1.1.2 空间向量的数量积运算（讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量的数量积运算核心知识点，通过类比平面向量构建知识支架，系统梳理定义、运算律及几何意义（模长、夹角、投影），衔接平面向量基础，为立体几何中角度、距离、垂直问题解决提供工具。 资料以“数学眼光”引导类比迁移，用“数学思维”设计分层题型（如求投影向量、证明垂直），通过“数学语言”规范解题步骤。随学随练即时巩固，分层练习覆盖基础到创新，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生查漏补缺，提升空间观念与推理能力。

司 第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算 课标要点 1.类比平面向量，掌握空间向量数量积的定义、公式与运算性质。 2.理解数量积几何意义，会求空间向量的模长与夹角。 3.掌握数量积运算律，能化简向量表达式并求值。 4.运用数量积判定向量垂直，解决简单空间几何问题。 学习重难点 重点： 1.空间向量数量积的定义、公式及运算律。 2.利用数量积求模、求夹角、证垂直。 3.运用数量积解决空间向量计算与几何证明问题。 难点： 1.准确区分向量夹角与异面直线夹角，规范夹角取值范围。 2.在立体图形中构造向量，将空间角度、距离、垂直问题转化为数量积运算。 3.灵活运用数量积公式变形，解决复杂向量化简与求值问题。 知识点 空间向量的夹角 1、两个向量夹角的定义 已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 2、两个向量夹角的范围 通常我们规定：，且 （1）当、共线且同向时，； （2）当、共线且反向时，； （3）当当、垂直时，即时，． 特别提醒 1．两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为．故或（为非零向量）. 2．由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不确定的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任意向量都是共线的，即. 随学随练 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】D 【解析】由正四面体每个面都是正三角形可知， 故选：D 知识点 空间向量的数量积 1、数量积的定义 已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即．规定：零向量与任意向量的数量积是0． 2、数量积的几何意义 （1）类比平面向量，等于的长度与在方向上的投影的乘积，或的长度与在方向上的投影的乘积． （2）向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）． （3）向量在平面上的投影 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 3、两个向量的数量积满足的运算规律 （1）； （2）（交换律） （3）（分配律） 4、空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 易错提醒 数量积的运算不满足结合律与消去律． 随学随练 1．（24-25高二上·河北邢台·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量， 与不一定相等，选项D错误.故选：D. 2．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）正四面体中棱长为2，为的中点，则________． 【答案】1 【解析】为的中点，故， 又， 所以 . 知识点 空间向量的模长 在空间两个向量的数量积中，特别地， 所以向量的模：． 将其推广： 随学随练 1．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则________________． 【答案】3 【解析】因为是两两垂直的单位向量， 所以， 所以 2．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知空间向量，，两两夹角为，且，则______. 【答案】 【解析】由于两两夹角均为 60°，且模长均为 2，有： ， ， ， ， 因此：. 题型 空间向量数量积的计算 ▌例1 （25-26高二上·山西临汾·阶段检测）已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则， 所以，故选：D. 解题贴士 空间向量的数量积的计算问题的解题思路 （1）在几何体中求空间向量的数量积的步骤： ①将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； ②利用向量的运算律将数量积展开，转化已知模和夹角的向量的数量积； ③代入求解． （2）长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直关系或特殊角等． ▌对点练1-1 （25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【解析】 由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． ▌对点练1-2 （25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（    ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】A 【解析】 分别是的中点，且，即， 又三棱锥的所有棱长都为，任意两条棱的夹角为60°， ，故选：A. ▌对点练1-3 （25-26高二上·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】依题意可知, .故选：B 题型 利用数量积求向量的夹角 ▌例2 （25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得， 故，故，故选：B 解题贴士 求两个向量的夹角有两种方法： 方法一： ①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小； ②先求，再利用公式求，最后确定． 方法二： ①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小． ▌对点练2-1 （25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以.故选：B ▌对点练2-2 （25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，，故选:C． ▌对点练2-3 （25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（    ） A． B． C． D．90° 【答案】C 【解析】设， ， , ， , 所以和的夹角为.故选：C 题型 利用数量积求长度、距离 ▌例3 （25-26高二下·江苏苏州·期中）线段在平面内，，且，则两点间的距离为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【解析】由，，，得，， 得到，又所以， ， ，∴. 解题贴士 求两点间的距离或线段长的方法 （1）将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模． （2）因为，所以，这是利用向量解决距离问题的基本公式，另外该公式还可以推广为． （3）可用（为单位向量，为，的夹角）来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影． ▌对点练3-1 （25-26高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：，， 则， 因为， 则 ， 所以.故选：C. ▌对点练3-2 （25-26高二上·河北·阶段检测）如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】A 【解析】由题意得， 所以． 因为，二面角的大小为， 所以，． 因为， 所以， 所以.故选：A. ▌对点练3-3 （25-26高二上·广东汕头·阶段检测）如图，线段、在平面内，，，且，，.则、两点间的距离为（    ）    A．1 B． C．3 D． 【答案】A 【解析】设，因为，且，平面， 可得，，且， 可得，，， 根据向量的线性运算，可得， 则 . 即，解得（舍）或，故.故选：A 题型 利用数量积求投影向量 ▌例4 （24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为.故选：A. 解题贴士 求解向量在另一向量上的投影向量，先利用数量积公式求出投影数量，再结合被投影向量的单位向量相乘得到投影向量；解题核心是区分投影数量与投影向量，注意向量夹角范围对正负取值的影响，保证方向准确，结合立体图形向量方向检验结果，避免符号、方向出错． ▌对点练4-1 （25-26高一下·浙江杭州·阶段检测）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且， 由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：.故选：A. ▌对点练4-2 （25-26高二上·河南·阶段检测）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， ，， ，，.故选：C. ▌对点练4-3 （25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量， 易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. 题型 利用数量积证明垂直关系 ▌例5 已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明． 【答案】证明见解析 【解析】设， 由题意得，，， 因为，所以， 又， 所以， 所以. 解题贴士 用向量法证明垂直关系的步骤 （1）把几何问题转化向量问题； （2）用已知向量表示所证向量； （3）结合数量积公式和运算律证明数量积力0； （4）将向量问题回归到几何问题． ▌对点练5-1 如图，⊥，⊥，⊥，，分别是的中点，分别是的中点，证明：⊥． 【答案】证明见解析 【解析】因为⊥，⊥，⊥， 所以， 因为分别是的中点， 所以． 因为分别是的中点， 所以 ， 故 所以⊥，得证． ▌对点练5-2 （25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，且，， 故， 又，故 ， 由于， 所以 ， （2） ， 所以． ▌对点练5-3 （24-25高二下·上海宝山·阶段检测）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且． (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 基础通关 1．（24-25高二上·山东·阶段检测）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 【答案】B 【解析】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，由数量积的运算律可知，故B正确； 对于C，若，则，的夹角是钝角或反向共线，故C错误； 对于D，由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，故D错误； 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）已知空间向量，，满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得， 两边平方得， 又，所以， 所以.故选：A 3．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解析】 . 4．（24-25高二上·安徽芜湖·阶段检测）已知空间向量满足，，则与的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 【答案】D 【解析】由题意，设与的夹角为，则， 即，解得.故选：D 5．（25-26高二上·福建泉州·期中）在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由，得，所以，即， 于是， 所以．故选：C 6．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】由题意可得， .故选：C 7．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2.故选：A 8．（24-25高二上·山东泰安·期中）定义，若向量，向量的模为2，向量与向量的夹角为，则_______. 【答案】6 【解析】由题意. 9．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则__________. 【答案】 【解析】依题意可得，， 所以 . 10．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 【答案】(1)证明详见解析；(2) 【解析】（1）证明：因为，，空间向量为单位向量，所以. . 所以在上的投影向量为. 故在上的投影向量为. （2）因为空间向量，均为单位向量，所以，，又， 所以，同理可得，又， 所以 . 故. 素养提升 11．（24-25高二上·山东济南·期末）如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，， ∴， ∴. A.如图，过点作于点， 对于A，由向量数量积的几何意义得 ， 由于点是动点， 所以不是定值，所以不是定值，故选项A错误； 对于B，， 由于点是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项B错误； 对于C， ，由于不是定值，故选项C错误； 对于D，由于向量在向量上的投影向量为，所以为定值. 故选：D. 12．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为.故选：D. 13．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【解析】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或，故选：D. 14．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】过点分别作垂直，垂足分别为， 因为平面，平面，所以， 所以在上的投影向量为，又，所以在上的投影向量为， 因为，所以， 设，则，所以， 又，点为棱上靠近点的三等分点，所以， 所以，所以.故选：D 15．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）如下图所示，在平行六面体中，，，， (1)求与的数量积； (2)求在上的投影向量； (3)求的长. 【答案】(1)0；(2)；(3). 【解析】（1）由，即，则； （2）由，则， 而，则在上的投影向量； （3）由，则 ， 所以. 迁移创新 16．（25-26高二上·广东江门·期末）如图所示，在两条异面直线上分别取不同的点和，使，且.已知的夹角是，，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，且，的夹角为，且，， 设，则且， 由， 可得 ， 又由 ， 所以，所以，即线段的长度的取值范围为.故选：A. 17．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A．0 B．-9 C．-18 D．-36 【答案】C 【解析】如图， 是棱长为6的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径， 由正方体的特征可得其外接球半径为， 设外接球球心为，则， 则 ， 由于点在正方体表面上运动， 故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为， 所以的最小值为.故选：C 18．（25-26高二上·北京·阶段检测）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，同时与垂直， ， 且构成右手系，即成立，A正确； 对于B，，则，B错误； 对于C，， 与共线，且方向相同， 与共线，且方向相同， 与共线，且方向相同， 则与共线，且方向相同， 因此，C正确； 对于D,，， 因此，D正确．故选：B 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第一章 空间向量与立体几何 1.1.2 空间向量的数量积运算 课标要点 1.类比平面向量，掌握空间向量数量积的定义、公式与运算性质。 2.理解数量积几何意义，会求空间向量的模长与夹角。 3.掌握数量积运算律，能化简向量表达式并求值。 4.运用数量积判定向量垂直，解决简单空间几何问题。 学习重难点 重点： 1.空间向量数量积的定义、公式及运算律。 2.利用数量积求模、求夹角、证垂直。 3.运用数量积解决空间向量计算与几何证明问题。 难点： 1.准确区分向量夹角与异面直线夹角，规范夹角取值范围。 2.在立体图形中构造向量，将空间角度、距离、垂直问题转化为数量积运算。 3.灵活运用数量积公式变形，解决复杂向量化简与求值问题。 知识点 空间向量的夹角 1、两个向量夹角的定义 已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 2、两个向量夹角的范围 通常我们规定：，且 （1）当、共线且同向时，； （2）当、共线且反向时，； （3）当当、垂直时，即时，． 特别提醒 1．两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为．故或（为非零向量）. 2．由于零向量的方向是任意的，因此任意一个向量与零向量的夹角是不确定的，故零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任意向量都是共线的，即. 随学随练 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 知识点 空间向量的数量积 1、数量积的定义 已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即．规定：零向量与任意向量的数量积是0． 2、数量积的几何意义 （1）类比平面向量，等于的长度与在方向上的投影的乘积，或的长度与在方向上的投影的乘积． （2）向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）． （3）向量在平面上的投影 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 3、两个向量的数量积满足的运算规律 （1）； （2）（交换律） （3）（分配律） 4、空间向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 易错提醒 数量积的运算不满足结合律与消去律． 随学随练 1．（24-25高二上·河北邢台·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）正四面体中棱长为2，为的中点，则___． 知识点 空间向量的模长 在空间两个向量的数量积中，特别地， 所以向量的模：． 将其推广： 随学随练 1．（25-26高二上·河南南阳·期末）已知是两两垂直的单位向量，则________． 2．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）已知空间向量，，两两夹角为，且，则______. 题型 空间向量数量积的计算 ▌例1 （25-26高二上·山西临汾·阶段检测）已知空间单位向量的夹角为，则（    ） A． B． C．1 D． 解题贴士 空间向量的数量积的计算问题的解题思路 （1）在几何体中求空间向量的数量积的步骤： ①将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； ②利用向量的运算律将数量积展开，转化已知模和夹角的向量的数量积； ③代入求解． （2）长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直关系或特殊角等． ▌对点练1-1 （25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 ▌对点练1-2 （25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（    ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 ▌对点练1-3 （25-26高二上·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 题型 利用数量积求向量的夹角 ▌例2 （25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 解题贴士 求两个向量的夹角有两种方法： 方法一： ①结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围角的大小； ②先求，再利用公式求，最后确定． 方法二： ①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小． ▌对点练2-1 （25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-2 （25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练2-3 （25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（    ） A． B． C． D．90° 题型 利用数量积求长度、距离 ▌例3 （25-26高二下·江苏苏州·期中）线段在平面内，，且，则两点间的距离为（    ） A．5 B． C． D． 解题贴士 求两点间的距离或线段长的方法 （1）将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模． （2）因为，所以，这是利用向量解决距离问题的基本公式，另外该公式还可以推广为． （3）可用（为单位向量，为，的夹角）来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影． ▌对点练3-1 （25-26高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． ▌对点练3-2 （25-26高二上·河北·阶段检测）如图，二面角的大小为，棱l上有两点A，B，线段和分别在面和内，且，.若，，则的长为（    ） A．10 B．8 C．6 D． ▌对点练3-3 （25-26高二上·广东汕头·阶段检测）如图，线段、在平面内，，，且，，.则、两点间的距离为（    ） A．1 B． C．3 D． 题型 利用数量积求投影向量 ▌例4 （24-25高二下·江苏泰州·期末）在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 求解向量在另一向量上的投影向量，先利用数量积公式求出投影数量，再结合被投影向量的单位向量相乘得到投影向量；解题核心是区分投影数量与投影向量，注意向量夹角范围对正负取值的影响，保证方向准确，结合立体图形向量方向检验结果，避免符号、方向出错． ▌对点练4-1 （25-26高一下·浙江杭州·阶段检测）已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-2 （25-26高二上·河南·阶段检测）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． ▌对点练4-3 （25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型 利用数量积证明垂直关系 ▌例5 已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明． 解题贴士 用向量法证明垂直关系的步骤 （1）把几何问题转化向量问题； （2）用已知向量表示所证向量； （3）结合数量积公式和运算律证明数量积力0； （4）将向量问题回归到几何问题． ▌对点练5-1 如图，⊥，⊥，⊥，，分别是的中点，分别是的中点，证明：⊥． ▌对点练5-2 （25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. ▌对点练5-3 （24-25高二下·上海宝山·阶段检测）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且． (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 基础通关 1．（24-25高二上·山东·阶段检测）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 2．（25-26高二上·江苏无锡·阶段检测）已知空间向量，，满足，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（24-25高二上·安徽芜湖·阶段检测）已知空间向量满足，，则与的夹角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 5．（25-26高二上·福建泉州·期中）在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知，均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（    ） A． B． C． D．4 7．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 8．（24-25高二上·山东泰安·期中）定义，若向量，向量的模为2，向量与向量的夹角为，则_______. 9．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在棱长为的正四面体中，分别为棱的中点，则__________. 10．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）已知空间向量，均为单位向量，向量满足，，. (1)证明：在上的投影向量为. (2)求. 素养提升 11．（24-25高二上·山东济南·期末）如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ） A．2 B．1 C． D． 14．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥中，平面，，若点为棱上靠近点的三等分点，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）如下图所示，在平行六面体中，，，， (1)求与的数量积； (2)求在上的投影向量； (3)求的长. 迁移创新 16．（25-26高二上·广东江门·期末）如图所示，在两条异面直线上分别取不同的点和，使，且.已知的夹角是，，则线段的长度的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·广东汕头·阶段检测）已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（    ） A．0 B．-9 C．-18 D．-36 18．（25-26高二上·北京·阶段检测）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $