专题1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-重难点题型专讲讲义【知识清单+4大题型+强化训练】-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦用空间向量研究直线、平面位置关系，系统梳理空间中点的位置向量、直线方向向量及向量表示式，平面法向量及求法步骤，直线与平面平行、垂直的向量判定方法，形成递进式学习支架。 资料以“知识点+即学即练+题型”设计，通过求法向量、证明平行垂直等实例，培养学生数学眼光（抽象空间形式）、数学思维（逻辑推理）与数学语言（向量表达）。课中助力教师分层教学，课后便于学生针对性练习，查漏补缺。

专题1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-重难点题型（讲） 知识点01：空间中点与直线的向量 1、空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2、空间中直线的向量表示式 （1）直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。 【注意】①在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。 ②在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。 （2）空间直线的向量表示式： 直线l的方向向量为a ，且过点A。如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，把＝a代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 【即学即练】 1．（25-26高二上·广东深圳·开学考试）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 知识点02：空间中平面的向量表示式 1、平面ABC的向量表示式 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使，我们称其为空间平面ABC的向量表示式。 2、平面的法向量 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量； 过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 3、利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z) （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量， （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1) （6）得结论：得到平面的一个法向量 4、求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量 （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量 （3）注意：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0 【即学即练】 1．（25-26高二·全国·课前预习）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，    ①直线DD1的一个方向向量为； ②直线BC1的一个方向向量为； ③平面ABB1A1的一个法向量为； ④平面B1CD的一个法向量为； 则上述结论正确的是___________（填序号） 知识点03：空间中直线、平面的平行 1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得 . 2、线面平行：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则. 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则. 3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得. 【即学即练】 1．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 知识点04：空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则. 2、线面垂直：设直线的方向向量，是平面的法向量， 则，使得. 法2：在平面内取两个不共线向量，若.则. 3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则. 【即学即练】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点．求证：平面； 题型01 直线方向向量及其求法 1．（25-26高二上·四川成都·期中）经过点，点的直线的一个方向向量是______. 2．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）（多选）已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·课堂例题）如图，已知长方体的棱长，，．以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：    (1)； (2)． 4．（25-26高二下·江苏常州·期中）已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型02 平面的法向量及其求法 5．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为______． 6．（25-26高三·全国·二轮复习）已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ）    A． B． C． D． 7．（25-26高二上·陕西铜川·阶段检测）如图，已知正方体的棱长为1，以D为原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·全国·课后作业）已知在直三棱柱中，，，则平面的一个单位法向量（    ） A． B． C． D． 题型03 利用空间向量证明平行关系 9．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）若直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是________． 10．（2026·全国一卷·高考真题）（多选）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 11．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 12．