福建省泉州第五中学2026-2027学年高三上学期9月数学周练1

福建省泉州第五中学2026-2027学年高三上学期9月数学周练1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知集合A={xeZx=3k+2,keZ,B={xeZx=6h-1,keZ,则(). A.A=B B.A∈B C.B∈A D.AnB=0 2设：，则-（) A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 3.设函数fx)=sin+cosu>0),若f(c+四=f的恒成立，且f)在0， 上存在 4 零点，则ω的最小值为() A.8 B.6 C.4 D.3 4设双线C号。=-1>0b>0)的左，右焦点分别为乐，R,过马的直线与C的右支相 交于A,B两点，若AB=4a,∠FAB=90°，则C的离心率为() A. B.5 C.2 D.3 2 5.已知f(x)=log21+4x+x,则满足f(2-3)<f()的实数m的取值范围为（) A.(1,3) B C.（-00,3) D.(3,+oo) 6.已知△ABC是边长为1的正三角形，AN=C,P是BN上一点且AP=mAB+AC, 则AP.AB=() c D.1 M数学试题第1页（共4页) 7.已知圆x2+(y-3)=2(r>0)上到直线√3x+y+3=0的距离为1的点有且仅有2个，则 的取值范围是() A.（2,4] B.（4,+o) c.[2,4 D.(2,4) 8已知a=em-1,b=0,c=h103,则a,6,c的大小关系为（) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>a>c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形， 且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法正确的是（) A.在棱AD上不存在点M,使AD⊥平面PMB B.异面直线AD与PB所成的角为90 D C.二面角P-BC-A的大小为45 D.BD⊥平面PAC 10.已知抛物线C:y=4x的焦点为F,其准线1与x轴交于点A,O为坐标原点，过F的 直线与C交于B,D两点，过B,D作1的垂线，垂足分别为E,G,则() A.若直线BD的斜率为1，则BD=8B.以BD为直径的圆与y轴相切 C.EF⊥GF D.B,O,G三点共线 11.已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边，D为BC边上一点，△ABC的面积 为y5,且满足2sinC=-csinB,bccos4=-1,则() 2 A.b=2 B.当AD为中线时，AD= 2 C.当AD为高线时，AD=2I D.当4D为角平分线时，4D= 8 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若直线y=+a与曲线y=nr+1相切，则实数a的值为 13.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织， 日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟的具体 含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为 14.如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域 E 现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部 D 分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜 色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有 种不同的 染色方案 M数学试题第2页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.错题重做是一种有效的学习策略，它可以帮助学生更好地理解和掌握知识某班级数学 老师利用DeepSeek设计了一个错题重做网页小游戏.并在班级发起错题重做挑战赛.甲和乙 两人组成“泉小伍队”参加挑战赛每轮比赛中，甲和乙各抽取一道错题，他们做对与否互不 影响，且各轮结果也互不影响： ①考甲每轮做对的概率为了，乙每轮微对的概率为号求泉小伍队在两轮比赛中做对2超 的概率； (日若甲和乙第轮被对的影率分别为子·号，第二轮做对的德率分别为写，子求"泉小任队 54 在两轮比赛中做对3题的概率 16.在等比数列{a}中，4=1,4≠4，且34,24,4成等差数列. (1)求{a}的通项公式； 2若6.=”，c= 1 n+1,求数列.+c}的前n项和8. 17.如图，在四棱锥S-ABCD中，SC⊥平面ABCD,在梯形ABCD中，AB/1CD,ADICD, AB=2CD=2AD=4,点C在平面SAB的投影恰好是△SAB的重心G (1)证明：平面SCG1平面SCD; (2)求直线AG与平面S4C所成角的正弦值. C G M数学试题第3页（共4页) 18.过抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点作平行于x轴的直线被抛物线C截得的弦长为4，已 知点P(0,-2),Q(4,2),设过点P的直线1与抛物线C交于点A,B,且直线QA交抛物线C于 点M(点M与点A不重合). (1)求抛物线C的方程； (2)设直线MB交以PQ为直径的圆于点D,E,求DE的最小值 19已知数ao到 (1)求证：2tanx+3sinx>5x; (2)若∫(x)<si2x,求a的取值范围. M数学试题第4页（共4页) 《2026年09月12日数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 c B D 心 BC ACD 题号 11 答案 ABD 1.C 【来源】广西名校高考模拟2025-2026学年高三上学期第一次摸底考试数学试题 【分析】先证明对任意∈B,则x∈A,再证明2∈A,但2EB,由此可得结论， 【详解】对任意∈B,存在∈Z,使得x=6k-1, 由于=6k-1=3(2k-1)+2,令K=2k-1,则k∈Z,所以x=3k+2∈A,故B∈A, 又2eA(当k=0时，但2eB（由6k-1-2解得k=eZ,所以B是A的真子集， 故选：C 2.B 【来源】2023年高考全国乙卷数学（理）真题 【分析】由题意首先计算复数z的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可 【详解】由题意可得：= 2+i2+i=i(2+0_2i-1=1-2i, 1+i2+泸1-1+ii2 -1 则z=1+2i 故选：B. 3.C 【来源】2025年高考北京数学真题 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解 【详解】函数f)=in+cosu=万sn(ax+军a>0, 设函数fx)的最小正周期为T,由fx+)=f,可得T=元(k∈N), 所以r-2-keN.即w=业ke: 又亚敌o车到上存作笔点，且当引时.+任学到 所以W+亚之元，即w≥3： 44 答案第1页（共17页） 综上，ω的最小值为4 故选：C 4.A 【来源】四川省仁寿第一中学校（北校区）2026届高三上学期一模考试数学试题 【分析】设A=x,B=y,由已知和双曲线的定义得出A=x-2a,B引=y-2A, AE引+BF=x-2a+y-2a=4a,再在直角三角形RAB和AR乃中，利用勾股定理可求得a 和c的关系，从而可求双曲线的离心率 【详解】如图，设A=x,B=y, 由双曲线定义可知：AF=x-2n,B=y-2a, .AB =4a,.AF BE =x-2a+y-2a=4a,y=8a-x; 在直角△RAB中，Br=Ar+AB,即(8a-x2=x2+(4a2, 解得：x=3a,则A=3a,A=3a-2a=a; 在直角△A中，RE=Ar+AE,即(2c)-(3a)2+ad2, 即会所以：台四 故选：A. 5.A 【来源】山西省临汾市2025届高考考前适应性训练考试(（三）数学试题 【分析】由函数解析式明确定义域，判其奇偶性，整理函数解析式，根据指数函数、对勾函 数以及复合函数的单调性，可得函数的单调性，简化不等式，可得答案 【详解】由(x)=log2(1+4x)+x,易知其定义域为R, 由f(-x)-f(x)=log2(1+4）-x-log21+4x-x 答案第2页（共17页） g21+42x09,4-2x=2x-2x=0,则函数f(y为偶函数 f(x)=l1og21+4)+x=log21+22)+log22=1og2(2*+2), 由y=2在R上单调递增，y=x+上在(0,1)上单调递减，在1，∞)上单调递增， 则y=2+分在(-0,0)上单调递减，在(0+)上单调递增， 即函数f（x)在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调递减， 由f(2m-3)<f(m),则2-3<m,即(2-32<2， 整理可得3m2-12m+9<0,化简可得(m-3)(m-1)<0, 解得1<m<3, 故选：A 6.A 【来源】福建省龙岩市第一中学锦山学校2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试题 【分】根报题在得不一而孤，由卫BN三点其线求得m-号利用向盘款显积运年 求解即可. wn w 2wr wn sur 【详解】由-}c,得丽-C,且册-m出+ AC=mAB+ AN. 9 而P,B,N三点共线，则m+8-1,即m= 所以AP=AB+2AC, 所以APAB= 9 99 故选：A B 7.D 【来源】贵州省毕节市2026届高三第一次适应性考试数学试题 【分析】先求圆心到直线的距离，再找距离直线为1的两条平行线，通过分析圆与这两条平 答案第3页（共17页） 行线的位置关系，确定半径的取值范围 【详解】由题可知，圆的圆心为(0,3)，半径为r, 圆心到直线V5x+y+3=0的距离d=10+3+3!=3, √3+1 设与直线√3x+y+3=0距离为1的平行线为V3x+y+c=0, 由，3到=1，可解得c=1或c=5, 2 则圆心到直线5x+y+1=0的距离4=3+1=2，圆心到直线5x+y+5=0的距离 2 4=B3+-4. 2 √3x+y+3=0 因为圆上到直线√3x+y+3=0距离为1的点有且仅有2个， 所以圆与这两条平行线一个相交、一个相离，即2<r<4. 故选：D. 8.B 【来源】江西省景德镇市2022届高三第三次质检数学（文）试题 【分析】根据式子结构构造函数，判断单调性，比较大小 【详解】记f(x)=e-1-x,(x≥0) 因为，所以当x>0时，所以f(x)在(0，+oo)上单调递增函数，所以当x>0时， f(x)>f(0)=0,即e-1>x,所以e03-1>0.03. 记g(x)=ln(1+x)-x,(x≥0) 因为，所以g(x)在(0，+o)上单调递减函数，所以当x>0时，g(x)<g(0)=0,即n(1+x)<x, 所以n1.03<0.03 所以a>c. 记)-h0+)产x20). 答案第4页（共17页） 因为，所以当x>0时，所以h(x)在(0，+oo)上单调递增函数，所以当x>0时，h(x)>(0)=0, 即nl+x)>,x, 0.033 所以1nl.03> 1+x 1+0.03103 所以c>b 综上所述：a>c>b 故选：B 9.BC 【来源】江苏宿迁市2025-2026学年第二学期期中质量监测高二数学 【分析】取AD中点E,连接PE,BE,由题意证明线面垂直，即PE⊥平面ABCD,建立 空间直角坐标系，对于A选项，假设AD1平面PMB,设M(a,0,0),由AD.PM=0, AD.PB=0求解即可；对于B选项，求AD,PB,由AD.PB=0即可求解；对于C选项， 分别求解平面PBC与平面BCA法向量，由此求解即可；对于D选项，由BD.PA≠O即可求 解。 【详解】取AD中点E,连接PE,BE,因为△PAD为等边三角形，则PE L AD,因为平面 PADI平面ABCD, 平面PADO平面ABCD=AD,PE∈平面PAD,PEE平面ABCD,则PEI平面ABCD, 因为底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，所以BE⊥AD, 因为BE∈平面ABCD,所以PE⊥BE, 所以以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，如图建立空间直角坐标系， B 则令AB=2,则有AE=DE=1,PE=BE=√3， 则有E(0,0,0),A1,0,0),B0,5,0,C(-2,V5,0,D(-1,0,0),P0,0,5), 对于A选项，令M(a,0,0),若AD1平面PMB,则有AD.PM=0,AD.PB=0 答案第5页（共17页） 则AD=(-20,0),PB=(0,5,-V5),pM=a,0,-3),则有AD.PM=-2=0, 即点M为原点时，有ADL平面PMB,故A错误； 对于B选项，AD=(-2,0,0),PB=(0,V5,-V3),因为ADPB=0,则AD1PB, 则异面直线AD与PB所成的角为90°，故B正确； 对于C选项，平面BCA的法向量为m=(0,0,1),则平面PBC的法向量为i=（:,,三)， 则PC=-2,V5,-5),PB=(0,5,-5),则有 PB.=0 PC.=0 即B-v8g=0 -2%+5-2=0令为=1，则有与=0,5=1，放元=(0,11. 故c0s8= 网同空，放=面角P一C-4的大小为行，故c正德： m-元√2 对于D选项，BD=(-1,-3,0,PA=1,0,-V5),因为BD.PA=-1≠0，故BD与平面PAC 不垂直，故D错误 10.ACD 【来源】广东省广州市增城区2024-2025学年高三下学期5月模拟测试数学试题 【分析】对于A,联立直线BD:y=x-1方程与抛物线方程，结合焦点弦长公式以及韦达定 理即可判断；对于B,由抛物线的性质即可判断；对于C,结合内错角相等即可得证；对于 D,设直线OB与准线1交于H(xH,ya),只需说明H,G重合即可. 【详解】抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),准线1：x=1,点A(-1,0),设B(x,y),D(x2y2), [y=x-1 对于A,直线BD:y=x-1,由 y2=4x 答案第6页（共17页） 消去y得x2-6x+1=0,所以：+6=6，所以BD=x1+X2+2=8，,故A正确： 对于B,BD=5+5+2,线段D中点横坐标，=5BD, 2 弦BD中点到准线的距离为BD,因此以BF为直径的圆与准线相切，故B错误； 对于C,由BF=|BE,BE∥AF,得∠AFE=∠BEF=∠BFE,同理∠AFG=∠DFG, 则∠BG=∠ANR+∠APG-Am+∠AD)-0,故C正晓 对于D,设宜线D=1,联立仁得旷--4-0，则4 直线OB:y=x,直线OB与准线1交于H(xH,yH), 联立 ，解得归及-生。4 y=业x x=-1 4 又人是所以a=为，即H与G重合，所以B0、G三点共线、故D正确 故选：ACD 11.ABD 【来源】山西临汾市2026届高三年级第一学期期末考试数学试题 【分析】利用2sinC=csinB以及正弦定理可求b,判断A;利用剩余两个条件可求A,c,再 利用余弦定理求出a,利用2AD=AB+AC判断B;利用等面积判断C;利用SABc =S△ABD+SA ACD判断D. 【详解】由2sinC=csinB以及正弦定理可得，2c=bc,得b=2,故A正确； 西为a8c的国积为点，所以gc如A-.即红n4=5 2 因为bccosA=-1,所以tanA=-√3， 因为A∈(0，元，所以A=2亚，则=2，则c=1, 3 在4BC中利用余弦定理可得，d=6+心-2bcos否-4+1+2x21片-7， 3 则a=√万， 当AD为中线时，2AD=AB+AC，则4AD=AB+AC2+2AB.AC, 答案第7页（共17页） 即4D-1+4+2x1x2×co2亚-3，得AD=y5,故B正确： 3 2 当4D为高我时，S6c aAD=5,得4D=回，故c错误： 7 当AD为角平分线时，则∠BAD=∠CAD=亚， Γ3’ 由Se-9a+m,得51xD×n 5+7×2 x4Dxsin亚_3V3 AD, 22 3 34 则AD=2 故D正确 故选：ABD 12.a=1 【来源】安徽省皖南八校2026届高三上学期第一次大联考数学试卷 【分析】先对曲线方程求导，根据导数的几何意义得出切点处的导数等于直线斜率，从而求 出切点坐标，最后把切点坐标代人直线方程求出a 【详解】曲线方程y=x+1求导得y=】, X 直线，-。+a与线y=+1甜物，设切点为气小，则名。第待飞=6。 ∴.代入曲线方程得=lne+1=2,故切点坐标为(e,2), ,切点同时位于直线上 :.e+a=2,解得a=1. e 13.29 4 【来源】2020届云南省大理、丽江、怒江高中毕业生第二次复习统一检测数学（理）试题 【解析】设第天织布的尺数为a,可知数列{an}为等差数列，根据题意得出关于公差的方 程，解出这个量的值，即可得出结果 【详解】设第n天织布的尺数为a,可知数列{an}为等差数列， 设等差数列{a}的公差为d,前n项和为Sn,则a4=5,a=1,S=90, 则S=9+0,=31=90,解得n=30,4如=4+291=5+29d=1,解得d=-20 2 答案第8页（共17页） 因此，每天比前一天少织布的尺数为4 9 故答米为：马 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 14.192 【来源】江西省新余市第四中学2024-2025学年高三下学期2月数学模拟预测（十） 【分析】法一：间隔元素分析法，分A,C同色，B,D同色；A,C同色，B,D不同色；A,C不 同色，B,D同色；A,C不同色，B、D不同色，结合A,D和A,F的颜色相同和不同，分类 讨论，得到情况数，相加即可； 法二：相邻最多元素优先分析法，考虑到F影响的元素最多，分B、C、D、F各不同色，和 B、D同色，结合B、E同色，不同色，C、E同色，C、E不同色，共有类讨论，分类讨论， 得到情况数，相加即可 【详解】法一：间隔元素分析法： ①A,C同色，B,D同色，则E有两种上色方式，F被E确定，故有C·A3·2=24种； ②A,C同色，B,D不同色，则F仅有1中上色方式，E被F确定，故有C·A=24种； ③A,C不同色，B,D同色，则若F与A同色，则E有1种上色方式； 若F与A不同色，则F,E只有1种上色方式； 故有CA2=48种； ④A,C不同色，B、D不同色， 1)A,D同色，则有CA2=48种；2)A,D不同色，则有A2=48种 综上，共有24+24+48+48+48=192种方式 法二：相邻最多元素优先分析法： 考虑到F影响的元素最多： ①B、C、D、F各不同色，1)B、E同色，则A有3种染色法，故共有A43=72种； 2)B、E不同色，则A有2种染色法，故共有：A4·2=48种； ②B、D同色，1)C、E同色，则A只有1种染色法(4种颜色都要使用到)， 故有C·A=24种；2)C、E不同色，则A有2种染色法，故有C·A·2=48种 答案第9页（共17页） 综上：共有72+48+24+48=192种染色方案」 故答案为：192 7 15.014 eb 40 【来源】湖南省郴州市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】(1)(2)设甲第轮做对为事件4，“乙第轮做对为事件B,i=1,2,应用独立 乘法公式、互斥事件加法求概率； 【详解】(1)设“甲第轮做对为事件A,“乙第轮做对为事件B,i=1,2, 已知P心A)-、P(8)-子，且4与么相互独立，各轮之间也相互独立 “泉小伍队”在两轮比赛中做对2题有三种情况： 情况-：甲微对2题，乙做对0题的概率为g=P44B=P4)P4)P)P马 情祝=：甲微对0题，乙微时2题的传率为县=P44A)广P团P石P民P色上6 情况三：甲做对1题，乙做对1题 甲做对1冠的率为24④)：P不4-P4P石PTP4上8 乙微对1题的率为PB马+PB8,=P马P可)+P区)Pa)-号 341 所以甲做对0题，乙做对2题的概率为￡=二×4=二 896 因为这三种情况互斥，所以P(“泉小伍队"在两轮比赛中做对2题)=++-37 -16366144 (2)设“甲第轮做对为事件A,“乙第i轮做对为事件B,,i=1,2 已知P(4)-},P(B)-子，P心4)-专，P（B)-},且含率件相互维立 “泉小伍队”在两轮比赛中做对3题有两种情况： 情况一：甲做对2题，乙做对1题 甲微对2题的概率为P(44)=P4P4)号 乙微对1题的藏率为PB风)+P瓜a,)=PaP区片P区P么，上音 所以甲做对2题，乙做对1题的概率为×点- 5124 答案第10页（共17页） 情况二：甲做对1题，乙做对2题 印微对1围的稳*为P44)+P4)-P4P因PP化大对 乙做对2题的率为月-P8=P因P%)上片 所以甲做对1题，乙做对2题的概率为 71_7 20240 由于这两种情况互斥，所以泉小伍队“在两轮比赛中做对3题的概率为4十040 ,1,717 16.(1)a=3- @s号0 【来源】云南省部分学校2026届高三上学期11月联考数学试题 【分析】(1)根据等比数列的通项公式，结合等差数列的性质，即可求解； (2)利用错位相减法求数列{b}的和，利用裂项相消法求数列{Cm}的和，再相加求S. 【详解】(1)设{a}的公比为9，由4≠4，得q≠1 因为34,2,44成等差数列，所以4a3=3+44, 得到4a,9=3a+4q, 即gd-4g+3=0,解得q=1（舍)，或q=3. 又4=1，所以4=3-1」 (2)出-2产， 8是数列}的前n项和，可得B。二++之++二 3坏2+ 3, 123 3-3n 两式相减，得8=1+ 111人 3+…+ 3”n32+3 731子2水3 3 &号 设c是数列c}的前u项和，可得c-（仔》位》+传++日) 即Cn=1-1=n n+1n+1 答案第11页（共17页） 由Sn=Bn+Cn= 92n+3,n 44x3m+n+1 17.(1)设M是AB的中点，连接CM, 因为AB=2CD=2AD=4,所以AM=CD=2, 又AB/ICD,所以四边形AMCD为平行四边形，故AD/1CM, 因为SCI平面ABCD,ADC平面ABCD,所以SC L AD, 又AD⊥CD,SCnCD=C,SC,CDc平面SCD,所以AD⊥平面SCD, 所以CM⊥平面SCD, 又CMc平面SCG,所以平面SCG⊥平面SCD; 9 【来源】新疆维吾尔自治区2026年普通高考适应性检测第一次分学科模拟考试数学试题 【分析】(1)作出辅助线，得到AD/CM,并证明出AD⊥平面SCD,进而推出CM⊥平 面SCD,从而得到面面垂直； (2)建立空问直角坐标系，设cS-1>0,则c(0),G-(0号引，根据线线垂直得 到数量积为0，从而得到方程，求出t=2√2，从而求出平面的法向量，利用线面角的正弦 向量公式求出线面角的正弦值 【详解】(1)略 (2)因为SC⊥平面ABCD,CD,CMC平面ABCD, 所以SC⊥CD,SC⊥CM, 又CD⊥CM,故以C为坐标原点，CD,CM,CS所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐 标系， 故C(0,0,0),A2,2,0),B(-2,2,0),M(0,2,0), 设CS=t>0,则S(0,0,t),因为G为△ABS的重心， 放o2000:9即c个0成e0-引 又C在平面SAB的投影恰好是△SAB的重心G 所以CG⊥平面SAB,即CG⊥SM,又SM=(0,2,-t), 所以0G亚-0号》a2-专=0，待1=25.负宜合去 答案第12页（共17页） 放a28.o号29.4-(2号2 设平面SAC的一个法向量为i=(x,y,z), 其中CA=(2,2,0,Cs=(0,0,22, [元-C4=(x,y,z）(2,2,0)=2x+2y=0 则 i.Cs=(x,y,z(00,25=25z=0’ 解得=0，令x=1,则y=-1,故i=(1,-1,0), 设直线AG与平面AC所成角大小为日， n.AG 210222 33 则sin日=cos(iAG 6 AG 48 √1+1+0×4+ 6 99 所以直线4G与平面4C所成角的正弦值为6 G 18.(1)x2=4y (2)4 【来源】四川省达州市高级中学校2025届高考冲刺测试（一）数学试卷 【分析】(1)写出焦点坐标即可求出过焦点且平行于x轴的直线与抛物线交点的横坐标，数 形结合利用弦长列方程求解； (2)设直线1的方程为y=c-2,A(x,),B(5,),M(,),与抛物线方程联立，结合根 与系数的关系及斜率公式设出直线QA的方程并与抛物线联立，利用韦达定理可得 2(:+x)=8+xx,写出直线MB的方程并利用点在抛物线上进行化简，即可求出直线B 的定点N,数形结合知当且仅当ON1DE时（此时点A,B重合）D最小，代入相应数值 答案第13页（共17页） 结算即可 【详解】(1)由拉物线的性质可得，地物线的焦点为0号)，将y=号代入=2m,解得 x=±p,则2p=4, 所以抛物线C的方程为x2=4y (2)由题意可设直线1的方程为y=x-2,A(5,片)，B(s,为)，M(3y）, [16k2-32>0, 联立 y2整理得x2-4+8=0,则{ 1x2=4y, x1+x2=4k, xx2=8. 由5≠4，得直线O4:y-22(x-4,与抛物线C联立并整理得 4-X x8-5+32=4-8=0. 4-5”4- 882 8-￥=4-x-8,所以8， 32-4.64 所以x+5=4-方1 48 83 -8, 4、8 所以2-8=8++-所以2(5+)=8+5， x3-2 x3-2 直线为名之(-小.将头-手=草代人上式，化筒可得 X2-X3 4y=(53+53）x-553. 将2(5+)=8+x2代入4y=(3+)x-x5,得4y=(:3+5)(x-2)+8, 所以直线MB恒过定点N(2,2): 以P2为直径的圆的方程是(x-2)+y2=8,该圆的圆心为O(2,0),当且仅当ON1DE时 (此时点A,B重合)D最小， 答案第14页（共17页） DE lanin=2QD2-laN=218-22=4, 所以D最小值为4. 19.(1) g(x)=2tamx+3simnx-5x,0<x 2 g)2+3c0x-5-3cos-5cos2 COS-x cos-x 令()=3cos2x-5c0s2x+2,0<x< 2 (x)=9cos2x(-sinx)-5x2cosx(-sinx)=sin.xcosx(10-9cosx)>0, 所以（在0到 上单调递增，则hx)>h(0)=0,即g'(x)>0, 所以g在(0 上单调递增 故g(x)>g(0)=0,即2tanx+3sinx>5x (2)(-00,5] 【来源】2024届新高考数学原创卷2 【分析】(1)求导后讨论导函数的分子设h(x)-3cos3x-5cos2x+2,再求导分析单调性可 得h(x)>h(0)=0,进而可得导函数的正负区间与原函数的单调性； (2)方法1：由(1)知5x<2tanx+3sinx,再代人当a≤5时化简不等式即可知f（x)<sim2x, 再根据当a>5时，f（x)>sin2x即可得；方法2：分情况讨论，当a≤0时不等式成立，再 当a>0时，构造函数分析函数最值，得出a≤5，再讨论充分性即可」 【详解】(1)略 (2)方法1：由(1)知5x<2tanx+3sinx,所以当a≤5时， f(x)-sin 2x s 5x-3sinx -sin 2x 2tan x+3sin x- 3sin x sin 2x CoS2x cos-x (3+2co+3co2cos)cos1)3-2c05) cos2x 先证明：当xe0,时，simx<x,因为y=sinx-x,X∈（0,2 、 2 导函数y'=cosx-l≤0，故y=sinx-x为减函数，则sinx-x<sin0-0=0, (,时，inx<x. 即当x∈0， 2 答案第15页（共17页） 又当a>5时，取60) 3 满足c0s>a-2’ 5所以f6》一5m2%,=am3an-2sn6cos>sm 3 a- cos Xo cos Xo 3 >Sin xo >0 综上，a的取值范围是(-o,5]. 方法2：若a≤0，则f(x)<sin2x. 下设a>0, 当到时. f(x)<sin2x台ax 3an<2smxecosx台3+2cosx>a cos-x sinx 因为当x∈0时，<x,所以当3 02 首cog+2c0sx>a时，有，3 sin x cosx+2cosx>a 设g0=产+2x,0<11则g口)-2<0，所以g0在0)上单调递减，g>80=5 3 5时，3 。 则当x∈(0,2 +2cosx的取值范围是(5，+oo),故a≤5. cos-x 必要性已得，下面讨论充分性， 当a≤5时，fm)-sin2x<5x-3sim -sin 2x, COS2x 令h()=5x-3sinx-sin2x,则 cos2x 5c6sin2cos2x=5 COS3x 3+31-cos1-22c0s2x-刂 cos3x =7c0s2x-4c0s3x+3c0s2x-6 COsx 今F(m)=4m+7m2+3m2-6,0<m<1,则 F'(m=-20m+21m2+6m=6+m2+202(1-m2)>0 所以F(m)在(0,1)上单调递增，则F(m<FI)=0,故h(x)<0.因此f(x)<sin2x, 综上，a的取值范围是(-o,5]. 【点睛】方法点睛： (1)求导分析函数单调性时，可设导数中需要讨论正负的部分为新函数，再求导分析单调 性与特殊值，从而确定正负区间，进而确定原函数的单调性； 答案第16页（共17页） (2)第二问可注意使用前问的结论，遇到三角函数时，注意运用三角函数公式化简，同时 注意三角函数的值域进行不等式放缩 答案第17页（共17页）