1.1.1　第1课时　空间向量及其线性运算讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其线性运算核心知识点，通过类比平面向量引导学生经历概念推广过程，系统梳理空间向量的定义、模、特殊向量（零向量、单位向量等）及线性运算（加减、数乘）的法则与运算律，构建完整知识链。 资料以问题驱动探究，如“如何由平面向量推广空间向量”培养数学抽象，通过平行六面体、空间四边形等典例及母题变式提升逻辑推理与数学运算能力，链接教材习题设计“学以致用”，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 第1课时　空间向量及其线性运算 [学习目标]　1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．(数学抽象) 2．经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程．(逻辑推理) 3．掌握空间向量的线性运算．(数学运算) 探究1　空间向量的有关概念及其简单应用 问题1　回顾平面向量的概念，给出空间向量的概念． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [新知生成] 1．空间向量的概念与表示 在空间，把具有_________和_________的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的_________或_________． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的_________表示空间向量的模．若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||． 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做_________，记为0 单位向量 模为_________的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度_________而方向_________的向量，叫做a的相反向量，记为－a 相等向量 方向_________且模_________的向量叫做相等向量．在空间，_________且_________的有向线段表示同一向量或相等向量 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相_________或_________，那么这些向量叫做_________或平行向量． 规定：零向量与任意向量_________，即对于任意向量a，都有0_________a [典例讲评]　1．(1)给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反； ③若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为(　　) A．4　　B．3　　C．2　　D．1 (2)(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若向量，满足||>||，则> B．将空间中所有的单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面 C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D．在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，必有 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念． [学以致用]　【链接教材P9习题1.1T1】 1．如图所示，在平行六面体ABCD⁃A'B'C'D'中，连接顶点的所有向量中，与向量相等的向量有________，与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究2　空间向量的加减运算 问题2　任意两个空间向量的运算是否可以化为平面向量的运算？为什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [新知生成] 加法 运算 三角形 法则 语言 叙述 首尾_________相接，首指向尾为和 图形 叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点，连_________，方向指向_________向量 图形 叙述 运算 律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) [典例讲评]　2.如图所示，已知平行六面体ABCD⁃A'B'C'D'，化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　化简空间向量的常用思路 (1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简. (2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则.若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和. (3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径). [学以致用]　2.如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果. (1)； (2). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 探究3　空间向量的数乘运算 [新知生成] 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何 意义 λ>0 λa与向量a的方向_________ λa的长度是a的长度的_________倍 λ<0 λa与向量a的方向_________ λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝_________ 分配律 (λ＋μ)a＝_________， λ(a＋b)＝_________ [典例讲评]　【链接教材P5练习T4】 3.如图所示，在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [母题探究]　若将本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 反思领悟　利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． [学以致用]　3．(多选)如图，四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中，M为CD1的中点，Q为CA1上靠近点A1的五等分点，则(　　) A． B．2＋2 C． D．5＋4 4．如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且＝x＋y＋z，＝2，，则x＋y＋z＝________． 1．知识链： 2．方法链：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想． 3．警示牌：抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数． 7/7 学科网（北京）股份有限公司 1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 第1课时　空间向量及其线性运算 [学习目标]　1．经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念．(数学抽象) 2．经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程．(逻辑推理) 3．掌握空间向量的线性运算．(数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．如何类比平面向量的概念推广得到空间向量的概念？ 问题2．空间向量的线性运算及其法则与平面向量有区别吗？为什么？ 问题3．如何借助平行六面体理解空间向量加法运算的运算律？ 问题4．两个不共线向量的加法有平行四边形法则，三个不共面向量的加法有什么法则？ 探究1　空间向量的有关概念及其简单应用 问题1　回顾平面向量的概念，给出空间向量的概念． [提示]　空间向量是平面向量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致． [新知生成] 1．空间向量的概念与表示 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a，b，c，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模．若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||． 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a 相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量 共线向量 (平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a [典例讲评]　1．(1)给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反； ③若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为(　　) A．4　　B．3　　C．2　　D．1 (2)(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若向量，满足||>||，则> B．将空间中所有的单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面 C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D．在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，必有 (1)D　(2)BCD　[(1)①零向量的方向是任意的，正确；②若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向不存在确定关系，错误；③若空间向量a，b满足|a|＝|b|，但由于它们的方向不一定相同，故a，b不一定相等，错误；④空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，错误．故选D． (2)对于A，向量不能比较大小，故A是假命题； 对于B，若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故B是真命题； 对于C，向量的相等满足传递性，故C是真命题； 对于D，，故D是真命题．故选BCD．] 反思领悟　空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念． [学以致用]　【链接教材P9习题1.1T1】 1．如图所示，在平行六面体ABCD⁃A'B'C'D'中，连接顶点的所有向量中，与向量相等的向量有________，与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量) ，，　，，，　[根据相等向量、相反向量的定义知，与向量．] 【教材原题·P9习题1.1T1】 如图，在长方体ABCD⁃A'B'C'D'中，E，F分别为棱AA'，AB的中点． (1)写出与向量相等的向量； (2)写出与向量相反的向量； (3)写出与向量平行的向量． [答案]　(1)，，；(2)，，，；(3)，，，，. 探究2　空间向量的加减运算 问题2　任意两个空间向量的运算是否可以化为平面向量的运算？为什么？ [提示]　可以.因为任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内. [新知生成] 加法 运算 三角形 法则 语言 叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形 叙述 平行 四边形 法则 语言 叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形 叙述 减法 运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形 叙述 运算 律 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) [典例讲评]　2.如图所示，已知平行六面体ABCD⁃A'B'C'D'，化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). [解]　(1). (2). (3). (4). 反思领悟　化简空间向量的常用思路 (1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简. (2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则.若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和. (3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径). [学以致用]　2.如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果. (1)； (2). [解]　(1)， 如图中向量. (2). 探究3　空间向量的数乘运算 [新知生成] 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何 意义 λ>0 λa与向量a的方向相同 λa的长度是a的长度的|λ|倍 λ<0 λa与向量a的方向相反 λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa， λ(a＋b)＝λa＋λb [典例讲评]　【链接教材P5练习T4】 3.如图所示，在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3). [解]　(1)因为P是C1D1的中点， 所以＝a＋ ＝a＋c＋＝a＋c＋b. (2)因为N是BC的中点， 所以＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. (3)因为M是AA1的中点， 所以 ＝－a＋a＋b＋c， 又c＋a， 所以 ＝a＋b＋c. [母题探究]　若将本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且？ [解]　因为P在线段C1D1上，且， 所以＝a＋＝a＋c＋＝a＋c＋b. 【教材原题·P5练习T4】 如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点.化简下列表达式，并在图中标出化简结果： (1)； (2))； (3)). [答案]　(1)；(2)；(3)．图略． 反思领悟　利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． [学以致用]　3．(多选)如图，四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中，M为CD1的中点，Q为CA1上靠近点A1的五等分点，则(　　) A． B．2＋2 C． D．5＋4 BD　[四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中，M为CD1的中点，Q为CA1上靠近点A1的五等分点， 则)＝，即2＋2，故A选项错误，B选项正确； )＝)＝，即5＋4，故C选项错误，D选项正确． 故选BD．] 4．如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且＝x＋y＋z，＝2，，则x＋y＋z＝________． 　[因为＝2)－)＝)－)＝＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝－，故x＋y＋z＝．] 1．知识链： 2．方法链：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想． 3．警示牌：抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．平面向量的有关概念与约定推广到空间中后得到相应空间向量的有关概念与约定，它们有什么不同之处？ [提示]　适用范围不同，一个在平面内，一个在空间中． 2．空间向量的线性运算是指空间向量的哪几种运算？有何运算律？ [提示]　加法运算、减法运算、数乘运算． 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb． 课时分层作业(一)　空间向量及其线性运算 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共50分 一、选择题 1．(教材P5练习T2改编)在棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中，＝(　　) A． B　[．故选B．] 2．(多选)下列关于空间向量的命题中，不正确的是(　　) A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若a≠b，则|a|≠|b| D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 BCD　[对于A，由相等向量的定义，长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，A正确； 对于B，平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错误； 对于C，若两个向量不相等，但模仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错误； 对于D，相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错误．故选BCD．] 3．(教材P15习题1.2T3改编)如图，在三棱锥O⁃ABC中，，，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a－b－c　　 B．a－b－c C．a－b－c　　 D．a－b－c C　[＝－＝－)－a－b－c． 故选C．] 4．(多选)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列结论不正确的是(　　) A．与是一对相等向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相等向量 D．与是一对相反向量 ABC　[由图可知，选项A，D的两向量互为相反向量； ，， ， ∴选项B的两向量不是相反向量； ， 互为相反向量， ∴选项C的两向量互为相反向量． 故选ABC．] 二、填空题 5．已知空间中任意四个点A，B，C，D，则＋2＝________． 　[＋2＋2＋2＋2．] 6．已知四面体OABC，M，N分别是BC，OA的中点，且＝a，＝b，＝c，则向量＝__________(用a，b，c表示)． a－b－2c　[因为M，N分别是BC，OA的中点，且＝a，＝b，＝c， 则－2＝a－b－2c．] 7．已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，，若＝x＋y()，则x＝________，y＝________． 1　　[因为)，所以x＝1，y＝．] 三、解答题 8．(13分)(源自北师大版教材)如图所示，已知平行六面体ABCD⁃A'B'C'D'，化简下列向量表达式，并在图中标出化简后的结果所对应的向量． (1)； (2)； (3))． [解]　(1)．(2)． (3)设点M为CB'的中点，则 ) ＝) ＝． 化简后所对应的向量如图所示． 11/12 学科网（北京）股份有限公司 $