1.1.2 空间向量的数量积运算-【新课程学案】2026-2027学年高中选择性必修第一册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学空间向量的数量积运算核心知识点，从平面向量数量积类比引入，系统梳理空间向量夹角定义、数量积定义与运算律、投影概念及性质（垂直判定、求模公式），构建从概念到应用的学习支架，衔接平面到空间的知识拓展。 该资料采用梯度进阶式教学，通过“微点助解”辨析向量夹角与直线夹角等易混点，结合三棱柱、正方体等几何体实例，培养学生空间观念（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）和向量表达能力（数学语言）。课中助力分层教学实施，课后检测与训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.1.2　空间向量的数量积运算 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学) [课时目标] 1.了解空间向量的夹角.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法. 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义,会求向量的投影向量. 3.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用,掌握利用向量数量积求空间两点间的距离. 1.空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作<a,b> 范围 0≤<a,b>≤π,a,b同向时,夹角为0,反向时,夹角为π 向量垂直 如果<a,b>=,那么向量a,b互相垂直,记作a⊥b |微|点|助|解| 　　设表示两向量的有向线段所在直线的夹角为α,两向量的夹角为<a,b>, (1)区别:范围不同,0≤α≤,0≤<a,b>≤π. (2)联系:当两向量的夹角为锐角时,α=<a,b>;当两向量的夹角为直角时,两直线垂直,α=<a,b>=;当两向量的夹角为钝角时,α=π-<a,b>. 2.空间向量的数量积 (1)定义 已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>.零向量与任意向量的数量积为0,即0·a=0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b=λ(a·b),λ∈R 交换律 a·b=b·a 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c 3.空间向量的投影 (1)如图1,在空间,向量a向向量b投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=|a|cos<a,b>,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地,可以将向量a向直线l投影(如图2). (2)如图3,向量a向平面β投影,就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量,向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时,向量a,的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. 4.空间向量的数量积的性质 设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1) a·e=e·a=|a|cos θ (2) a⊥b⇔a·b=0 (3) 当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b| (4) 求模公式:a·a=|a|2或|a|= (5) |a·b|≤|a||b|(当且仅当a,b共线时,等号成立) (6) 夹角公式:cos<a,b>= 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)向量与的夹角不等于向量与的夹角. (　　) (2)对空间任意两个非零向量a,b,都有<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>. (　　) (3)若a·b=-|a||b|,则a∥b. (　　) (4)若a,b,c为非零向量,且a·c=b·c,则a∥b. (　　) (5)已知e1,e2是夹角为120°的两个单位向量,则e1在e2上的投影向量为-e2. (　　) 答案:(1)√　 (2)√　(3)√　(4)×　(5)√ 2.若a,b是空间中夹角为60°的两个单位向量,则|a-b|= (　　) A.1 B. C. D.0 解析:选A　∵|a-b|2=(a-b)2=a2+b2-2a·b=1,∴|a-b|=1. 3.如图,正四面体OABC的棱长为1,则与的夹角为　　　　,·=　　　　. 解析:因为在正四面体OABC中,||=||=||=||=1,<,>=<,>=60°,所以与的夹角为120°,·=||||cos∠AOB=1×1×cos 60°=. 答案:120°　 题型(一)　空间向量的数量积 [例1]　如图,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,D,E分别为B1C1,AB的中点,设=a,=b,=c. (1)用a,b,c表示向量; (2)若||=||=||=1,∠A1AB=∠BAC=60°,∠A1AC=90°,求·. 解:(1)根据题意可得=++=-(+)-+=--=-b-c. (2)易知=-=b-a,且|a|=|b|=|c|=1, 显然<a,c>=∠A1AB=<a,b>=∠BAC=60°,<b,c>=∠A1AC=90°,所以·=·=-b2+a·b-b·c+a·c=-+×1×1×-0+=. 　　|思|维|建|模| 在几何体中计算空间向量数量积的一般步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式. (2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积. (3)代入公式a·b=|a||b|cos<a,b>求解. 　　[针对训练] 1.如图,在三棱锥P⁃ABC中,AP,AB,AC两两垂直,AP=2,AB=AC=1,M为PC的中点,则·的值为 (　　) A.1 B. C. D. 解析:选D　由题意,得=+=+(+)=++.故·=·= ·+·+·==. 2.如图,正方体ABCD⁃A'B'C'D'的棱长为1,设=a,=b,=c,则a·(b+c)=　　　,a·(a+b+c)=　　　　,(a+b)·(b+c)=　　　　.  解析:依题意AB,AD,AA'两两互相垂直,所以a·b=a·c=b·c=0.所以a·(b+c)=a·b+a·c=0,a·(a+b+c)= a·a+a·b+a·c=|a|2=1,(a+b)·(b+c)=a·b+b·b+a·c+b·c=|b|2=1. 答案:0　1　1 题型(二)　利用数量积证明垂直问题 [例2]　如图,已知正方体ABCD⁃A'B'C'D',CD'与DC'相交于点O,连接AO,求证: (1)AO⊥CD'; (2)AC'⊥平面B'CD'. 证明:(1)因为=+=+(+)=(++2),=-,所以·=(++2)· (-)=(·-·+·-·+2·-2·)=(||2-||2)=0,所以⊥, 故AO⊥CD'. (2)设正方体的棱长为a,则·=(++)·(+)=·+·+·+·+·+ ·=0+0+0+a2-a2+0=0,所以⊥,所以AC'⊥B'C.同理可证AC'⊥B'D'. 又B'C,B'D'⊂平面B'CD',B'C∩B'D'=B', 所以AC'⊥平面B'CD'. 　　|思|维|建|模| 用向量法证明垂直问题的方法 (1)由数量积性质a⊥b⇔a·b=0可知,要证两直线垂直,可构造与两直线分别平行的向量a,b(a,b是非零向量),只要证明两个向量的数量积为零即可. (2)用向量法证明线面(面面)垂直,离不开线面(面面)垂直的判定定理,将线面(面面)垂直转化为线线垂直,然后利用向量法证明. 　　[针对训练] 3.如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. 求证:PA⊥BD. 证明:设AD=a,则AB=2a. 因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥AB, 所以·=·=0, 所以·=(+)·(-)=·-·-+·=-||2+·=-a2+||||cos∠DAB=-a2+2a2×cos 60°=0,所以⊥,故PA⊥BD. 题型(三)　利用数量积求模与夹角 [例3]　如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°. (1)求||; (2)求<,>的值. 解:(1)||=||=||=6,·=·=·=6×6×cos 60°=18, ∵=++=++, 则=(++)2=+++2·+2·+2·=3×62+3×2×18=216.∴||=6. (2)∵=+=-,=-,则=(-)2=-2·+=36,即||=6,||=6,·=(-)·(-)=-·=18, ∴cos<,>===, 则<,>=60°. 　　[变式拓展] 本例条件不变,求直线BD1与AC所成角的余弦值. 解:∵=++=-++,=+,则=(-++)2=++-2·-2·+2·=72,=+2·+=108,即||=6,||=6. ·=(-++)·(+)=-++·+·=36. ∴cos<,>===,即直线BD1与AC所成角的余弦值为. 　　|思|维|建|模| 1.求异面直线所成角的大小的一般步骤 取向量 根据题设条件分别取要求夹角的两异面直线的方向向量 转化角 将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题 求余弦 利用数量积求向量夹角的余弦值 定结果 异面直线所成的角的余弦值等于相应向量夹角余弦值的绝对值 2.求线段长度的步骤 (1)将线段用向量表示; (2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量; (3)利用|a|= 得所求长度. 　　[针对训练] 4.如图,在四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AD∥BC,AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=,BB1=AD=2AB=2BC=2,E是线段B1D上的点,且=2. (1)求||的长; (2)求异面直线AE与CD所成角的余弦值. 解:(1)因为=2,所以=+=++, ||2==+++·+·+·=+×4+×4+×1×2× +×0+×2×2×=,故||=. (2)因为=++=-, ||= ==, 所以·=·=·+·+--·-· =0+×2×2×+×22-×12-×2×1×-0=1, 所以cos<,>===. 故异面直线AE与CD所成角的余弦值为. [课时检测] 1.在正四面体ABCD中,点E,F分别是AC,AD的中点,则与的夹角为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:选C　由题意,可得=,所以<,>=<,>=180°-<,>=180°-60°=120°. 2.已知空间向量a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则cos<a,b>= (　　) A. B. C.- D. 解析:选D　因为a+b+c=0,所以c=-(a+b),所以|c|=|a+b|,所以|c|2=|a|2+2|a||b|cos<a,b>+|b|2,所以16=4+12cos<a,b>+9,所以cos<a,b>=. 3.如图,已知正方体ABCD⁃A'B'C'D'的棱长为1,则·= (　　) A.1 B. C. D.-1 解析:选A　因为=+=-+=-+,且·=0,·=0,所以·=·(-+)=·-·+=1.故选A. 4.在三棱锥S⁃ABC中,(++2)·(-)=0,则△ABC是 (　　) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 解析:选C　∵++2=+-2=(-)+(-)=+,-==-,∴(++2)· (-)=(+)·(-)=-=0,∴||=||,即BC=BA,所以△ABC是等腰三角形. 5.在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则在上的投影向量为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　设AC=2,BD=1,由·=·=0,=++,则·=(++)·=||2,所以在上的投影向量为·=·=. 6.(多选)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,下列命题是真命题的是 (　　) A.(++)2=3 B.·(-)=0 C.与的夹角为60° D.正方体的体积为||·(·) 解析:选AB　如图所示,(++)2=(++)2==3,故A为真命题;·(-)=·=0,故B为真命题;连接CD1,易知与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°,故C为假命题;正方体的体积为||||||,故D为假命题. 7.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,Pi(i=1,2,…,8)是上底面上其余的八个点,则集合{y|y=·,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 解析:选A　由题意可知,=+,则·=·(+)=+·.因为棱长为1,AB⊥BPi,所以·=0,所以·=+·=1+0=1,故集合{y|y=·,i=1,2,3,…,8}中的元素个数为1. 8.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,如图所示,在鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD,M为AD的中点,则异面直线BM与CD所成角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　设AB=BC=CD=1,由题意得=(+)=(++),所以||2=(++)2= (++)=,·=(++)·==.设异面直线BM与CD所成的角为θ, 则cos θ===. 9.(5分)已知|a|=3,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,且m⊥n,则实数λ等于　　　　.  解析:∵m⊥n,∴m·n=(a+b)·(a+λb)=|a|2+λa·b+a·b+λ|b|2=18+λ·3×4·cos 135°+3×4·cos 135°+λ·16=18-12λ-12+16λ=6+4λ=0,∴λ=-. 答案:- 10.(5分)如图,两条异面直线a,b所成的角为30°,在直线a,b上分别取点A',E和点A,F,使AA'⊥a且AA'⊥b.已知A'E=2,AF=,EF=5,则线段AA'的长为　　　　. 解析:因为=++, 所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·,由于AA'⊥a,AA'⊥b,则2·=0,2·=0.又因为两条异面直线a,b所成的角为30°,所以<,>=30°或<,>=150°,故52=22+||2+3+2×2××cos<,>,可得||=2或||=2. 答案:2或2 11.(5分)在正三棱柱ABC⁃A1B1C1中,底面边长为a,侧棱长为b,若B1C⊥A1B,则=　　　.  解析:如图,由题意||=||=a,||=b,且<,>=60°,⊥,⊥,则=+=+,=-,又B1C⊥A1B,即⊥,所以·=0,所以(-)·(+)=·+·--·=0+a·a·-b2-0=0,解得a=b,即=. 答案: 12.(10分)如图,在长方体ABCD⁃A'B'C'D'中,E是AA'的中点,AA'=AD=2,AB=4,求: (1)·;(5分) (2)·.(5分) 解:(1)∵是长方体,而且AA'=AD=2,∴<,>=∠B'BC'=45°,||=AA'=1,||=BC'==2,因此,·=||||cos<,>=2×1×=2. (2)∵=++,==,∴·=(++)·=-+·+·. ∵⊥,⊥, ∴·=-=-2. 13.(10分)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,四边形ABCD为矩形,且AB=2AD=2,PA=2,∠PAB=∠PAD=. (1)求线段PC的长度;(3分) (2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值;(4分) (3)若E为AB的中点,证明:PA⊥ED.(3分) 解:(1)∵=+=++,∴=+++2·+2·+2·=4+4+1-2×2-2×1=3,∴||=,∴线段PC的长度为. (2)∵·=(++)·(-)=·-·+·-·+·-·=-1×2×-2×2+1×1+2×2×+0-0=-2,||=, ∴cos<,>===-, 故异面直线PC与BD所成角的余弦值为. (3)证明:∵E为AB的中点,∴AD=AE, ∵·=·(-)=·-·=2×1×-2×1×=0, ∴⊥,即PA⊥ED. 14.(15分)如图,在六棱柱ABCDEF⁃A1B1C1D1E1F1中,底面ABCDEF是正六边形,设=a,=b,=c. (1)用a,b,c分别表示,.(5分) (2)若cos∠BAA1=cos∠FAA1=,AB=2,AA1=4,求: ①·;(5分)②||.(5分) 解:(1)如图,连接AD,因为六边形ABCDEF为正六边形,所以+=,则=2a+2b, 所以=-=2a+2b-c,=+=-=2a+b-c. (2)因为六边形ABCDEF为正六边形,所以∠BAF=.又cos∠BAA1=cos∠FAA1=,AB=2,AA1=4, 所以|a|=|b|=2,|c|=4,a·b=|a||b|cos=-2,a·c=b·c=|a||c|×=2. ①·=(2a+b-c)·(2a+2b-c)=4a2+2b2+c2+6a·b-3b·c-4a·c=16+8+16-12-6-8=14. ②因为=++=-+=2a+2b-a+c=a+2b+c, 所以||2=(a+2b+c)2 =a2+4b2+c2+4a·b+4b·c+2a·c =4+16+16-8+8+4=40,故||=2. 学科网（北京）股份有限公司 $