公式求，最后确定. 方法二：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量) ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小 【即学即练】 1．（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 【答案】C 【分析】根据数量积公式，代入向量夹角公式，即可求解. 【详解】设， ， , ， , 所以和的夹角为. 故选：C 知识点02：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作， 即． 2、数量积的运算规律： （1）； （2）（交换律） （3）（分配律） 3、空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 4、求空间向量数量积的步骤 （1）将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式， （2）利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积， （3）代入求解. 5、利用空间向量求模长 在空间两个向量的数量积中，特别地， 所以向量的模：。 将其推广： 【即学即练】 1．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知正四面体的棱长都为1，点分别是的中点，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】把用表示，然后根据向量数量积的运算律结合正四面体的性质即可求解. 【详解】因为分别是的中点，所以， 所以 . 故选：C 知识点03：向量的投影 1、向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）。 2、向量在平面上的投影 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量。这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角。 【即学即练】 1．（25-26高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为. 故选：B 题型01 求空间向量的数量积 1．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据四面体的性质，结合向量加减法求向量的数量积． 【详解】四面体的棱长都是4， 四面体的4个面均为边长是4的等边三角形， 点M为棱的中点， ， ， 故选：A． 2．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）已知正四面体的棱长为，动点在面上运动，且满足，　则的值为__________. 【答案】0 【分析】由四点共面推得，再以为基底进行向量运算可得. 【详解】动点在平面上运动，且不共线， 则存在实数，使. 即， 所以. 又， 不共面， 由空间向量基本定理可知，故，解得. 即. 因为四面体正四面体，且棱长为. 所以，. 所以 . 故答案为：0. 3．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在斜三棱柱中，底面边长和侧棱长都为，且，则的值为____． 【答案】 【分析】根据向量线性运算分别用表示出，结合向量数量积运算即可求解. 【详解】根据题意，画出空间几何体如下图：   ，， ， 则 . 故答案为：. 4．（25-26高二上·山东·阶段检测）如图，已知是等腰直角三角形，且，正方形的边长为4．若二面角的大小为，则______．    【答案】 【分析】设分别为的中点，连接，根据二面角平面角的定义得，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】如图，设分别为的中点，连接，    由题意得，在中，，且， 在正方形中，， 则的为二面角的平面角，即， 所以. 故答案为： 题型02 利用数量积求夹角 5．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）如图，直二面角的棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于．若，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与模长及数量积公式计算即可得. 【详解】由于， 则， 由二面角为直二面角，且垂直于，，则， 又，故，则有、， 则有，则， 则. 故选：A. 6．（25-26高二上·浙江舟山·阶段检测）空间四边形中，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的定义及运算律列式计算，再利用空间向量夹角的定义求解. 【详解】在空间四边形中，， 则 ， 所以. 故选：D 7．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，.记向量，，，取的中点. (1)用向量，，表示向量，并求； (2)求向量和向量所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的线性运算，再结合模的计算公式即可求解； （2）只需分别求出，再结合向量夹角的余弦公式即可求解. 【详解】（1）， 因为，，，， 所以； （2），所以， ， 所以. 8．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，棱长为斜三棱柱中，，分别是的中点. (1)求四边形的面积； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一：过点作平面，垂足为，连接，再过点作于点，作于点，证明是的平分线，证明平面，得，所以,从而可计算面积； 方法二：令，，，用向量法证明，再计算面积； （2）在（1）方法二基础上由空间向量法计算异面直线所成的角． 【详解】（1）法一：过作平面，垂足为， 过作于，连，则， 作于，连，则， 又， ∴，， ∴，从而在平分线上， ∵是正三角形， ∴， 由，平面， 知平面， 平面， ∴， ∴四边形是边长为2的正方形， ∴四边形的面积为； 法二：令，，，则，， ，， ， ∴， ∴四边形是边长为2的正方形， ∴四边形的面积为；    （2）如图，连接， 由（1）方法二得， ，    所以， ， 所以， 设直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 题型03 利用数量积求模长 9．（2026高三上·全国·专题练习）在空间四边形中，，，且，平面，则棱的长为______. 【答案】 【分析】根据题意可得，且，结合数量积的运算律求模长. 【详解】因为平面，平面，则，， 且，，， 可得， 又因为，则， 可得，所以. 故答案为：. 10．（25-26高三下·贵州安顺·阶段检测）正四棱台在古代被称为“方亭”，在中国古代建筑中有着广泛的应用．例如，古代园林中的台榭建筑常常采用这种结构，台上建有屋宇，称为“榭”，这种结构不仅美观，还具有广瞻四方的功能，常用于观赏和娱乐．在正四棱台中，，，，则________. 【答案】 【分析】根据正四棱台的几何特征结合空间向量法计算向量的和数量积即可求出模长. 【详解】在正四棱台中，，，， 在侧面中，得， 由，所以， 设，则， 所以， 则 . 故答案为： 11．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则线段的长度为__________. 【答案】/ 【分析】以为基底，利用空间向量数量积的运算律计算可求得线段的长. 【详解】如下图所示： 易知， 由棱长均为，且可得， ， 因此 ， 即可得线段的长度为. 故答案为：. 12．（25-26高二上·广东阳江·阶段检测）如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且（）．则线段的长的最小值为________． 【答案】 【分析】结合面面垂直的性质定理与线线垂直的性质定理可得，则可设，，结合向量线性运算可得；结合向量模长与数量积的关系，计算可得. 【详解】因为四边形正方形，故，而平面平面， 平面平面，平面，故平面， 而平面，故． 设，则，其中， 由题设可得： ； ，故， 当且仅当即时等号成立，故 故答案为： 题型04 利用数量积求投影向量 13．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在空间四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】由题意， 则，， 因为， 所以在上的投影向量为. 故选：C 14．（25-26高二上·广东佛山·期中）在正方体中，点是的中点，.设在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助投影向量定义、数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】， ， 则 ， ， 故. 故选：A. 15．（25-26高二上·山东泰安·期中）在棱长为 的正方体 中，向量 在向量 方向上的投影向量的模是______． 【答案】 【分析】由正方体的性质可得向量与向量夹角为，先求出的值，进而可得答案. 【详解】棱长为的正方体中向量与向量夹角为， 所以 向量 在向量 方向上的投影向量是 向量 在向量 方向上的投影向量的模是， 故答案为： 16．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 【答案】 【分析】根据投影向量公式求得，利用数量积的运算律化简得，将已知条件代入得，最后利用数量积的定义求解即可. 【详解】由于在上的投影向量为， 则，即， 即，由，则，所以， 于是． 故答案为： 题型05 利用数量积求最值 17．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知正四面体，棱长，为空间中一点，，求的最大值是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】记的中点为，因为正四面体，棱长， 所以，所以， 又因为，所以是以为球心，为半径的球面上的点，所以 所以， 所以， 所以的最大值是. 18．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知半径为2的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据内切球半径求得正四面体的棱长，利用向量数量积运算以及球的几何性质求得的取值范围. 【详解】设正四面体的棱长为，设是等边三角形的中心，连接， 则平面，且球的球心， ， 则， 所以，解之得， 所以,， 由向量运算的三角形法则可得， 所以， 而，则． 由题设可知，所以. 故答案为： 19．（25-26高二上·上海·期中）体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是___________． 【答案】 【分析】记该正四面体为，由题意得出球是该正四面体的内切球，球心也是外接球的球心，在高上，由体积求得正四面体的棱长，并求出内切球半径，最大时，是球的直径，由数量积的运算得出取最大值时，只要最大即可得． 【详解】记该正四面体为，如图，由题意球是该正四面体的内切球，    显然在其高上，是底面正的中心，设， 则，， ，得到， 因为是正四面体，则是内切球球心也是其外接球球心， 设内切球半径为，即，又， 由，得，解得， 当最大时，是球的直径， ， 因为点在正四面体的表面上运动，当是正四面体的顶点时， 取得最大值，最大值为， 所以的最大值是． 故答案为：． 20．（2026高三上·全国·专题练习）在正方体中，，点,在线段上，且.点、、是正方体表面上动点,且，则的最小值为______. 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，由已知可得点在球心为半径为2的球面上，由向量的知识可知，求出的最小值解答即可. 【详解】如图， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，由， 则， 即， 也即， 由此可知点都是在球心为，半径为2的球面上， 由于，故是球的直径，为中点， ， 故要求的最小值，只需要求出的最小值， 而在正方体的表面上，设点在平面内的射影为， 则当在处时， 此时，即的最小值为. 1．（25-26高二上·江苏徐州·期末）在棱长为1的正四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算求解. 【详解】因为， 所以 故选：A 2．（25-26高二上·福建泉州·期末）在平行六面体中，，，则（   ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算表示两个向量，然后利用数量积运算求解即可． 【详解】在平行六面体中，，， 如图所示： 利用向量的线性运算：, 所以 . 故选：A. 3．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）如图，平行六面体各条棱长均为，，则线段的长度为（   ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】由可得，利用数量积运算即可得出结果. 【详解】因为，即，所以， 因为平行六面体各条棱长均为，， 所以，， 因为， ∴ ， 所以，即线段的长度为. 故选：D. 4．（25-26高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知化简得出，再两边平方结合数量积公式计算得出夹角余弦进而求出夹角. 【详解】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 5．（25-26高二上·湖南·阶段检测）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基底表示出向量，然后求出的模，余弦定理求出的长，在中，利用余弦定理的变形即可求出 【详解】如图连接, 则 由题可知， ∴ ， ， ， ∴， 在中,, , 在中, 故选：D. 6．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图所示，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向量，根据向量的运算法则，求得和，且，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设向量，且， 可得， 则，所以， ， 所以， 且， 所以. 故选：B. 7．（25-26高二下·江苏南京·期中）已知EF是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M满足，AB是正方体的一条棱，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的数量积运算计算可得，即可得的轨迹，即可根据数量积的几何意义求解即可． 【详解】取的中点,, 则， 所以． 所以在以为球心，为半径的球面上，如图 可知在上的投影数量最小值为， 所以的最小值为， 所以的最小值为． 故选：B． 8．（25-26高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 9．（25-26高二上·贵州·阶段检测）（多选）在平行六面体中，，，且，则的值可能为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】BC 【分析】利用向量的平行四边形法则，将转化为之间的关系，结合向量的数量积公式即可求解. 【详解】如图，设，则，所以，，， 又，，所以，因为，所以的值可能为4和5. 故选：BC. 10．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）（多选）如图，平行六面体，，，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，以及向量的数量积和模的计算公式，逐项求解，即可求解. 【详解】由题意知，平行六面体中，且， 对于A，由，所以A正确； 对于B，由， 则 ，所以，所以B错误； 对于C，由，所以C正确； 对于D，由 ，所以D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）（多选）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，由数量积定义可判断选项正误；对于B，由题可得，然后由数量积运算律可判断选项正误；对于C，由题可得，然后由向量模长公式可判断选项正误；对于D，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，由题：，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，由，得 ，所以， 则 ．故C正确； 对于D，，所以，故．故D错误. 故选：ABC 12．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图在平行六面体中，，，，则的长是___________．    【答案】 【分析】根据空间向量基本定理把用表示出来，再利用向量数量积公式得到的长. 【详解】取，，， 已知，，， ， ， ， ， ， ，即. 故答案为： 13．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是______． 【答案】/ 【分析】设，，根据向量的线性运算将用已知向量表示，再利用数量积运算得到的表达式，利用二次函数求出最小值. 【详解】如图，设，， 在中，， 所以 ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 14．（25-26高二下·河南开封·期末）已知四面体的所有棱长都等于，、分别是的中点，则___________． 【答案】/ 【分析】用、、表示，结合空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示： 由题意可得， 因为、分别为、的中点，所以，， 故， 因此， . 故答案为：. 15．（25-26高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，代入数值直接求得结果； （2）化简可得，然后采用先平方再开方的方法求解出，则的长可知. 【详解】（1）. （2）因为， 所以 ， 所以的长为. 16．（25-26高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律求解； （2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解. 【详解】（1） 因为, 所以 . （2）, , , , 所以, 因为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $