专题1.1.1 空间向量及其线性运算讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦空间向量及其线性运算核心知识点，从空间向量的概念及零向量、单位向量等特殊向量入手，系统梳理线性运算的加减法与数乘法则，进而延伸至向量共线定理和共面定理，构建从概念到运算再到判定的完整知识支架。 资料通过“即学即练”即时巩固概念理解，题型分类覆盖概念辨析、线性运算、共线共面判定等，助力学生用数学眼光抽象空间形式，用数学思维推理逻辑关系，课中辅助教师突破重难点，课后帮助学生查漏补缺，强化空间观念与运算能力。

专题1.1.1 空间向量及其线性运算-重难点题型（讲） 知识点01：空间向量的概念及几类特殊向量 1、空间向量的有关概念 （1）空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 （2）空间向量的长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模。 （3）表示法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为或 2、几类特殊向量 （1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。 （2）单位向量：长度为1的空间向量，即. （3）相等向量：方向相同且模相等的向量。 （4）相反向量：方向相反但模相等的向量。 （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． （6）共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 【即学即练】 1．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．向量与的长度相等 B．在空间四边形ABCD中，与是相反向量 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【答案】AD 【分析】利用空间向量的相关概念逐一判断即得解. 【详解】解：向量与是相反向量，长度相等，故选项A正确； 空间四边形ABCD中，与的模不一定相等，方向也不一定相反，故选项B错误： 空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但不能说空间向量就是有向线段，故选项C错误； 由空间向量的有关概念与性质易知选项D正确． 故选：AD． 知识点02：空间向量的线性运算 1、空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）． 2、空间向量加减法运算律 交换律： 结合律： 小结：空间向量加法的运算的小技巧 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 3、空间向量的数乘运算 （1）定义：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，． 的长度是的长度的||倍． （2）运算律：分配律：； 结合律：． 【即学即练】 1．（25-26高二上·山东德州·开学考试）（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的线性运算逐一计算可判断其正误. 【详解】对于A，， 结果不一定为零向量，故A错误； 对于B， ，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD. 知识点03：向量共线定理 1、空间向量共线的充要条件： 对任意两个空间向量，，∥的充要条件是存在实数，使得. 2、直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点，存在实数，使得. 与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量. 这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示， 也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。 3、证明空间三点共线的三种思路： 对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立. （2）对空间任一点O，有. （3）对空间任一点O，有. 【即学即练】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知三点共线，为空间任意一点，，则______. 【答案】 【分析】根据向量共线和平面向量基本定理可求出结果. 【详解】因为三点共线，∴， 即，， 又，所以，所以. 故答案为：. 知识点04：空间向量共面定理 1、定义： 如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合， 那么称向量平行与直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面. 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 2、向量共面的充要条件： 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3、向量共面证明： （1）证明点P在平面ABC内，可以用，也可以用， 若用，则必须满足. （2）判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中） 【即学即练】 1．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 【答案】 【分析】由条件可得存在实数，使得，再用向量 表示出向量，即可得出答案. 【详解】， ， ， P，A，B，C四点共面，则存在实数，使得 ， 所以， 即， 所以 ，解得. 题型01 空间向量的概念理解 1．（25-26高二·全国·课后作业）下列命题为真命题的是（    ） A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则､的长度相等且方向相同 C．若向量､满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则. 【答案】D 【分析】由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可. 【详解】空间中任意两个向量必然共面，A错误； 若，则､的长度相等但方向不确定，B错误； 向量不能比较大小，C错误； 由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确. 故选：D. 2．（25-26高二·全国·课后作业）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是______. ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②是向量的必要非充分条件； ③向量、相等的充要条件是 ④若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件. 【答案】②④ 【分析】根据相等向量的概念可判断①；根据相等向量和向量的模的概念可判断②；由相反向量的概念可判断③；根据相等向量的概念和平行四边形的性质可判断④. 【详解】向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故①错误； 根据相等向量的概念可知，若，则，但，有可能、的方向不同，故是向量的必要非充分条件，②正确； 当、为相反向量时，显然满足，故③错误； 因为A、B、C、D是不共线，所以由，可知且，所以四边形ABCD为平行四边形，反之，若四边形ABCD为平行四边形，则由平行四边形的性质可得，故④正确. 故答案为：②④ 3．（25-26高二上·山东淄博·期中）（多选）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 【答案】ABC 【分析】根据单位向量，相等向量，相反向量及共面向量的概念即得. 【详解】由题可知单位向量有共8个，故A正确； 与相等的向量有共3个，故B正确； 向量的相反向量有共4个，故C正确； 因为，向量有一个公共点，而点都在平面内，点在平面外，所以向量不共面，故D错误. 故选：ABC. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）下列说法中，正确的是（　　） A．在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，＝ B．＝的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若＝－，则，互为相反向量 D．若，互为相反向量，则＝－ 【答案】ACD 【分析】利用向量的定义可判断出A正确；再由相等向量和相反向量的定义可判断出B错误，C，D正确. 【详解】由向量的定义得A正确； 对于B,由，知，且与同向，但A与C，B与D不一定重合，B错误； 对于C，，且，为非零向量，所以，互为相反向量，C正确； 对于D，，互为相反向量，则，则D正确. 故选：ACD. 题型02 空间向量的加减运算 5．（26-27高二上·浙江绍兴·开学考试）在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法的三角形法则和相反向量的性质，逐步化简向量表达式即可得到结果. 【详解】由于，故C正确. 6．（25-26高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示_________. 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】因为在长方体中，F是DC的中点， 则， 故答案为： 7．（25-26高二上·上海松江·期中）已知空间四边形中向量，，，点E，F分别是，的中点，则向量________.（用、、表示） 【答案】 【分析】画出示意图，根据空间向量的加法运算即可. 【详解】如图所示， . 故答案为：. 8．（25-26高二上·陕西安康·期中）（多选）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可逐项判断得解. 【详解】因为E，F分别为BC，CD的中点，所以由中位线性质可知，故A正确； 若可得，由图可知不共线，矛盾，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 题型03 空间向量的数乘运算 9．（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量加法和减法的运算法则，以及向量的数乘运算即可求解. 【详解】解：因为在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且， 所以， 故选：D. 10．（25-26高二上·广东揭阳·期末）如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为O，点M在上，且，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行六面体的几何特点，结合空间向量的线性运算，即可求得结果. 【详解】因为平行六面体中，点M在上，且 故可得 故选：D. 11．（25-26高二上·北京海淀·期末）在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得. 【详解】 由点M满足，所以M为中点， 因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为中点, 所以， 所以. 故选：C 12．（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用表示，然后由可得结果. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 故选：A. 题型04 向量共线的判定与应用 13．（25-26高二上·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 【答案】设的中点为，连接GB，GD，，，   ， 因为G为的重心，所以， 所以， 所以，即三点共线. 【分析】选择为基向量，用基向量表示和，通过证明与平行可证三点共线. 【详解】略 14．（25-26高二上·吉林·开学考试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 【答案】0 【分析】由三点共线，可得与共线，即存在唯一的实数，使得，结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 15．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 16．（25-26高二·全国·暑假作业）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 题型05 四点共面的判定与应用 17．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知非零向量不共线，如果，则A，B，C，D四点（ ） A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．一定共面 D．一定不共面 【答案】C 【分析】根据已知，可将用表示出来，再根据向量共面的充要条件即可得出结论. 【详解】因为非零向量不共线，， 所以， 由向量共面的充要条件可知，A，B，C，D四点共面． 故选：C. 18．（25-26高二下·江苏连云港·期中）（多选）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 【答案】AC 【分析】对于AC：根据平面向量基本定理分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：若向量共线，易知与共线，显然共面； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知与共面； 综上所述：与，共面，故A正确； 对于选项B：若向量与共面，如果共线，与它们不共线，则不存在实数使得，故B错误； 对于选项C：若向量共线，则取，可得； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知：存在实数，，使得， 即，可得； 综上所述：若，，共面，则存在实数，，，使得，故C正确； 对于选项D：例如，对于任意空间向量，，均有成立， 此时无法判断，，是否共面，故D错误. 故选：AC. 19．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可得，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案. 【详解】因为四点共面，所以存在唯一的，使得. 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以，， 所以， ， ， 代入，得， 所以，解得. 故选：B． 20．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间共面向量定理的推论可求的值. 【详解】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）在长方体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用 空间向量的线性运算结合向量相等即可求解. 【详解】. 故选：C. 2．（25-26高二上·天津宝坻·阶段检测）下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 【答案】C 【分析】根据空间向量的相关观念逐一判断即可. 【详解】对于A，若，，当时与所在直线可以不平行，因此不正确； 对于B，向量、、共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面，因此不正确； 对于C，根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，正确； 对于D，若且，则存在唯一的实数λ，使，因此不正确． 故选：C． 3．（25-26高三上·广东·阶段检测）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中 ①+与1+1是一对相反向量； ②-1与-1是一对相反向量； ③1+1+1+1与+++是一对相反向量； ④-与1-1是一对相反向量． 正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可. 【详解】设E,F分别为AD和A1D1的中点， ①+与+不是一对相反向量，错误； ②-与-不是一对相反向量，错误； ③1+1+1+是一对相反向量,正确； ④-与1-不是一对相反向量,是相等向量，错误． 即正确结论的个数为1个 故选：A 4．（25-26高二上·北京大兴·期末）如图，在四面体中，点E，F分别为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的加减以及数乘运算，即可求得答案. 【详解】由题意可得, 故选：A. 5．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）在四面体中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用空间向量的加法减法法则，结合  线性运算的几何表示计算即可 。 【详解】在中，， 在中，， 故 . 故选：A. 6．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【详解】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 7．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，连接，由题设易得，进而得到，再根据四点共面求解即可. 【详解】连接交于点，连接， 在正四棱锥中，且为的中点， 则，，即， 则，即， 则， 由题意，四点共面，则，解得. 故选：A 8．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）在四面体OABC中，，，，，N为BC的中点，若，则λ=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算，求得，结合已知条件，即可求解. 【详解】如图所示，因为N为BC的中点，所以， 又因为，所以， 因为，所以. 故选：B. 9．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）（多选）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】空间向量基本定理及推论判断即可. 【详解】因为，结合平面向量的基本定理可知四点共面，所以A选项正确； 由空间向量基本定理可知，若四点共面，则需满足存在实数，使得，且，显然B选项不正确，C选项正确； 化简，可得， 满足四点不共面，D选项不正确． 故选：AC 10．（25-26高二下·甘肃天水·期中）（多选）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由空间向量的线性运算进行求解即可． 【详解】对于A，四边形是平行四边形，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD． 11．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，为单位向量，则 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量满足，则 【答案】ABC 【分析】根据单位向量的定义判断A；根据相反向量的定义判断B；根据正方体可得四边形是矩形，进而判断C；举例判断D. 【详解】对于A，因为为单位向量，所以，故A正确； 对于B，向量是向量的相反向量，则，故B正确； 对于C，在正方体中，因为四边形是矩形， 所以，故C正确； 对于D，若，则，但不一定共线，故D错误． 故选：ABC． 12．（25-26高二上·上海·期中）已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数__________. 【答案】/ 【分析】根据点共面，系数相加为1的性质即可求 【详解】因为A，B，C三点不共线，且， P，A，B，C四点共面， 所以，所以. 故答案为：. 13．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则_____．（用，，表示）    【答案】 【分析】根据G是的重心，可知，再根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】是的重心， ， . 故答案为：. 14．（25-26高一下·全国·专题练习）在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为________． 【答案】 【分析】首先根据几何关系，转化向量再进行运算可得答案. 【详解】延长交边于点，则， 则有，， 故．    故答案为：. 15．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1) 平面平面， 平面，平面平面， 而平面平面， 平面平面． (2) 由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面，. (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到平面，再结合面面平行的判定定理求解即可. （2）利用面面平行的性质定理求解即可. （3）结合题意与空间向量的线性运算得到，最后利用空间向量基本定理建立方程，求解参数即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，作出符合题意的图形， ，点是的中点， ，，点是的中点，． ，且三棱锥各棱长均为1， ，． 点在上且与端点不重合，，解得． ，， 又， 而， 由（2）知，， ，使得， 即， 由空间向量基本定理可得，解得. 16．（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 【答案】(1) 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． (2) ， 所以. (3) . 【分析】（1）由得到，，共面，进而得到四点共面；同理可证四点共面. （2）根据空间向量的线性运算得到，进而得到向量平行. （3）根据空间向量的线性运算即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1.1 空间向量及其线性运算-重难点题型（讲） 知识点01：空间向量的概念及几类特殊向量 1、空间向量的有关概念 （1）空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 （2）空间向量的长度（模）：空间向量的大小叫做向量的长度或模。 （3）表示法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a、b、c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为或 2、几类特殊向量 （1）零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。规定：与任意向量平行。 （2）单位向量：长度为1的空间向量，即. （3）相等向量：方向相同且模相等的向量。 （4）相反向量：方向相反但模相等的向量。 （5）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作． （6）共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 【即学即练】 1．（25-26高二·全国·课后作业）（多选）下列说法正确的是（    ） A．向量与的长度相等 B．在空间四边形ABCD中，与是相反向量 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 知识点02：空间向量的线性运算 1、空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）． 2、空间向量加减法运算律 交换律： 结合律： 小结：空间向量加法的运算的小技巧 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 3、空间向量的数乘运算 （1）定义：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算． 当时，与方向相同； 当时，与方向相反； 当时，． 的长度是的长度的||倍． （2）运算律：分配律：； 结合律：． 【即学即练】 1．（25-26高二上·山东德州·开学考试）（多选）若为空间中不同的四点，则下列各式结果一定是零向量的是（    ） A． B． C． D． 知识点03：向量共线定理 1、空间向量共线的充要条件： 对任意两个空间向量，，∥的充要条件是存在实数，使得. 2、直线的方向向量：如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点，存在实数，使得. 与向量平行的非零向量称为直线l的方向向量. 这样，直线l任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示， 也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。 3、证明空间三点共线的三种思路： 对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 （1）存在实数，使成立. （2）对空间任一点O，有. （3）对空间任一点O，有. 【即学即练】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知三点共线，为空间任意一点，，则______. 知识点04：空间向量共面定理 1、定义： 如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合， 那么称向量平行与直线l. 如果直线OA平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面. 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。 2、向量共面的充要条件： 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3、向量共面证明： （1）证明点P在平面ABC内，可以用，也可以用， 若用，则必须满足. （2）判断三个向量共面一般用， 证明三线共面常用， 证明四点共面常用（其中） 【即学即练】 1．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______. 题型01 空间向量的概念理解 1．（25-26高二·全国·课后作业）下列命题为真命题的是（    ） A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则､的长度相等且方向相同 C．若向量､满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则. 2．（25-26高二·全国·课后作业）下列关于空间向量的命题中，正确的序号是______. ①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ②是向量的必要非充分条件； ③向量、相等的充要条件是 ④若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件. 3．（25-26高二上·山东淄博·期中）（多选）如图所示，在长方体中，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ） A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．与的相反向量有4个 D．向量共面 4．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）下列说法中，正确的是（　　） A．在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，＝ B．＝的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．若＝－，则，互为相反向量 D．若，互为相反向量，则＝－ 题型02 空间向量的加减运算 5．（26-27高二上·浙江绍兴·开学考试）在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·上海静安·期中）在长方体中，F是DC的中点，设，用表示_________. 7．（25-26高二上·上海松江·期中）已知空间四边形中向量，，，点E，F分别是，的中点，则向量________.（用、、表示） 8．（25-26高二上·陕西安康·期中）（多选）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（    ）    A． B． C． D． 题型03 空间向量的数乘运算 9．（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，点是的中点，点是上的点，且，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·广东揭阳·期末）如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为O，点M在上，且，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·北京海淀·期末）在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·安徽马鞍山·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则（    ）．    A． B． C． D． 题型04 向量共线的判定与应用 13．（25-26高二上·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 14．（25-26高二上·吉林·开学考试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则________． 15．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 16．（25-26高二·全国·暑假作业）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 题型05 四点共面的判定与应用 17．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知非零向量不共线，如果，则A，B，C，D四点（ ） A．一定共线 B．恰是空间四边形的四个顶点 C．一定共面 D．一定不共面 18．（25-26高二下·江苏连云港·期中）（多选）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 19．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 20．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）在长方体中，（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·天津宝坻·阶段检测）下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 3．（25-26高三上·广东·阶段检测）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中 ①+与1+1是一对相反向量； ②-1与-1是一对相反向量； ③1+1+1+1与+++是一对相反向量； ④-与1-1是一对相反向量． 正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·北京大兴·期末）如图，在四面体中，点E，F分别为的中点，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河南驻马店·阶段检测）在四面体中，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 7．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 8．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）在四面体OABC中，，，，，N为BC的中点，若，则λ=（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）（多选）已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·甘肃天水·期中）（多选）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（    ）．    A． B． C． D． 11．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，为单位向量，则 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量满足，则 12．（25-26高二上·上海·期中）已知为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数__________. 13．（25-26高二上·上海·期中）如图，在四面体中，点是的重心，设，，，则_____．（用，，表示）    14．（25-26高一下·全国·专题练习）在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为________． 15．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值． 16．（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 学科网（北京）股份有限公司 $