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 题型04 利用向量证明垂直关系 13．（26-27高三·全国·一轮复习）在长方体中，，，，，．求证：面； 14．（2026·江西南昌·一模）（多选）在正三棱柱中，，，，分别为，，的中点，则下列说法中正确的有（   ） A．平面 B．平面平面 C． D．平面 15．（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在底面上（含边界）移动，且满足，则线段长度的最大值等于（    ）    A． B． C． D． 16．（25-26高二上·湖南永州·期末）在直三棱柱中，，，，是侧棱的中点，则下列直线中与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知，.若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 4．（25-26高二上·广东梅州·期末）已知空间三点在同一直线上，则实数（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 5．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（     ） A． B．或 C． D．与相交但不垂直 6．（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为侧面的中心，分别在棱和上运动，为的中点，以下正确命题的个数是（   ） ①使的线段有且只有一条； ②使的直线有且只有一条； ③使的直线有且只有一条； ④若点与点不重合，则平面平面. A． B． C． D． 7．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）（多选）已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 8．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）（多选）在正三棱台中，D，E分别是BC，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．AD∥平面 B．ED∥ C．BC⊥平面 D．ED⊥ 9．（2026·湖北黄石·一模）（多选）如图，在正方体中，称各面正方形的对角线为面对角线，称为体对角线．设分别为的中点，则（   ） A．存在面对角线与平面平行 B．存在体对角线与平面平行 C．存在面对角线与平面垂直 D．存在体对角线与平面垂直 10．（25-26高一下·广东肇庆·期末）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 11．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，且，则_____________. 12．（25-26高二上·山东·期中）已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，，若平面，则实数的值为_____. 13．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，求： (1)直线和的方向向量的坐标； (2)平面的一个法向量的坐标． 14．（25-26高二上·全国·课后作业）在四棱锥中，四边形是正方形，侧棱垂直于底面，，证明：平面 15．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 16．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且． (1)求证：平面平面 (2)求的长度： (3)求证：平面． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-重难点题型（讲） 知识点01：空间中点与直线的向量 1、空间中点的位置向量 如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． 2、空间中直线的向量表示式 （1）直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。 【注意】①在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。 ②在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。 （2）空间直线的向量表示式： 直线l的方向向量为a ，且过点A。如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta①，把＝a代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． 【即学即练】 1．（25-26高二上·广东深圳·开学考试）已知直线的一个方向向量，且直线过点和两点，则（　　） A．0 B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】首先求出，依题意，则，根据空间向量共线的坐标表示计算可得. 【详解】因为直线过点和两点，所以， 又直线的一个方向向量，所以， 所以，所以， 所以，解得，所以. 故选：D 知识点02：空间中平面的向量表示式 1、平面ABC的向量表示式 空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使，我们称其为空间平面ABC的向量表示式。 2、平面的法向量 如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量； 过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 3、利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z) （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量， （3）列方程组：由列出方程组 （4）解方程组： （5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1) （6）得结论：得到平面的一个法向量 4、求平面法向量的三个注意点 （1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量 （2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量 （3）注意：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0 【即学即练】 1．（25-26高二·全国·课前预习）如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1为正方体，    ①直线DD1的一个方向向量为； ②直线BC1的一个方向向量为； ③平面ABB1A1的一个法向量为； ④平面B1CD的一个法向量为； 则上述结论正确的是___________（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据向量的平行、方向向量、法向量及坐标运算求解即可. 【详解】设正方体的棱长为1. 因为，且，所以①正确； 因为，，所以②正确； 因为平面，，所以③正确； 因为正方体中平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，而与相交，不平行，与平面不垂直， 故不是平面的法向量，所以④错误. 故答案为：①②③. 知识点03：空间中直线、平面的平行 1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得 . 2、线面平行：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则. 法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则. 法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，使得，且，则. 3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得. 【即学即练】 1．（26-27高二上·黑龙江·开学考试）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线列方程，然后解方程即可. 【详解】因为，所以，解得，， 所以. 知识点04：空间中直线、平面的垂直 1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则. 2、线面垂直：设直线的方向向量，是平面的法向量， 则，使得. 法2：在平面内取两个不共线向量，若.则. 3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则. 【即学即练】 1．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，已知四棱锥的底面是矩形，底面，，，是侧棱的中点．求证：平面； 【答案】以A为原点，以所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 已知，，是侧棱的中点， 则：， 故； ，故； ，故； 又，平面， 由线面垂直判定定理可得，平面． 【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量法可证，，然后由线面垂直判定定理可得平面. 【详解】略. 题型01 直线方向向量及其求法 1．（25-26高二上·四川成都·期中）经过点，点的直线的一个方向向量是______. 【答案】(时，均可) 【分析】求出向量符合题意，所有与共线的非零向量均可. 【详解】点，点在直线上， 则直线的一个方向向量为， 时，也都是直线的方向向量. 故答案为：（时，均可） 2．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）（多选）已知，，则直线的方向向量可以表示为(     ) A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】计算，，，AB满足，CD中向量与不共线，得到答案. 【详解】，，则， 对选项A：，满足； 对选项B：，满足； 对选项C：与不共线，不满足； 对选项D：与不共线，不满足； 故选：AB. 3．（25-26高二·全国·课堂例题）如图，已知长方体的棱长，，．以点D为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，并均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，求下列直线的一个方向向量：    (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出点的坐标再求向量坐标，最后结合方向向量的定义可求； （2）先求出点的坐标再求向量坐标，最后结合方向向量的定义可求； 【详解】（1）由已知可得，长方体顶点A，B，，的坐标分别为 ，，，． 因为向量，所以直线的一个方向向量为． （2）因为向量，所以直线的一个方向向量为． 4．（25-26高二下·江苏常州·期中）已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据求解即可. 【详解】由题知：， 因为，所以，解得， 所以. 故选：A 题型02 平面的法向量及其求法 5．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为______． 【答案】或 【分析】由法向量与，垂直列出等式即可求解. 【详解】设平面的单位法向量为， 因为直线，均平行于平面， 所以有， 由可得： 或， 故平面的单位法向量为或． 故答案为：或． 6．（25-26高三·全国·二轮复习）已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求出，设出平面的一个法向量，利用空间向量数量积的运算律列式求解. 【详解】在平行六面体， 令，则， 设平面的法向量，而， 则，整理得，令，得， 所以平面的一个法向量为. 故选：A 7．（25-26高二上·陕西铜川·阶段检测）如图，已知正方体的棱长为1，以D为原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的求解方法求解即可. 【详解】由题意，，，， ，， 设是平面的一个法向量， 则有，令，得，， . 故选：A. 8．（25-26高二上·全国·课后作业）已知在直三棱柱中，，，则平面的一个单位法向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面的法向量为，根据法向量定义列方程可得一个法向量，结合单位向量定义求结论. 【详解】设平面的法向量为， 由已知，又，， 故，令，则，， 所以为平面的一个法向量， 又为平面的一个单位法向量， 所以或. 故选：D. 题型03 利用空间向量证明平行关系 9．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）若直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是________． 【答案】平行或直线在面内 【分析】由题意可得，进而可得结论. 【详解】由，， 可得，所以， 所以直线与平面的位置关系是平行或直线在面内． 故答案为：平行或直线在面内. 10．（2026·全国一卷·高考真题）（多选）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 11．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 【分析】以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； 【详解】略. 12．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，，且.设点为棱的中点，求证：平面. 【答案】 证明：由已知，， 可知，则， 又矩形中有，且， 平面， 所以平面， 又， 则平面， 所以两两垂直， 故以为原点，分别为轴，轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则， 所以. 易知平面的一个法向量等于， 所以， 所以， 又平面， 所以平面. 【分析】利用勾股定理逆定理先判定，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可. 【详解】略 题型04 利用向量证明垂直关系 13．（26-27高三·全国·一轮复习）在长方体中，，，，，．求证：面； 【答案】方法一：如图，过点作//，交于点，则有，． 连接，则四点共面，平面即平面． 由，，可得与相似， 所以，则可得，所以． 长方体中，平面， 因为平面，所以． 又，平面，所以平面． 方法二： 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系． 则． 所以． 所以， 所以，即． 又，平面，所以平面． 【分析】方法一:几何法通过作辅助线，结合相似三角形以及长方体的垂直性质，证明垂直于平面内两条相交直线； 方法二:向量法建立空间直角坐标系，利用向量数量积为0得到线线垂直，完成证明。 【详解】略 14．（2026·江西南昌·一模）（多选）在正三棱柱中，，，，分别为，，的中点，则下列说法中正确的有（   ） A．平面 B．平面平面 C． D．平面 【答案】BC 【分析】设，如图建系，求得各点坐标和所需向量坐标，可求出平面的法向量，根据数量积公式，可判断A、C的正误；根据向量平行的坐标关系，可判断D的正误；根据面面垂直的判定定理，可判断B的正误. 【详解】取AC中点O，中点，连接，设， 因为正三棱柱，所以两两垂直， 以O为原点，为轴正方向建系，如图所示， 则 ， 所以 ， 选项A：设平面的法向量， 则，即， 令，则，即， 则，所以与平面不平行，故A错误； 选项B：连接，因为正三角形ABC，所以， 又正三棱柱，所以平面ABC， 因为平面ABC，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面，故B正确； 选项C：，所以，则，故C正确； 选项D：因为，所以与不平行， 所以与平面不垂直，故D错误. 15．（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在底面上（含边界）移动，且满足，则线段长度的最大值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，由已知条件得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求出的最大值，即为所求. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、，设点， ，， 因为，所以，所以， 由可得， ， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，故线段长度的最大值为. 故选：A. 16．（25-26高二上·湖南永州·期末）在直三棱柱中，，，，是侧棱的中点，则下列直线中与直线垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为0的性质逐项求解即可. 【详解】根据题意，，由平面，得，， 以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， 则, . 对于A，由 ,得，故不垂直； 对于B，由，得，故垂直； 对于C，由，得,故不垂直； 对于D，由，得，故不垂直， 故选：B. 1．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 2．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中的位置如图所示，其中，，．则平面ABC的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出点和向量的坐标，然后建立方程组求解法向量的坐标. 【详解】由题意，,. 设平面的法向量为. 则，令，则. 平面的一个法向量 3．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知，.若，则m的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间平行向量坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C 4．（25-26高二上·广东梅州·期末）已知空间三点在同一直线上，则实数（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】先求出与的坐标，再根据向量共线的性质列出等式，进而求出，的值，最后计算即可. 【详解】设向量 ，， 由于 ，， 共线，存在 使 ， 由 ，解得 ， 代入得 ，解得 ， 所以，解得 ， 因此，. 答案：6. 5．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（     ） A． B．或 C． D．与相交但不垂直 【答案】B 【分析】通过计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以， 所以或. 6．（25-26高二上·上海·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为侧面的中心，分别在棱和上运动，为的中点，以下正确命题的个数是（   ） ①使的线段有且只有一条； ②使的直线有且只有一条； ③使的直线有且只有一条； ④若点与点不重合，则平面平面. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法分别判断，对命题①转化为方程（）的解个数可得；对②则转化为（）的解的个数可得；对③则根据向量共线条件直接可得；对④只需判断三点的坐标都为即可判断正确. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，，设（），（）， 因为是中点，故. 命题①：，所以​​， ，所以， 令，得（） 该方程在平面内表示一段四分之一圆弧，因此方程有无数组解，即存在无数条线段满足条件，故①错误； 命题②：若，则，即（）， 该方程在平面内表示一条线段，因此方程有无数组解，即存在无数条直线满足条件，故②错误； 命题③：若，则，则，因为第三个方程无解， 所以方程组无解，因此不存在直线满足条件，故③错误； 命题④ ：三点的坐标都为，即三点都在平面上， 该平面与底面（）平行，故平面平面，④正确. 综上，正确命题只有1个. 7．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）（多选）已知，且直线的方向向量为，则平面的法向量的坐标可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据法向量的定义求解即可. 【详解】平面法向量为非零向量，故A错误. 设平面的法向量为非零向量. 由题意知，则，且. 当时，，B正确；当时，，D正确； 不存在实数，使得，故C错误. 8．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）（多选）在正三棱台中，D，E分别是BC，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．AD∥平面 B．ED∥ C．BC⊥平面 D．ED⊥ 【答案】AC 【分析】对 A，利用正三棱台上下底面平行的性质，结合线面平行判定证明 ；对 B，由与异面可判断与为异面直线；对C，由线面垂直判定定理可证⊥ 平面 ，用基底表示，由数量积判断D. 【详解】对于选项A：正三棱台的上下底面互相平行，即平面平面，又平面，平面， 根据面面平行的性质，可得平面，A正确； 对于选项B：在侧棱上，在上，因为是异面直线，所以与是异面直线，B错误； 对于选项C：是正三角形，是中点，故； 因为正三棱台是由正三棱锥利用平行于底面的截面截去小三棱锥得到，所以, 因为、都在平面内， 且垂直于平面内两条相交直线、，故平面，C正确； 对于选项D：，设， 则 ，因为、都是锐角，所以，D错误. 【点睛】 本题围绕正三棱台的结构特征，综合考查面面平行→线面平行的判定、异面直线的位置关系、线面垂直的判定定理，以及向量法判断线线垂直，是立体几何中 “平行与垂直” 核心考点的典型应用. 9．（2026·湖北黄石·一模）（多选）如图，在正方体中，称各面正方形的对角线为面对角线，称为体对角线．设分别为的中点，则（   ） A．存在面对角线与平面平行 B．存在体对角线与平面平行 C．存在面对角线与平面垂直 D．存在体对角线与平面垂直 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由空间关系的向量求法可得出结论. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如下图： 设正方体的棱长为2，则， 所以， 设平面的一个法向量为, 所以， 令，则，可得； 对于A，由可得， 因此，又平面，所以平面，所以A正确； 对于B，， 体对角线所在的向量为：， 易知, 因此不存在体对角线与平面平行，即B错误； 对于C，面对角线所在的向量为：， ， 显然以上向量与法向量均不平行， 所以不存在面对角线与平面垂直，即C错误； 对于D，显然，所以平面，即D正确. 10．（25-26高一下·广东肇庆·期末）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则_________． 【答案】0 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，即. 代入，，得， 整理得，解得. 11．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，且，则_____________. 【答案】4 【分析】根据线面垂直判定的向量方法，以及向量共线的坐标表示，列出方程，求出结果. 【详解】由题意得，则，得，，所以. 故答案为：4. 12．（25-26高二上·山东·期中）已知正方体的棱长为，，分别为棱，的中点，，若平面，则实数的值为_____. 【答案】/ 【分析】由题可建立空间直角坐标系，然后设，结合，求出，再求出平面的一个法向量，由平面，可得，即可求解. 【详解】以D为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 则，，， 设，因，可得，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，即， 又因为平面，则，解得. 故答案为：. 13．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，求： (1)直线和的方向向量的坐标； (2)平面的一个法向量的坐标． 【答案】(1)， (2)（答案不唯一） 【详解】（1）由正方体的棱长为2，则，，， ∴直线的方向向量， 直线的方向向量. （2）设向量是平面的法向量，则 取，得，，则是平面的一个法向量． 14．（25-26高二上·全国·课后作业）在四棱锥中，四边形是正方形，侧棱垂直于底面，，证明：平面 【答案】 证明：侧棱垂直于底面，平面,平面， ,， 四边形是正方形， ， ， ,    以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，连接、， 依题意得，，，，，. 设平面的法向量为， 又， 即， 令，则，，可得， 且，可知， 平面. 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，证明，即可证明平面. 【详解】略 15．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 【答案】(1) 在直角梯形中，，即， 由直角梯形绕直线旋转得到直角梯形，得， 则是平面与平面所成二面角的平面角， 而平面平面，即平面与平面所成二面角是直角， 因此，所以. (2)存在 由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， AI则，， 假设在线段上存在点P，使得直线平面，设， 则，，设平面的法向量， 于是，取，得，而， 由直线平面，得，则，解得， 所以在线段上存在点P，使得直线平面，点为线段上靠近的三等分点. 【分析】（1）根据给定条件，利用直二面角的定义推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明列式求解. 【详解】（1）略 （2）略 16．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，平行六面体的底面是边长为1的菱形，且． (1)求证：平面平面 (2)求的长度： (3)求证：平面． 【答案】(1) 根据平行六面体的性质可知，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面，所以平面. 根据平行六面体的性质可知，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面，所以平面. 由于，平面， 所以平面平面. (2) (3) 因为， 所以， 所以， 因为，计算： ， 所以， 又因为，、平面． 所以平面. 【分析】（1）根据面面平行的判定定理，证得平面平面； （2）利用基底表示向量，再根据数量积公式，即可求解； （3）根据线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直，再根据向量数量积公式，即可证明. 【详解】（1）略 （2）设，，， 由于四边形为菱形，设，即， 所以，同理可得， 由题意可得， 所以； （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $