第十六章 整式的乘法 题型精讲（讲义）-2026-2027学年人教版八年级上册数学

该初中数学讲义通过课时核心导图和分层知识点梳理构建整式乘法知识体系，涵盖幂的运算、整式乘除、乘法公式等内容，用表格明确课标要点与重难点，清晰呈现知识内在联系与易错点分布。 讲义亮点在于题型精讲与变式训练结合，如平方差公式解决203×197简便计算，培养运算能力，完全平方公式通过几何面积解释发展几何直观。易错专练针对负号处理等典型错误，课后作业分基础、能力、拓展三层，助力不同学生提升，支持教师精准教学。

人教版·八年级上册·第十六章 整式的乘法·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第十六章 整式的乘法 题型精讲（讲义）-2026-2027学年八年级上册数学人教版 人教版（2024年版）八年级数学上册　第十六章　整式的乘法　16.1幂的运算　16.2整式的乘法　16.3乘法公式 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方这三条性质的关系式，会判断一个式子该用哪一条，会把三条性质混在一起的式子按“先乘方、后乘除”的顺序算出来，并会把它们反过来用，由与的值求、这类式子的值。 2．能说出单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式这三条法则，会按法则把积展开并合并同类项；能说出同底数幂的除法法则与＝1（a≠0）的规定，会做单项式除以单项式、多项式除以单项式。 3．能默写平方差公式与完全平方公式，会辨认题目中哪一部分当a、哪一部分当b，会用公式作简便计算与化简求值，会用完全平方公式由a+b与ab求+，会用添括号法则把三项式凑成公式的形式，并能用图形的面积解释两个公式。 学习重难点 重点：三条幂的运算性质的区分与混合运算；单项式乘多项式、多项式乘多项式的展开与合并；平方差公式与完全平方公式的结构辨认；整式的除法与＝1；用公式作简便计算与整体代入求值。 难点：同底数幂相乘是指数相加、幂的乘方是指数相乘，两者在混合运算里极易互换；积的乘方要把系数连同负号一起乘方，的结果是9而不是-9；完全平方公式的中间项2ab最容易整项漏掉；把三项式凑成公式形式时，括号前是负号则括进去的每一项都要改变符号。 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　同底数幂的乘法 本章从超级计算机每秒运算1亿亿次的问题起步：每秒运算次，工作s一共运算多少次，要算的就是×。按乘方的意义把两个幂都展开，16个10与3个10接在一起，一共是19个10，所以积是。把数换成字母，这条一般结论就是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。写成关系式就是·＝，其中m，n都是正整数。这条性质只管两件事：底数原样抄下来，指数按加法算。它对三个或三个以上的同底数幂连乘同样成立。即时小例：·＝＝。教材还在边注里作了约定：本章中若没有特别说明，指数中的字母均为正整数。 关系式：·＝（m，n都是正整数） 读法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 推广：··＝，三个以上连乘照用 小提示：底数必须一模一样才算同底数：3与-3不是同底数，x与是同底数。单独写出的一个字母，指数是省略的1，算的时候要补回来。指数相加不是指数相乘，这一句要与下一条的幂的乘方对着记。 知识点　02　幂的乘方与积的乘方 把看成一个整体去乘方，按乘方的意义有n个相乘，指数就是n个m相加，于是有了第一条结论：幂的乘方，底数不变，指数相乘。再看两个因式的积去乘方：n个ab相乘，按交换律与结合律把a与b各自归堆，就得到：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。本讲的记法是＝与＝·。即时小例：的指数相乘得3×4＝12，所以＝；＝·＝8。积里有三个或三个以上因式时，积的乘方同样一个因式都不能落下。 幂的乘方：＝（m，n都是正整数） 积的乘方：＝·（n是正整数） 数字因数也是因式：里的2要写成，不能照抄 小提示：-与不是一回事：前者的负号在乘方之外，结果是-；后者的负号跟着底数一起乘方，结果也是-，但把指数换成偶数就分道扬镳了。负号在括号里面时它也要乘方，的结果是9。 知识点　03　单项式乘单项式与单项式乘多项式 计算a·b时，字母表示的是数，可以用乘法交换律、结合律把系数归一堆、同底数幂归一堆，教材称它为单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。再看章引言里的绿地问题，先求边长再求面积得p(a+b+c)，先分块求面积再相加得pa+pb+pc，两个结果表示同一个数量，一般化就是单项式乘多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即时小例：5b·(-2a)＝-10；-3x(2x-5)＝-6+15x。 单×单三件事：系数相乘、同底数幂相乘、独有的字母连同指数照抄 单×多的依据是分配律：单项式要乘遍多项式的每一项 结果里的符号由两个因式的符号共同决定，负负得正 小提示：单项式乘多项式时，多项式里有几项，积里就应当有几项，展开后先数一数项数。系数相乘不要与同底数幂相乘搞混：3·2的系数是3×2＝6，指数是2+3＝5，两处各算各的。 知识点　04　多项式乘多项式 把街心花园的长方形绿地加长又加宽，扩大后的面积既可以写成(a+b)(p+q)，也可以按四个小长方形写成ap+aq+bp+bq。两个式子表示同一块面积，于是有(a+b)(p+q)＝ap+aq+bp+bq。课本把这条法则叫作多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。动手时按固定的次序走：先用前一项去乘后一个多项式的每一项，再用第二项去乘，最后合并同类项。即时小例：(n+5)(n-2)＝-2n+5n-10＝+3n-10。 关系式：(a+b)(p+q)＝ap+aq+bp+bq 展开前先数项数：二项式乘二项式先得4项，合并后通常剩3项 每一项都带着它前面的符号参与相乘 小提示：最容易出错的是符号：减号后面那一项在相乘时要带着负号一起乘。二项式乘三项式先得6项，合并之前不要急着写等号后的最简结果，把6项老老实实写出来再合并。 知识点　05　平方差公式 按多项式乘多项式的法则展开(a+b)(a-b)，中间的-ab与+ab正好抵消，于是有：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，写成关系式就是(a+b)(a-b)＝-。这个公式叫作平方差公式。用公式之前先辨认结构：两个因式里有一项完全相同、另一项只差一个符号，相同的那项当a、只差符号的那项当b。即时小例：(k+9)(k-9)＝-81。如图，边长是a的正方形剪去一个边长是b的小正方形，剩下的部分可以拼成长是a+b、宽是a-b的长方形，面积前后不变。 关系式：(a+b)(a-b)＝- 用公式的前提：两个因式一项相同、另一项互为相反数 小提示：结果是两个平方相减，不是两个数相减：(x+2)(x-2)应当得-4，写成-2就漏了平方。a或b带系数或带负号时整体加括号再平方，把3x当a就写成＝9。 知识点　06　完全平方公式 把写成(a+b)(a+b)再展开，中间出现两个ab，于是有：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。和的平方写成关系式是＝+2ab+，差的平方写成关系式是＝-2ab+，这两个公式叫作完全平方公式。展开的结果一定是三项，首尾两项分别是两个数的平方，只要这两个数都不为0就都是正的；中间项是它们的积的2倍，前面的符号与原式中间的符号一致。如图，边长是a+b的正方形被分成四块：两块正方形的面积是与，两块长方形的面积都是ab，四块合起来正好是+2ab+。即时小例：把p当a、4当b，则＝+2·p·4+＝+8p+16。 和的平方：＝+2ab+ 差的平方：＝-2ab+ 结构口诀：首平方、尾平方、首尾相乘2倍在中央 小提示：最常见的错法是把写成+，中间项整项丢失。把公式反过来用，可以由和与积求平方和：+＝-2ab，也可以由差与积求平方和：+＝+2ab，这两个变形是求值题的常客。 知识点　07　添括号法则 运用乘法公式时，常常要先把三项或四项的式子凑成两项的形式，这就要用到添括号。由去括号法则可以得到a+(b+c)＝a+b+c与a-(b+c)＝a-b-c，把这两个等式反过来读，就得到两个添括号的式子：a+b+c＝a+(b+c)与a-b-c＝a-(b+c)。课本把这条规则命名为添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的每一项都要改变符号。用它把x+2y-3这类三项式改写成x+(2y-3)，就能把三项式相乘化成两个二项式相乘，接着套平方差公式或完全平方公式。即时小例：5x-3y+2＝5x-(3y-2)。 括号前是正号：括进去的各项符号照抄 括号前是负号：括进去的每一项符号全变 用途：把三项式凑成两项，再套乘法公式 小提示：添完括号可以立刻用去括号法则还原一次，还原得回原式才算添对。凑公式时要挑“两个式子里完全相同的那一部分”留在括号外，把剩下的部分括起来，挑错了就凑不成公式。 知识点　08　整式的除法与a的0次幂 计算÷就是求一个式子，使它与的积等于。因为·＝，所以有：同底数幂相除，底数不变，指数相减，写成关系式就是÷＝，其中a≠0，m，n都是正整数，且m＞n。当被除式与除式的指数相等时，按除法的意义商是1，按指数相减又得，两种算法必须一致，于是规定＝1（a≠0），也就是任何不等于0的数的0次幂都等于1。由此再得两条法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。即时小例：(18)÷(6b)＝3。 同底数幂相除：÷＝（a≠0，m＞n） 零次幂：＝1（a≠0），底数是0时没有意义 多项式除以单项式：逐项相除，再把商相加 小提示：多项式除以单项式时，末尾那一项最容易漏除：(12-8+4x)÷(4x)的商有三项，第三项是1不是0。只在被除式里出现的字母要连同它的指数写进商里，除式里没有它并不代表它会消失。 【题型1】同底数幂的乘法 底数抄下来不动，指数按加法算——认准“同底数”三个字，这一条就用得稳。 例1　运用同底数幂的乘法性质计算：(1) ·；(2) ××(-3)；(3) ·；(4) ·。 【分析】四小题都是同底数幂相乘。(1)(2)的底数一眼可见；(3)的指数含字母，加法照常做；(4)要把整个(x-y)看成一个底数，不要先去展开括号。 【解答】(1) ·＝＝。 (2) 三个因式的底数都是-3，最后那个因式的指数是省略的1，所以原式＝＝＝729。 (3) ·＝＝。 (4) 把x-y看成一个整体，原式＝＝。 【方法小结】动笔前先确认两件事：底数是否完全相同、每个因式的指数各是多少（省略的1要补上）。底数是一个多项式时，整体加括号当一个字母用，千万不要先展开再乘。 题型1　变式：挑出结果相符的式子、由指数相等求字母、连乘与整体代入、底数互为相反数 先在四个式子里挑出结果相符的那一个，再由指数相等列式求字母，接着练一练带负号的连乘与整体代入求值，最后处理两个底数互为相反数的情形。 变式1　计算结果为的运算是（　　）。 A．· B．· C．+ D．·· 变式2　若·＝，则z＝____。 变式3　计算：(1) -·；(2) ··(a+b)。 变式4　已知＝6，＝5，求与的值。 变式5　先把底数统一，再计算：(1) ·；(2) ·。 【题型2】幂的乘方与积的乘方 括号外面还有一个指数，就是幂的乘方，指数相乘；括号里面是几个因式的积，就是积的乘方，每个因式都要乘方。 例1　先判断各用哪一条性质，再计算：(1) ；(2) -；(3) ；(4) 。 【分析】(1)(2)是幂的乘方，指数相乘；(2)的负号在括号外，不参与乘方。(3)(4)是积的乘方，括号里的系数与每一个字母都要分别乘方，(4)的负号在括号里面，要跟着一起乘方。 【解答】(1) 指数相乘得5×3＝15，所以＝。 (2) 负号在括号外面，先算＝，所以原式＝-。 (3) 括号里有三个因式3，，y，分别乘方得＝27，＝，，所以原式＝27。 (4) 括号里的-2也是一个因式，＝16，＝，＝，所以原式＝16。 【方法小结】判断用哪一条性质，只看括号：括号里只有一个幂，用幂的乘方；括号里是几个因式相乘，用积的乘方。系数与负号都算因式，一个都不能漏掉乘方。 题型2　变式：辨认相等的式子、判错改错、混合运算与由等式求指数 先辨认与给定的幂相等的式子，再逐条改正典型错算，最后把两条性质放在同一个式子里混着用。 变式1　与相等的式子是（　　）。 A．· B． C．+ D． 变式2　计算：＝____。 变式3　下面三个计算都有错误，指出各自错在哪里，并写出正确的结果：(1) ＝；(2) ＝a；(3) ＝-4。 变式4　计算：(1) ·；(2) ·(2p)。 变式5　已知·＝，求z的值。 【题型3】幂的运算性质的逆用 把三条性质从右往左读，就能由几个幂的值求出另一个幂的值，也能把不同底数的幂化成同底数再比大小。 例1　已知＝4，＝7，求与的值。 【分析】两个待求的式子都可以拆成已知的幂：指数里的加号对应同底数幂相乘，指数里的倍数对应幂的乘方。 【解答】＝·＝4×7＝28。 第二个式子的指数是3x，它对应：＝＝＝64。 【方法小结】逆用的要领是先把目标式子的指数写成已知指数的和或倍数，再对应地换成乘法或乘方。整个过程不需要求出x与y各是多少。 题型3　变式：用字母表示另一个幂、比较大小、由一个条件求乘方、含两个条件的整体代入 四道题都走同一条路：把不同的幂化成同底数或同指数，再整体代入。比大小的一题要先把三个幂的指数凑成相同的。 变式1　已知＝a，则＝____（用含a的式子表示）。 变式2　把，，这三个数按从小到大的次序排列，正确的是（　　）。 A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 变式3　已知＝9，求的值。 变式4　已知＝3，＝5，求的值。 【题型4】单项式乘单项式 系数归系数，同底数幂归同底数幂，只在一个单项式里出现的字母连同指数照抄进积里。 例1　按单项式乘单项式的法则计算：(1) 4b·(-3a)；(2) ·(5x)；(3) (-6m)·()n。 【分析】(1)直接按法则算；(2)括号外有指数，先算积的乘方再相乘；(3)系数是分数，与整数相乘时先约分再写。 【解答】(1) 系数4×(-3)＝-12，·a＝，b·＝，所以原式＝-12。 (2) 由积的乘方得＝4；把它与5x相乘，系数4×5＝20，·x＝，只在后一个单项式里出现，照抄，得20。 (3) 系数(-6)×()＝-2，m·＝，·n＝，所以原式＝-2。 【方法小结】先定符号，再算系数，最后按字母逐个合并指数，三步分开做。只在一个因式里出现的字母不要漏抄，它在积里原样保留。 题型4　变式：认结果、补全指数、三个单项式连乘、速度与路程的实际问题 从辨认结果开始，接着补全指数，再练三个单项式连乘，最后把法则用到速度与路程的实际问题上。 变式1　的计算结果是（　　）。 A．-6 B．8 C．-8 D．-8 变式2　若3·(-2y)＝-6y，则z＝____。 变式3　计算：(1) 2·(-3ab)·()；(2) ·。 变式4　一列动车每小时行驶3×千米。(1)某次运行连续行驶了4小时，求这次运行的路程，结果写成一个数与10的幂相乘的形式；(2)这列动车一年累计运行了2×小时，按同样的速度，求它一年累计行驶的路程。 【题型5】单项式乘多项式 用括号外的单项式去乘括号里的每一项，多项式里有几项，积里就该有几项。 例1　把括号展开，再把结果写成最简形式：(1) -2x(3-4x+1)；(2) ()ab(4a-6b+2)；(3) (2m-n)·。 【分析】(1)(2)直接用法则逐项相乘，特别留意负号与常数项；(3)括号外先有一个乘方，按“先乘方、后乘除”的次序，先把算出来。 【解答】(1) 原式＝(-2x)·3+(-2x)·(-4x)+(-2x)·1＝-6+8-2x。 (2) 原式＝()ab·4a+()ab·(-6b)+()ab·2＝2b-3a+ab。 (3) 先算＝9；把它去乘括号里的两项，得9·2m+9·(-n)＝18-9n。 【方法小结】展开前先数清多项式有几项，展开后再数一次，两次数目相同才算没漏乘。常数项1与2最容易被跳过，它们也要老老实实乘一遍。 题型5　变式：认结果、由展开式补条件、两次展开后合并、化简求值与体积应用 从辨认展开式开始，再由结果反推缺少的条件，接着练两次展开后的合并，最后把法则用到化简求值与仓库容积上。 变式1　把3a(2a-b)展开后得到（　　）。 A．6-b B．6-3ab C．6a-3ab D．5-3ab 变式2　若-3x(x+z)＝-3-6x，则z＝____。 变式3　计算：(1) 2a(a-3)-a(2a+1)；(2) x(-2)+(3-x)。 变式4　先化简，再求值：3x(x-2y)+2y(3x-y)，其中x＝2，y＝-3。 变式5　一间仓库的底面是边长3a m的正方形，高是(2a+5) m。(1)用整式表示这间仓库的容积；(2)若a＝2，这间仓库的容积是多少立方米？ 【题型6】多项式乘多项式 前一个多项式的每一项去乘后一个多项式的每一项，一项都不跳过，乘完再合并同类项。 例1　把下列各式展开并合并同类项：(1) (2a-3)(a+5)；(2) (x-2y)(x+3y)；(3) (n-1)(+n+1)。 【分析】(1)(2)是二项式乘二项式，展开后先得4项；(3)是二项式乘三项式，展开后先得6项。每一项都带着它前面的符号参与相乘。 【解答】(1) 原式＝2a·a+2a·5+(-3)·a+(-3)·5＝2+10a-3a-15＝2+7a-15。 (2) 原式＝x·x+x·3y+(-2y)·x+(-2y)·3y＝+3xy-2xy-6＝+xy-6。 (3) 原式＝++n--n-1＝-1。 【方法小结】按固定次序乘，不要凭印象跳项：先用第一项乘一遍，再用第二项乘一遍。展开后先数项数，二项式乘二项式必有4项，二项式乘三项式必有6项，数目对不上就是漏乘了。 题型6　变式：认展开式、由展开式定系数、两个积相加、找规律与化简求值 先辨认展开式，再由结果反推两个待定的数，接着练两个积相加的合并，最后从三个算式里找出通用的规律。 变式1　(2m+1)(m-3)的展开式是（　　）。 A．2-3 B．2-5m-3 C．2+5m-3 D．2-7m-3 变式2　若(x+p)(x+4)＝+9x+q，则p＝____，q＝____。 变式3　计算：(1) (a+2b)(a-3b)+(2a-b)(a+b)；(2) (x-2)(+2x+4)。 变式4　计算下面三个式子，观察结果的特点，再写出(x+p)(x+q)的展开式：(x+2)(x+5)，(x-3)(x+6)，(x+1)(x-7)。 变式5　先化简，再求值：(2x+1)(x-3)-2x(x-1)，其中x＝-2。 【题型7】平方差公式 两个因式里有一项完全相同、另一项只差一个符号时，用平方差公式一步写出结果。 例1　运用平方差公式计算：(1) (5x+3y)(5x-3y)；(2) (-2a+b)(-2a-b)；(3) 203×197。 【分析】(1)中5x相同、3y只差符号，把5x当a、3y当b；(2)中-2a相同、b只差符号，把-2a当a、b当b；(3)把两个数都凑成200加减一个数的形式。 【解答】(1) 原式＝-＝25-9。 (2) 原式＝-＝4-。这里的-2a整体当a，它的平方是正的。 (3) 原式＝(200+3)(200-3)＝-＝40000-9＝39991。 【方法小结】套公式前先圈出“完全相同的那一项”，它就是a；剩下的那一项是b。代入时a与b都要整体加括号再平方，负号才不会丢。 题型7　变式：挑出能用公式的式子、调整次序后套公式、连用两次公式、简便计算与逆用、补因式凑公式 先挑出能直接用公式的那一个式子，再练把次序调顺后套公式，接着连用两次公式与简便计算，把公式反过来用一次，最后补一个因式把一串乘积凑成公式。 变式1　在下面四个乘式里，能直接套平方差公式的是（　　）。 A．(a+2b)(a+2b) B．(x-3)(3-x) C．(2m+n)(2m-n) D．(p+q)(-p-q) 变式2　计算：(3+2x)(2x-3)＝____。 变式3　计算：(1) (2a-b)(2a+b)(4+)；(2) (m+2n)(m-2n)-(m-3n)(m+n)。 变式4　把每个因数写成同一个数加上或减去另一个数，再用公式算出：(1) 60.5×59.5；(2) 1002×998。 变式5　已知-＝12，x+y＝4，则x-y＝____。 变式6　计算：(2+1)(+1)(+1)(+1)+1。 【题型8】完全平方公式 首平方、尾平方、首尾相乘2倍在中央——中间那一项是这条公式的全部难点。 例1　运用完全平方公式计算：(1) ；(2) ；(3) 。 【分析】先确定谁是a、谁是b，再照“首平方、尾平方、首尾相乘2倍在中央”写出三项。(3)把198写成200减2，套差的平方。 【解答】(1) 把3x当a、2y当b，原式＝+2·3x·2y+＝9+12xy+4。 (2) 把2a当a、5当b，原式＝-2·2a·5+＝4-20a+25。 (3) 原式＝＝-2×200×2+＝40000-800+4＝39204。 【方法小结】展开后一定是三项，首尾两项分别是两个数的平方，前面都是加号，中间项的符号跟着原式中间的符号走。带系数的部分整体加括号再平方，是9而不是3。 题型8　变式：判错、带两个负号的平方、两式相减、整体代入求值、简便计算 先从四个算式里挑出唯一正确的，再练带两个负号的平方，接着把两个公式放在一起用，最后练整体代入与简便计算。 变式1　在下面四个等式里，两边确实相等的是（　　）。 A．＝+ B．＝- C．＝4+4x+1 D．＝-9 变式2　计算：＝____。 变式3　计算：(1) -；(2) +(2a+b)(2a-b)。 变式4　已知a+b＝9，ab＝14，求+与的值。 变式5　把下面两个数各写成一个整十数与1的和或差，再算出它们的平方：(1) ；(2) 。 【题型9】乘法公式的几何背景与实际应用 用图形的面积去解释公式，公式就不再是死记的字母；反过来，公式也能把面积问题一步算完。 例1　如图，一个正方形的边长是a cm，把它的边长增加4 cm，得到一个新的正方形。(1)用整式表示新正方形的面积比原正方形的面积多多少；(2)取a＝6，增加的这部分面积是多少平方厘米？ 【分析】新正方形的边长是a+4，面积是，用它减去原正方形的面积就是增加的部分。从图上看，增加的部分正好是两个长是a、宽是4的长方形与一个边长是4的小正方形。 【解答】(1) 增加的面积＝-＝(+8a+16)-＝8a+16，即增加的面积是(8a+16) cm²。 (2) 当a＝6时，8×6+16＝48+16＝64，即增加的这部分面积是64 cm²。 对照图形也能得到同一个式子：两个长方形的面积各是4a，小正方形的面积是16，合起来是8a+16。 【方法小结】面积问题有两条路：列式子展开，或者按图形分块相加。两条路得到的式子必须相同，这本身就是一次很好的检验。 题型9　变式：长方形面积、由算式找规律、由面积的改变量倒求边长、长宽同时增加 四题分别把两个乘法公式用到长方形的面积、数的算式规律、正方形边长的反求与长宽同时增加的面积变化上。 变式1　一个长方形的长是(2a+3) cm，宽是(2a-3) cm，它的面积是____cm²。 变式2　观察下面两个算式：7×9＝63，比小1；11×13＝143，比小1。(1)设中间的那个数是n，把这个规律用含n的等式写出来；(2)用乘法公式验证这个等式。 变式3　一块正方形花坛的边长减少3 m后，面积比原来减少了51 m²，求原来花坛的边长。 变式4　一块菜地是长方形的，它的宽是x m，长比宽多6 m。把长与宽都增加2 m以后，面积比原来增加了多少？用含x的式子表示。 【题型10】整式的除法与a的0次幂 除法与乘法反着走：系数相除、同底数幂的指数相减；被除式里独有的字母连同指数写进商里。 例1　按整式除法的法则计算：(1) ÷；(2) (-12)÷(4b)；(3) (15-10+5x)÷(5x)；(4) +。 【分析】(1)是同底数幂相除；(2)是单项式除以单项式；(3)是多项式除以单项式，三项都要除；(4)要用到＝1（a≠0）的规定。 【解答】(1) ÷＝＝。 (2) 系数(-12)÷4＝-3，÷＝，÷b＝，所以原式＝-3。 (3) 原式＝15÷(5x)-10÷(5x)+5x÷(5x)＝3-2x+1。 (4) 因为-3不等于0，所以＝1；又＝-8，所以原式＝1-8＝-7。 【方法小结】多项式除以单项式，被除式有几项，商就有几项，末尾那一项除得1不是0，最容易被漏写。0次幂的底数只要不是0，结果一律是1，与底数是正是负无关。 题型10　变式：0次幂的计算、底数的取值、先乘方再相除、由商反求被除式、由被除式与商反求除式 从0次幂的计算与底数的取值开始，再练先乘方后相除的混合运算，接着由商与除式反过来求被除的多项式，最后倒过来求作除式的那个单项式。 变式1　+的值是（　　）。 A．0　　B．1　　C．2　　D．-2 变式2　若＝1成立，则x应满足的条件是____。 变式3　计算：(1) ÷；(2) (6-9)÷(3y)。 变式4　一个多项式除以3a所得的商是2-a+4，求这个多项式。 变式5　已知(6-9)÷M＝2a-3b，其中M是一个单项式，求M。 【题型11】含字母系数的恒等式与规律探究 展开以后让两边对应项的系数相等，含字母的系数就被定了下来；一列形状相同的式子，分部分找规律最省力。 例1　若多项式(+mx-3)(x-1)的展开式中不含的项，求m的值，并写出展开后的结果。 【分析】先把积展开并按x的指数把同类项合并，再让那一项的系数等于0，就能定出m。 【解答】原式＝-+m-mx-3x+3＝+(m-1)-(m+3)x+3。 不含的项，就是它的系数为0，所以m-1＝0，解得m＝1。 把m＝1代回去，展开后的结果是-4x+3。 【方法小结】“不含某一项”翻译成数学语言就是“这一项的系数等于0”。展开后一定要先按指数把同类项合并干净，再去读某一项的系数。 题型11　变式：由不含某项定字母、由恒等式定各项系数、由展开式反求两个数、幂的规律探究 四道题都围绕“两边相等”做文章：或由缺项定字母，或由恒等式定出各项的系数，或由结果反求原来的两个数，最后从一列同形的等式里找出规律再用它算数。 变式1　若(x+3)(x+n)的展开式中不含x的一次项，则n＝____。 变式2　已知＝a+bx+c对任意的x都成立。(1)求a，b，c的值；(2)不求出a，b，c，直接说出a+b+c的值，并说明理由。 变式3　已知(x+a)(x+b)＝-6x+8，且a＞b，求a与b的值。 变式4　观察下面一列等式：+＝；+＝；+＝。(1)按这个规律写出第n个等式，并说明它为什么成立；(2)利用这个规律计算++的值。 　易错专练 本章的失分点集中在四处：两条幂的性质互换、负号有没有参与乘方、乘法公式的中间项、展开与相除时漏掉某一项。下面八题各守一处，做完再逐条对照答案里的错解与错因。 易错1　计算：。 易错2　计算：与。 易错3　计算：·与。 易错4　计算：-2a(3-a+4)。 易错5　计算：。 易错6　计算：(20-15+5x)÷(5x)。 易错7　计算：(m+2)(m-2)。 易错8　计算：-×3。 　课后作业（一）基础巩固 本组十五题覆盖本章的全部基本功：先用八道单项选择核对三条幂的性质与两个乘法公式，再用七道填空练一练整式的乘除与整体代入。选择题把字母写进题后的括号，填空题把结果写在横线上。 1．·等于（　　）。 A．　　B．　　C．2　　D． 2．化简过程没有出错的一项是（　　）。 A．＝ B．·＝ C．＝-8 D．÷＝ 3．若＝9，则n的值是（　　）。 A．3　　B．2　　C．6　　D．9 4．用平方差公式计算(2x-5y)(2x+5y)，结果是（　　）。 A．4+25 B．2-5 C．4-10xy-25 D．4-25 5．÷的商是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D． 6．(x+3)(x-4)展开后等于（　　）。 A．-x-12 B．+x-12 C．-7x-12 D．-x+12 7．若＝4+cxy+9，则c的值是（　　）。 A．12　　B．-6　　C．6　　D．-12 8．若(x+m)(x-5)＝-3x-10，则m的值是（　　）。 A．-2　　B．5　　C．2　　D．-5 9．计算：·＝____。 10．已知＝2，＝3，则＝____。 11．计算：(6-9b)÷(3b)＝____。 12．计算：÷(9b)＝____。 13．已知+＝20，xy＝8，则＝____。 14．计算：(2a-3)(2a+3)-＝____。 15．计算：(a+2)(a-2)-(a-1)(a+3)＝____。 　课后作业（二）能力进阶 进阶的六题都要把两三条法则接起来用：先乘方再乘除、先化简再求值、由指数相等定字母、展开后整体代入、先列式再代入。每一步都要写出依据，不要在心里并步。 16．计算：(1) ·-2；(2) ·(2b)÷(6)。 17．先化简，再求值：-+2ab，其中a＝-2，b＝3。 18．某种商品每件的原价是a元。商店先把价格提高10%，过一段时间又把提价后的价格降低10%。(1)用含a的式子表示两次调价后的价格；(2)两次调价后的价格与原价相比是高了还是低了？相差多少元？ 19．已知÷(4 )＝，求m与n的值。 20．已知-3x＝2，求(x-1)(x-2)的值。 21．一块长方形铁板的面积是(6b-9) cm²，它的宽是3ab cm，求它的长。 　课后作业（三）拓展延伸 压轴的三题分量重一些：前两道要先添括号把三项凑成两项再套公式，最后一道要把三个数的和整体平方，再从展开式里把要求的量分离出来。允许多花些时间，每一步都要写明依据。 22．运用乘法公式计算：(m+3n-2)(m-3n+2)。 23．运用乘法公式计算：。 24．已知a+b+c＝6，ab+ac+bc＝11，求++的值。 　参考答案与解析 　题型1　变式：挑出结果相符的式子、由指数相等求字母、连乘与整体代入、底数互为相反数 变式1　【答案】B 【解析】A的两个指数相加得6，结果是，不合要求。 B的两个指数相加得9，结果正好是，选B。 C是两项相加，不是幂相乘，不能合并；D的三个指数相加得10，结果是。 变式2　【答案】4 【解析】左边是同底数幂相乘，指数相加得2z+z+3，即3z+3。 两边的底数相同、幂也相等，所以指数相等，得3z+3＝15。 解这个方程得z＝4。代回去检验：·＝，与题意相符。 变式3　【答案】(1) -；(2) 【解析】【分析】(1)的负号写在最前面，它不参与指数运算，只跟着结果走；(2)把a+b整体看成一个底数，三个因式的指数依次是3，4，1。 【解答】(1) -·＝-＝-。 (2) 原式＝＝。 【方法小结】式子最前面的负号不是底数的一部分，先把它挪到一边，算完幂再写回来；整体当底数时括号一层都不能少写。 变式4　【答案】的值是30，的值是180 【解析】【分析】题目没有给出a，m，n各是多少，也不需要求出来。把同底数幂的乘法性质反过来读：就是与的积，这样已知条件就能整体代进去。 【解答】＝·＝6×5＝30。 第二个式子的指数里有2m，它对应：＝·＝·＝×5＝36×5＝180。 【方法小结】这类题的关键是把要求的式子拆成已知的幂的乘积：指数里的加号对应乘法，指数里的系数对应乘方。拆完再代入，一步也不用求a。 变式5　【答案】(1) -；(2) 【解析】【分析】同底数幂相乘的前提是底数完全相同。(1)两个因式的底数都是-a，可以直接相乘，再把结果里的化成-；(2)两个底数x-y与y-x互为相反数，先把化成，底数就统一了。 【解答】(1) ·＝＝。指数5是奇数，所以＝-。 (2) 因为y-x＝-(x-y)，所以＝＝。 于是原式＝·＝＝。 【方法小结】底数互为相反数时，先把其中一个整体提出负号：偶次方的负号可以去掉，奇次方要把负号留在式子外面。底数统一之后再按指数相加合并。 　题型2　变式：辨认相等的式子、判错改错、混合运算与由等式求指数 变式1　【答案】B 【解析】A是同底数幂相乘，指数相加得8。 B是幂的乘方，指数相乘得12，与相等，选B。 C是两项相加，合并不了；D的指数相乘得10。 变式2　【答案】-8 【解析】括号里有三个因式：-2，，，把它们分别乘方。 由＝-8，＝，＝。 把三个结果相乘，得-8。 变式3　【答案】(1)把指数相乘错做成相加，正确结果是；(2)漏了对因式a乘方，正确结果是；(3)负号没有参与乘方，正确结果是4 【解析】【分析】三题各对着一个典型错处：混用两条性质、漏掉一个因式、丢掉负号的平方。逐题先认清属于哪一条性质，再照法则重算一遍。 【解答】(1) 括号外还有指数，属于幂的乘方，指数应当相乘：5×2＝10，所以＝。原解把指数相加了。 (2) 括号里是a与两个因式的积，两个都要乘方：＝·＝。原解只对乘了方。 (3) 括号里的因式是-2与a，＝4，所以＝4。原解把负号留在了乘方之外。 【方法小结】改错题按三步走：先看括号定性质，再把括号里的因式一个一个点出来，最后逐个乘方。负号只要写在括号里面，就是因式的一部分。 变式4　【答案】(1) ；(2) 18 【解析】【分析】两小题都是先乘方、后乘除。(1)先各自算幂的乘方，再按同底数幂相乘合并指数；(2)先算积的乘方，再按单项式乘单项式算。 【解答】(1) 先算两处乘方，得·；把指数相加，得＝。 (2) 由积的乘方得＝9；把它与2p相乘，系数9×2＝18，·p＝，·＝，所以原式＝18。 【方法小结】混合运算的次序与数的运算一样：先乘方，再乘除。把每一步的中间结果写在纸上，不要在心里并两步，指数相加与相乘最容易在跳步时互换。 变式5　【答案】z的值是4 【解析】【分析】左边先算幂的乘方得，再与相乘得。两边底数相同、幂相等，指数就相等。 【解答】左边＝·＝·＝。 由＝得2z+5＝13，解得z＝4。 代回检验：·＝·＝，与题意相符。 【方法小结】遇到指数里含字母的等式，先把左边整理成一个幂，再让两边的指数相等列出方程。整理时两条性质的次序不能颠倒：先乘方，后相乘。 　题型3　变式：用字母表示另一个幂、比较大小、由一个条件求乘方、含两个条件的整体代入 变式1　【答案】 【解析】先把8写成同底数的幂：8＝。 于是＝＝。 把＝a整体代入，得＝。 变式2　【答案】C 【解析】三个数的指数不同，但30，20，10有公有的因数10，可以把指数都凑成10的倍数再比较。 ＝＝，＝＝，的指数本来就是10。 底数都是正数且指数相同，底数越大幂越大，由6＜8＜9得＜＜，选C。 变式3　【答案】729 【解析】【分析】把要求的式子的指数6a写成2a的3倍，就能整体代入。 【解答】＝＝。 把＝9代入，得原式＝＝729。 【方法小结】先用幂的乘方把要求的式子化成一个幂，再看这个幂的指数是已知指数的几倍，凑好倍数就能一次代完。 变式4　【答案】675 【解析】【分析】指数3m+2n可以拆成3m与2n的和，对应两个幂相乘；3m与2n又分别是m与n的3倍与2倍，对应两次乘方。 【解答】＝·＝·。 把＝3与＝5代入，得原式＝×＝27×25＝675。 【方法小结】拆指数的次序固定：先按加号拆成几个幂相乘，再把每个幂的指数按倍数还原成乘方。拆完对照一遍，保证指数合起来仍是原来的式子。 　题型4　变式：认结果、补全指数、三个单项式连乘、速度与路程的实际问题 变式1　【答案】D 【解析】括号里有三个因式-2，，b，都要乘方。 由＝-8，＝，照写，所以结果是-8，选D。 A把系数的乘方错算成了相乘，B丢了负号，C把a的指数算成了相加。 变式2　【答案】5 【解析】左边的系数是3×(-2)＝-6，与右边一致。 左边x的指数是z+4，右边x的指数是9，所以z+4＝9。 由此解得z＝5。 变式3　【答案】(1) -；(2) 8 【解析】【分析】(1)三个单项式连乘，法则照样适用，先把三个系数一并算出来；(2)两处括号外都有指数，先各自算积的乘方，再按单项式乘单项式合并。 【解答】(1) 系数2×(-3)×()＝-1，·a＝，b·＝，所以原式＝-。 (2) 先算两处乘方：＝，＝8。 把它们相乘，系数1×8＝8，·＝，·＝，所以原式＝8。 【方法小结】连乘时把系数集中在一处算完，再逐个字母合并指数，可以少写很多中间式子。系数算出1或-1时，1不写出来，只留符号。 变式4　【答案】(1)这次运行的路程是1.2×千米；(2)一年累计行驶的路程是6×千米 【解析】【分析】路程等于速度乘时间。(1)是一个带幂的数与一个整数相乘；(2)是两个带幂的数相乘，按单项式乘单项式的法则，系数相乘、同底数幂相乘。 【解答】(1) 路程＝(3×)×4＝12×＝1.2×，即这次运行的路程是1.2×千米。 (2) 路程＝(3×)×(2×)＝(3×2)×(×)＝6×，即一年累计行驶的路程是6×千米。 【方法小结】带幂的数相乘，把数字因数与幂各自归堆，正是单项式乘单项式法则的原型。算完再看一眼数字因数：它要写成大于等于1且小于10的数，12×还得再调成1.2×。 　题型5　变式：认结果、由展开式补条件、两次展开后合并、化简求值与体积应用 变式1　【答案】B 【解析】用3a分别去乘括号里的两项。 3a·2a＝6，3a·(-b)＝-3ab，所以结果是6-3ab，选B。 A漏乘了第二项，C把第一项的字母指数算错了，D把系数相乘算成了相加。 变式2　【答案】2 【解析】把左边展开，得-3x·x+(-3x)·z＝-3-3xz。 与右边比较，含x的那一项的系数应当相等，所以-3z＝-6。 由此解得z＝2。 变式3　【答案】(1) -7a；(2) 3-2x 【解析】【分析】两小题都要先各自展开，再把同类项合并。展开时括号前的符号要先分配好，第二个括号前是减号的，展开后每一项都要变号。 【解答】(1) 原式＝2-6a-(2+a)＝2-6a-2-a＝-7a。 (2) 原式＝-2x+3-＝3-2x。 【方法小结】先展开、再合并，两步不要混在一起。第二个积前面是减号时，先把整个积用括号括起来，去括号时再逐项变号，这样最不容易丢符号。 变式4　【答案】化简的结果是3-2，当x＝2，y＝-3时它的值是-6 【解析】【分析】先把两个积分别展开，再合并同类项，化到最简之后才代入数值，这样比直接代入省很多步。 【解答】原式＝3-6xy+6xy-2＝3-2。 把x＝2，y＝-3代入，得3×-2×＝12-18＝-6。 【方法小结】含xy的两项一正一负正好抵消，这提示化简到位后式子会比原来短得多。代入负数时括号必须写出来，与-差一个符号。 变式5　【答案】(1)容积是(18+45) m³；(2)当a＝2时容积是324 m³ 【解析】【分析】长方体的容积等于底面积乘高。底面是正方形，面积是；再用这个单项式去乘高这个多项式。 【解答】(1) 底面积＝＝9（单位：m²）。容积＝9(2a+5)＝18+45，即容积是(18+45) m³。 (2) 当a＝2时，18×+45×＝144+180＝324，即这间仓库的容积是324 m³。 【方法小结】实际问题先把每一个量写成整式，再按公式列式，最后化简。底面积要先算乘方再去乘高，次序颠倒就会漏掉平方。 　题型6　变式：认展开式、由展开式定系数、两个积相加、找规律与化简求值 变式1　【答案】B 【解析】展开后先得4项：2m·m，2m·(-3)，1·m，1×(-3)。 即2-6m+m-3，合并中间两项得2-5m-3，选B。 A漏掉了含m的两项，C把中间项的符号搞反了，D把两个中间项相加算成了相减。 变式2　【答案】5；20 【解析】把左边展开，得+4x+px+4p，即+(p+4)x+4p。 两边含x的项的系数相等，所以p+4＝9，解得p＝5。 两边的常数项相等，所以q＝4p＝4×5＝20。 变式3　【答案】(1) 3-7；(2) -8 【解析】【分析】(1)两个积先各自展开，再把所有同类项合在一起；(2)二项式乘三项式，展开后有6项，其中4项两两抵消。 【解答】(1) 前一个积＝-3ab+2ab-6＝-ab-6；后一个积＝2+2ab-ab-＝2+ab-。 两式相加，含ab的两项互为相反数，得3-7。 (2) 原式＝+2+4x-2-4x-8＝-8。 【方法小结】两个积相加时，先把每个积单独化到最简，再纵向对齐同类项相加，比一口气展开八项再找同类项清楚得多。 变式4　【答案】三个结果依次是+7x+10，+3x-18，-6x-7；(x+p)(x+q)＝+(p+q)x+pq 【解析】【分析】三个式子的形状相同，都是x加一个数乘x加另一个数。把三个结果并排写出来，再看一次项系数与常数项各自跟两个数有什么关系。 【解答】(x+2)(x+5)＝+5x+2x+10＝+7x+10；(x-3)(x+6)＝+6x-3x-18＝+3x-18；(x+1)(x-7)＝-7x+x-7＝-6x-7。 对照三行结果：一次项的系数依次是7，3，-6，正好是两个数的和；常数项依次是10，-18，-7，正好是两个数的积。 所以(x+p)(x+q)＝+(p+q)x+pq。 【方法小结】找规律要分部分看：二次项、一次项、常数项各自与已知的数对照。写出通式后用其中一个式子回代检验，对得上才算找准。 变式5　【答案】化简的结果是-3x-3，当x＝-2时它的值是3 【解析】【分析】前一个是多项式乘多项式，后一个是单项式乘多项式，各自展开后再合并。减号后面的积要整体加括号。 【解答】原式＝(2-6x+x-3)-(2-2x)＝2-5x-3-2+2x＝-3x-3。 把x＝-2代入，得-3×(-2)-3＝6-3＝3。 【方法小结】二次项在化简后全部抵消，说明这类题最后往往只剩一次式，代入就很省力。去括号时括号前是减号，括号里每一项都要变号。 　题型7　变式：挑出能用公式的式子、调整次序后套公式、连用两次公式、简便计算与逆用、补因式凑公式 变式1　【答案】C 【解析】A的两个因式完全相同，属于完全平方，不是平方差。 B的两个因式互为相反数的形式，展开后是一个完全平方的相反数；D的两个因式也互为相反数，都不符合“一项相同、另一项相反”。 C中2m完全相同、n只差一个符号，正合平方差公式的结构，选C。 变式2　【答案】4-9 【解析】先把前一个因式按次序写成2x+3，原式就成了(2x+3)(2x-3)。 这时2x相同、3只差符号，把2x当a、3当b。 所以原式＝-＝4-9。 变式3　【答案】(1) 16-；(2) 2mn- 【解析】【分析】(1)前两个因式先用一次公式，所得的结果与第三个因式又正好构成平方差；(2)前一个积用公式，后一个积按多项式乘多项式展开，注意它前面是减号。 【解答】(1) 原式＝(4-)(4+)＝-＝16-。 (2) 前一个积＝-4；后一个积＝+mn-3mn-3＝-2mn-3。 两式相减，得-4-+2mn+3＝2mn-。 【方法小结】三个因式相乘时，先找出能凑成平方差的一对，算出结果再看能不能继续用公式。减号后面的积一定先单独化简、再整体变号。 变式4　【答案】(1) 3599.75；(2) 999996 【解析】【分析】两个因数与同一个整数分别差一样多时，就可以把它们写成一个数的和与差，再用平方差公式。(1)两个因数都在60附近；(2)两个因数都在1000附近。 【解答】(1) 原式＝(60+0.5)(60-0.5)＝-＝3600-0.25＝3599.75。 (2) 原式＝(1000+2)(1000-2)＝1-＝1000000-4＝999996。 【方法小结】找中间数的办法是把两个因数相加再除以2。凑好以后先写出公式的形式再算，直接口算平方差反而容易出错。 变式5　【答案】3 【解析】左边的-正是两个数的平方差，按公式可以写成(x+y)(x-y)。 把x+y＝4代入，得4(x-y)＝12。 两边同时除以4，得x-y＝3。 变式6　【答案】结果是65536 【解析】【分析】四个因式的形式很像平方差公式展开后的一半，只差一个“和的搭档”。2-1＝1，乘上它不改变大小，却能让第一对因式凑成平方差，此后每算一次又出现新的一对。 【解答】因为2-1＝1，所以原式＝(2-1)(2+1)(+1)(+1)(+1)+1。 先算前两个因式：(2-1)(2+1)＝-1；再与+1相乘，得(-1)(+1)＝-1。 继续：(-1)(+1)＝-1；(-1)(+1)＝-1。 所以原式＝-1+1＝＝65536。 【方法小结】一串形如“底数相同、指数逐次翻倍”的因式相乘，先补上一个差的因式把第一对凑成平方差，之后每乘一次公式就用一次。补进去的因式必须等于1，否则会改变原来的大小。 　题型8　变式：判错、带两个负号的平方、两式相减、整体代入求值、简便计算 变式1　【答案】C 【解析】A漏掉了中间项2ab，B把差的平方错当成了平方差。 C中把2x当a、1当b，展开得4+4x+1，三项齐全且符号正确，选C。 D把错算成了平方差的结果，中间项-6x不见了。 变式2　【答案】4+12mn+9 【解析】括号里两项都带负号，先把负号整体提出来：＝＝。 把2m当a、3n当b，得+2·2m·3n+。 所以原式＝4+12mn+9。 变式3　【答案】(1) 12xy；(2) 8-4ab 【解析】【分析】(1)两个完全平方展开后首尾两项相同，相减时正好抵消；(2)前一项用完全平方公式，后一项用平方差公式，展开后再合并。 【解答】(1) 原式＝(+6xy+9)-(-6xy+9)＝+6xy+9-+6xy-9＝12xy。 (2) 原式＝(4-4ab+)+(4-)＝4-4ab++4-＝8-4ab。 【方法小结】两个式子相减时，先把减号后面的展开式整体括起来，再逐项变号。一个式子里同时出现两条公式时，先分别展开、后合并，不要交叉套用。 变式4　【答案】+的值是53，的值是25 【解析】【分析】把完全平方公式反过来用：展开后是+再加上2ab，所以+＝-2ab；同理＝+-2ab。 【解答】+＝-2ab＝-2×14＝81-28＝53。 把第一问的结果接着用：＝+-2ab＝53-28＝25。 【方法小结】这类题的三个量a+b，ab，+之间只隔着一个2ab，知道其中两个就能求第三个。求也可以直接用-4ab，两条路结果相同。 变式5　【答案】(1) 6241；(2) 1681 【解析】【分析】把每个数写成一个整十数与1的和或差，再套公式。79接近80，41接近40。 【解答】(1) 原式＝＝-2×80×1+＝6400-160+1＝6241。 (2) 原式＝＝+2×40×1+＝1600+80+1＝1681。 【方法小结】凑整十数是这类简便计算的关键：比整十数小就用差的平方，比整十数大就用和的平方。三项都算出来再相加减，不要口算并步。 　题型9　变式：长方形面积、由算式找规律、由面积的改变量倒求边长、长宽同时增加 变式1　【答案】4-9 【解析】长方形的面积等于长乘宽，即(2a+3)(2a-3)。 两个因式里2a相同、3只差一个符号，正合平方差公式。 所以面积＝-＝4-9，单位是cm²。 变式2　【答案】(1)规律写成等式是(n-1)(n+1)＝-1；(2)验证见解析 【解析】【分析】两个算式里相乘的两个数，都与中间那个数相差1：一个比它小1，一个比它大1。把中间的数记作n，两个因数就是n-1与n+1。 【解答】(1) 相乘的两个数分别是n-1与n+1，它们的积比小1，所以规律写成等式是(n-1)(n+1)＝-1。 (2) 左边的两个因式里n相同、1只差一个符号，正合平方差公式，所以(n-1)(n+1)＝-＝-1，与右边相同，等式成立。 把n＝8代回去核对：7×9＝63，-1＝63，两者相同。 【方法小结】找这类规律先确定“中间的那个数”，再把参与运算的数都用它表示出来。写出等式后必须用公式验证一遍，光凭几个例子还算不上证明。 变式3　【答案】原来花坛的边长是10 m 【解析】【分析】设原来花坛的边长是x m，则新正方形的边长是(x-3) m。面积的减少量等于原面积减去新面积，把它写成关于x的式子，再让它等于51。 【解答】设原来花坛的边长是x m。由题意得-＝51。 把左边展开并化简：-(-6x+9)＝6x-9，于是6x-9＝51，解得x＝10。 回代检验：原面积是100 m²，新边长是7 m、面积是49 m²，减少了51 m²，与题意相符。所以原来花坛的边长是10 m。 【方法小结】由面积的改变量倒求边长，先设边长、再把改变量写成整式，展开后二次项通常会抵消，剩下的是一元一次方程。求出结果一定回代检验。 变式4　【答案】面积比原来增加了(4x+16) m² 【解析】【分析】先把原来的长与宽写出来，再把增加后的长与宽写出来，两个面积相减就是增加的部分。 【解答】原来的宽是x m，长是(x+6) m，面积是x(x+6)＝+6x（单位：m²）。 增加后的宽是(x+2) m，长是(x+8) m，面积是(x+2)(x+8)＝+10x+16（单位：m²）。 两个面积相减，得(+10x+16)-(+6x)＝4x+16，即面积比原来增加了(4x+16) m²。 【方法小结】“都增加同一个长度”要分别加到长与宽上，长比宽多的那一部分保持不变。两个面积相减时先各自展开、再整体加括号变号。 　题型10　变式：0次幂的计算、底数的取值、先乘方再相除、由商反求被除式、由被除式与商反求除式 变式1　【答案】C 【解析】-2不等于0，所以＝1；3也不等于0，所以＝1。 两个1相加得2，选C。 容易错的地方是把当成-1，或者把0次幂当成0。 变式2　【答案】x≠2 【解析】规定＝1的前提是底数a不等于0。 这里的底数是x-2，所以要求x-2≠0。 由此得x≠2。 变式3　【答案】(1) ；(2) 2xy-3 【解析】【分析】(1)先各自算幂的乘方，再按同底数幂相除让指数相减；(2)多项式除以单项式，逐项相除后把商相加。 【解答】(1) 先算两处乘方得÷，再让指数相减，得＝。 (2) 原式＝6÷(3y)-9÷(3y)＝2xy-3。 【方法小结】混合运算仍是先乘方、后乘除。逐项相除时，除式里的每一个字母都要在被除式的这一项里找到对应的幂，指数相减后为0的字母就不再出现在商里。 变式4　【答案】这个多项式是6-3+12a 【解析】【分析】除法与乘法互为逆运算：被除式等于商与除式的积。于是问题化成一道单项式乘多项式的题。 【解答】这个多项式＝3a(2-a+4)＝3a·2+3a·(-a)+3a·4＝6-3+12a。 检验一次：(6-3+12a)÷(3a)＝2-a+4，与题中的商一致。 【方法小结】凡是“已知商与除式求被除式”，一律用商乘除式；算完再除回去检验一遍，是这类题最稳妥的收尾。 变式5　【答案】M是3 【解析】【分析】被除式等于商与除式的积，所以M乘(2a-3b)应当等于6-9。商是两项，M是单项式，先用商的第一项与被除式的第一项对上，定出M，再用第二项检验。 【解答】设M乘2a得6，由单项式乘单项式的法则，M的系数是6÷2＝3，a的指数是3-1＝2，b的指数是2，所以M＝3。 检验第二项：3·(-3b)＝-9，与被除式的第二项一致。 再整体检验一次：3(2a-3b)＝6-9，与被除式完全相同，所以M＝3。 如果只用第一项定出M就收笔，万一被除式的第二项与它对不上就发现不了；用第二项再乘一次，等于给自己加了一道独立的检验。 【方法小结】“已知被除式与商求除式”不要去做多项式除以多项式，那超出了本章的范围。按首项定出单项式，再逐项乘回去检验，两步就够。 　题型11　变式：由不含某项定字母、由恒等式定各项系数、由展开式反求两个数、幂的规律探究 变式1　【答案】-3 【解析】把积展开，得+nx+3x+3n＝+(n+3)x+3n。 不含x的一次项，说明它的系数为0，所以n+3＝0。 由此得n＝-3。 变式2　【答案】(1)a的值是4，b的值是-4，c的值是1；(2)a+b+c的值是1 【解析】【分析】“对任意的x都成立”说明等号两边是同一个多项式，把左边展开后，两边同次项的系数必须分别相等。第(2)问不必先求系数：既然对任意的x都成立，取一个方便的x代进去，两边的值也一定相等。 【解答】(1) 把左边用完全平方公式展开：＝-2·2x·1+＝4-4x+1。 与右边的a+bx+c比较，同次项的系数分别相等，所以a＝4，b＝-4，c＝1。 (2) 取x＝1代入这个恒等式：x＝1时2x-1＝1，所以左边＝＝1；右边＝a+b+c。因此a+b+c＝1。 用第(1)问的结果核对：4+(-4)+1＝1，两种算法一致。 【方法小结】恒等式有两种用法：把两边展开后让同次项的系数分别相等，或者给x取一个方便的值代进去。要求出每个系数就用第一种；只要求系数的和，取x＝1往往一步就够。 变式3　【答案】a的值是-2，b的值是-4 【解析】【分析】先把左边展开成+(a+b)x+ab，再让它与右边对应项的系数相等，得到关于a与b的两个条件。 【解答】左边展开得+(a+b)x+ab，与右边比较得a+b＝-6，ab＝8。 两个数的和是-6、积是8，它们只能是-2与-4。因为a＞b，所以a＝-2，b＝-4。 回代检验：(x-2)(x-4)＝-6x+8，与题意相符。 【方法小结】对应系数相等是这类题的通法。由和与积去凑两个数时，先看积的符号定两数同号还是异号，再从积的因数里挑出和相符的那一对。 变式4　【答案】(1)第n个等式是+＝，理由见解析；(2)++的值是2048 【解析】【分析】每个等式的左边都是两个相同的幂相加，右边的指数正好比左边大1。把第n个等式写出来以后，用“两个相同的数相加等于它的2倍”把左边变形，再按同底数幂的乘法把2与合并，就能说明它成立。 【解答】(1) 第n个等式是+＝（n是正整数）。 理由：左边两个加数相同，所以+＝2×；再按同底数幂的乘法，2×＝·＝，与右边相同，等式成立。 (2) 先用规律把前两项并起来：+＝；再用一次规律：+＝。 也可以先算出每一项：＝512，＝1024，512+512+1024＝2048，结果相同；但指数再大一些时，直接算幂就不现实了，用规律并项才是通法。 而＝2048，所以++的值是2048。 【方法小结】找规律先看每个等式里“变的是什么、不变的是什么”：这里变的只有指数，且右边总比左边大1。写出一般等式后必须用运算性质说明理由，光凭三个例子还算不上证明；反过来用这条规律，可以把连加一步步并成一个幂。 　易错专练 易错1　【答案】+10x+25 【解析】错解示例：原式＝+25。 错因：把和的平方当成了“各自平方再相加”，中间项2ab整项丢失。 正解：把x当a、5当b，原式＝+2·x·5+＝+10x+25。 提醒：完全平方公式展开后一定是三项，写完先数一数，只剩两项就一定漏了中间项。 自查：取x＝1代入，原式得36，化简后的式子也得36，结果才可信。 易错2　【答案】＝-；＝ 【解析】错解示例：两个式子的结果都是。 错因：只看到底数里有负号，没有留意括号外的指数是奇数还是偶数。 正解：＝·＝-；＝·＝。 提醒：负号在括号里面时要跟着一起乘方，指数是奇数结果为负，指数是偶数结果为正。 自查：取a＝1代入，两式分别得-1与1，符号确实不同。 易错3　【答案】·＝；＝ 【解析】错解示例：·＝，＝。 错因：把两条性质用反了——同底数幂相乘是指数相加，幂的乘方才是指数相乘。 正解：·＝＝；的指数相乘得4×3＝12，所以＝。 提醒：判断的着眼点在括号：没有括号、两个幂直接相乘就相加；括号外还有指数就相乘。 自查：把a换成2，左边两式分别得128与4096，正好是与。 易错4　【答案】-6+2-8a 【解析】错解示例：原式＝-6+2+4。 错因：括号外的单项式只乘了前两项，最后的常数项4没有乘，符号也没有变。 正解：原式＝(-2a)·3+(-2a)·(-a)+(-2a)·4＝-6+2-8a。 提醒：括号里有几项，积里就该有几项；展开后先数项数，再逐项核对符号。 自查：取a＝1代入，原式得-2×6＝-12，化简后的式子也得-12。 易错5　【答案】27 【解析】错解示例：原式＝3。 错因：只对两个字母乘了方，把系数3照抄了下来，漏掉了对数字因数的乘方。 正解：括号里有三个因式3，x，，分别乘方得＝27，，＝，所以原式＝27。 提醒：积的乘方里，数字因数与负号都是因式的一部分，一个都不能跳过。 自查：取x＝1，y＝1代入，原式得27，化简后的式子也得27。 易错6　【答案】4-3x+1 【解析】错解示例：原式＝4-3x。 错因：末尾那一项5x除以5x的商是1，被当成了0而漏写。 正解：原式＝20÷(5x)-15÷(5x)+5x÷(5x)＝4-3x+1。 提醒：多项式除以单项式，被除式有几项商就有几项；某一项与除式完全相同时，商是1不是0。 自查：把商乘回除式，(4-3x+1)·5x＝20-15+5x，与被除式一字不差。 易错7　【答案】-4 【解析】错解示例：原式＝-2。 错因：套平方差公式时只把b照抄下来，忘了它也要平方。 正解：把m当a、2当b，原式＝-＝-4。 提醒：公式的结果是两个数的平方差，两处都是平方，写完读一遍“平方减平方”。 自查：取m＝3代入，原式得5×1＝5，化简后的式子也得5。 易错8　【答案】-2 【解析】错解示例：原式＝-1-3＝-4。 错因：把当成了-1，误以为底数是负数、0次幂就带负号。 正解：底数-7不等于0，所以＝1；又＝1，所以原式＝1-1×3＝1-3＝-2。 提醒：只要底数不是0，0次幂一律等于1，与底数的正负、大小都无关；底数是0时没有意义。注意区分与-：前者的底数是-7，结果是1；后者的负号在乘方之外，结果是-1。 自查：按运算次序复核一遍——先算两处乘方，再算乘法，最后算减法。 　课后作业（一）基础巩固 1．【答案】B 【解析】同底数幂相乘，底数不变、指数相加。 3+5＝8，所以结果是，选B。 A把指数相乘了，C多写了一个系数2，D把指数相减了。 2．【答案】C 【解析】A是幂的乘方，指数应当相乘得；B是同底数幂相乘，指数应当相加得。 C中括号里的-2与x都要乘方，＝-8，所以结果是-8，正确，选C。 D是同底数幂相除，指数应当相减得。 3．【答案】A 【解析】左边按积的乘方展开：＝9，＝，＝。 与右边比较，b的指数相等，得2n＝6，解得n＝3，选A。 B照抄了a的内层指数2，C直接把右边b的指数6搬了过来，D把系数9当成了指数。 4．【答案】D 【解析】两个因式里2x相同、5y只差一个符号，把2x当a、5y当b。 所以结果是-＝4-25，选D。 A把减号写成了加号，B漏了系数的平方，C多出了一个中间项。 5．【答案】B 【解析】先算幂的乘方：＝。 再按同底数幂相除让指数相减：6-4＝2，所以结果是，选B。 A把指数相减算成了6-3，C把幂的乘方的指数相乘错做成了相加（2+3＝5），D把3与4这两个指数相乘了。 6．【答案】A 【解析】展开后得-4x+3x-12。 把中间两项合并，得-x-12，选A。 B把中间项的符号搞反了，C把两个中间项相加算成了相减，D把常数项的符号弄错了。 7．【答案】D 【解析】把左边用完全平方公式展开：-2·2x·3y+＝4-12xy+9。 与右边比较，含xy的项的系数相等，所以c＝-12，选D。 A丢了负号，B与C都把中间项的系数算成了一半。 8．【答案】C 【解析】把左边展开，得-5x+mx-5m＝+(m-5)x-5m。 常数项相等，得-5m＝-10，解得m＝2，选C。 也可以用一次项系数核对：m-5＝2-5＝-3，与右边一致。 9．【答案】4 【解析】先算积的乘方：＝4。 再按同底数幂相乘让指数相加：6+4＝10。 所以原式＝4。 10．【答案】6 【解析】指数里的加号对应同底数幂相乘：＝·。 把两个已知的值整体代入。 得＝2×3＝6。 11．【答案】2ab-3 【解析】多项式除以单项式，先把被除式的每一项分别除以3b。 6÷(3b)＝2ab；-9b÷(3b)＝-3。 把两个商相加，得2ab-3。 12．【答案】ab 【解析】先算积的乘方：＝9。 再按单项式除以单项式算：系数9÷9＝1，÷＝a，÷b＝b。 所以原式＝ab。 13．【答案】36 【解析】和的平方展开后是+2xy+。 把+与2xy分别代入：20+2×8＝20+16。 所以＝36。 14．【答案】4a-10 【解析】前一个积用平方差公式，得4-9。 后一个用完全平方公式，得4-4a+1；它前面是减号，去括号时三项都要变号。 所以原式＝4-9-4+4a-1＝4a-10。 两处的4正好抵消，这不是巧合：两个式子的首项都是2a，平方后必然相同，所以这类“平方差减完全平方”的题最后一定只剩一次项与常数项。取a＝1核对：原式＝(-1)×5-1＝-6，4×1-10＝-6，一致。 15．【答案】-2a-1 【解析】前一个积用平方差公式，得-4。 后一个按多项式乘多项式展开，得+3a-a-3＝+2a-3，它前面是减号，去括号时三项都要变号。 所以原式＝-4--2a+3＝-2a-1。 常见错法是把减号后面的+2a-3只变第一项的符号，写成-4-+2a-3＝2a-7；去括号时三项都要变号，写完先把三个符号逐个点一遍。取a＝1核对：原式＝3×(-1)-0×4＝-3，-2×1-1＝-3，一致。 　课后作业（二）能力进阶 16．【答案】(1) -；(2) 3a 【解析】【分析】两小题都按“先乘方、后乘除、最后加减”的次序做。(1)两处乘方算完得到同类项，合并即可；(2)先算积的乘方，再依次做乘法与除法。 【解答】(1) 先算乘方：·＝·＝，＝。 于是原式＝-2＝-。 (2) 由积的乘方得＝9；与2b相乘得18；再除以6，系数18÷6＝3，÷＝a，÷＝。 所以原式＝3a。 两小题各留一个坑：(1)里与2是同类项，合并时系数1-2＝-1，写成-，不要写成0；(2)里如果先算2b÷(6)就会出现系数不是整数的中间结果，按从左往右的次序做可以完全避开。 【方法小结】混合运算的次序与数完全一样。乘除在同一级，要从左往右依次做，不能先算后面的除法。每做完一步就把结果整理成“系数·字母幂”的标准样子，下一步才不会看错指数。 17．【答案】化简的结果是6ab，当a＝-2，b＝3时它的值是-36 【解析】【分析】前两项是两个完全平方相减，展开后首尾各项两两抵消，只剩中间项；再把剩下的2ab并进去。 【解答】原式＝(+2ab+)-(-2ab+)+2ab＝+2ab+-+2ab-+2ab＝6ab。 把a＝-2，b＝3代入，得6×(-2)×3＝-36。 不化简直接代入也能得到同一个结果，但要分四步：＝1，＝25，2ab＝-12，原式＝1-25-12＝-36；步骤更长，负数的平方也更容易算错，所以这类题一律先化简。 【方法小结】和的平方与差的平方相减，结果恒等于4ab，记住这条可以少写两行。减号后面的展开式必须整体加括号，再逐项变号。代入前先把化简结果抄一遍再代数，能挡住“代到一半发现抄错”的常见失分。 18．【答案】(1)两次调价后的价格是0.99a元；(2)比原价低了，相差0.01a元 【解析】【分析】提价10%就是乘(1+0.1)，降价10%就是乘(1-0.1)。两个因式一个是和、一个是差，正好凑成平方差公式。 【解答】(1) 两次调价后的价格＝a(1+0.1)(1-0.1)＝a(-)＝a(1-0.01)＝0.99a，即两次调价后的价格是0.99a元。 (2) 用原价减去调价后的价格：a-0.99a＝0.01a。因为0.01a大于0，所以比原价低了，相差0.01a元。 【方法小结】先提价再降价同一个百分数，最后总比原价低，这正是平方差公式的一个实际解释。列式时先写成两个因式相乘，再套公式，比逐次算小数省事。 19．【答案】m的值是4，n的值是2 【解析】【分析】先把被除式的积的乘方算出来，再按单项式相除的法则把商写成a与b的幂的积，最后让同一个字母的指数与右边分别相等，就得到两个一元一次方程。 【解答】被除式＝＝4。 与除式4相除，系数4÷4＝1，a的指数相减得2m-3，b的指数相减得6-n，所以商＝。 与右边的比较：a的指数相等，得2m-3＝5，解得m＝4；b的指数相等，得6-n＝4，解得n＝2。 检验：÷(4)＝4÷(4)＝，与题意相符。 【方法小结】指数里带字母的除法题，先把商整理成的样子，再按字母一个一个让指数相等。商的系数是1时不写出来，但一定要先核一遍系数确实约成了1。 20．【答案】(x-1)(x-2)的值是4 【解析】【分析】题目没有给出x，也不必去求。先把要求的式子展开并合并同类项，看看能不能凑出已知的-3x，凑出来就整体代入。 【解答】(x-1)(x-2)＝-2x-x+2＝-3x+2。 把-3x＝2整体代入，得原式＝2+2＝4。 【方法小结】“已知一个式子的值求另一个式子的值”，先把待求的式子展开整理成“已知式子＋常数”的样子，再一次代入。整理不到这个样子时，多半是展开或合并出了错，回头检查。 21．【答案】它的长是(2-3ab) cm 【解析】【分析】长方形的面积等于长乘宽，所以长等于面积除以宽，问题化成一道多项式除以单项式的题。 【解答】长＝(6b-9)÷(3ab)＝6b÷(3ab)-9÷(3ab)＝2-3ab，即它的长是(2-3ab) cm。 检验一次：(2-3ab)·3ab＝6b-9，与题中的面积一致。 结果要带单位：长是(2-3ab) cm，面积的单位是cm²、边长的单位是cm，两者相除正好得到cm，单位本身也能帮着核对式子有没有列反。 【方法小结】由面积与一条边求另一条边，一律用除法；算完把商乘回去核对一遍，是最省事的检验办法。 　课后作业（三）拓展延伸 22．【答案】-9+12n-4 【解析】【分析】两个因式里m完全相同，剩下的3n-2与-(3n-2)只差一个符号。把3n-2整体添进括号，就化成了平方差公式的形式。 【解答】原式＝[m+(3n-2)][m-(3n-2)]。这里第二个括号前是负号，括进去的每一项都改变了符号。 套平方差公式，得-。 再把用完全平方公式展开：-2·3n·2+＝9-12n+4。 所以原式＝-(9-12n+4)＝-9+12n-4。 提醒一句：不能把m-3n当成“完全相同的那一部分”，因为两个因式里3n的符号相反、2的符号也相反，一模一样的只有m。分块前先逐项比对两个因式：相同的留在括号外，互为相反数的括进去。 取m＝1，n＝1核对一次：原式＝(1+3-2)(1-3+2)＝2×0＝0，化简后的式子＝1-9+12-4＝0，两者一致。 【方法小结】三项式相乘先找“完全相同的那一部分”留在括号外，把剩下的两项括起来。添括号后可以用去括号法则还原一次，还原得回原式才算添对。最后减去的是一个三项式，去括号时三项都要变号，这里最容易只变第一项。 23．【答案】+4xy+4+2x+4y+1 【解析】【分析】完全平方公式只管两项的平方，所以先把三项分成两块：把x+2y看成一个整体，1单独作另一块。 【解答】原式＝＝+2(x+2y)·1+。 再把展开：+2·x·2y+＝+4xy+4；中间项2(x+2y)＝2x+4y。 所以原式＝+4xy+4+2x+4y+1。 换一种分块验证：把2y+1看成一块，原式＝＝+2x(2y+1)+＝+4xy+2x+4+4y+1，与上面的结果完全相同。 取x＝1，y＝1核对一次：原式＝＝16，展开式＝1+4+4+2+4+1＝16，两者一致。 【方法小结】三项的平方要分两步：先分块套公式，再把块内的平方展开。分块时哪两项抱成一团都可以，结果相同，挑写起来最短的一种。展开后一共六项：三项的平方各一项，两两相乘的2倍各一项，写完先数够六项再合并。 24．【答案】++的值是14 【解析】【分析】三个数的和已经给出，把这个和整体平方，展开式里正好同时出现要求的++与已知的ab+ac+bc，于是两个已知条件都能用上。 【解答】先把和的平方展开：把a+b看成一块、c看成另一块，得＝＝+2(a+b)c+。 继续展开并整理，得＝+++2ab+2ac+2bc，即＝+++2(ab+ac+bc)。 把a+b+c＝6与ab+ac+bc＝11代入，得＝+++2×11，即36＝+++22。 所以++＝36-22＝14。 找一组具体的数核对：取a＝1，b＝2，c＝3，此时a+b+c＝6，ab+ac+bc＝2+3+6＝11，两个已知条件都满足；而++＝1+4+9＝14，与算出的结果一致。 【方法小结】三项的平方要先分块再套公式，展开后共六项：三个平方与三个乘积的2倍。整体代入时先把式子整理成“待求量＋已知量”的样子，代一次就出结果。这类题不要去解出a，b，c各是多少——本章的方法只能把它们成组地用上，单独求值要到以后才学。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教版·八年级上册·第十六章 整式的乘法·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第十六章 整式的乘法 题型精讲（讲义）-2026-2027学年八年级上册数学人教版 人教版（2024年版）八年级数学上册　第十六章　整式的乘法　16.1幂的运算　16.2整式的乘法　16.3乘法公式 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方这三条性质的关系式，会判断一个式子该用哪一条，会把三条性质混在一起的式子按“先乘方、后乘除”的顺序算出来，并会把它们反过来用，由与的值求、这类式子的值。 2．能说出单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式这三条法则，会按法则把积展开并合并同类项；能说出同底数幂的除法法则与＝1（a≠0）的规定，会做单项式除以单项式、多项式除以单项式。 3．能默写平方差公式与完全平方公式，会辨认题目中哪一部分当a、哪一部分当b，会用公式作简便计算与化简求值，会用完全平方公式由a+b与ab求+，会用添括号法则把三项式凑成公式的形式，并能用图形的面积解释两个公式。 学习重难点 重点：三条幂的运算性质的区分与混合运算；单项式乘多项式、多项式乘多项式的展开与合并；平方差公式与完全平方公式的结构辨认；整式的除法与＝1；用公式作简便计算与整体代入求值。 难点：同底数幂相乘是指数相加、幂的乘方是指数相乘，两者在混合运算里极易互换；积的乘方要把系数连同负号一起乘方，的结果是9而不是-9；完全平方公式的中间项2ab最容易整项漏掉；把三项式凑成公式形式时，括号前是负号则括进去的每一项都要改变符号。 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　同底数幂的乘法 本章从超级计算机每秒运算1亿亿次的问题起步：每秒运算次，工作s一共运算多少次，要算的就是×。按乘方的意义把两个幂都展开，16个10与3个10接在一起，一共是19个10，所以积是。把数换成字母，这条一般结论就是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。写成关系式就是·＝，其中m，n都是正整数。这条性质只管两件事：底数原样抄下来，指数按加法算。它对三个或三个以上的同底数幂连乘同样成立。即时小例：·＝＝。教材还在边注里作了约定：本章中若没有特别说明，指数中的字母均为正整数。 关系式：·＝（m，n都是正整数） 读法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加 推广：··＝，三个以上连乘照用 小提示：底数必须一模一样才算同底数：3与-3不是同底数，x与是同底数。单独写出的一个字母，指数是省略的1，算的时候要补回来。指数相加不是指数相乘，这一句要与下一条的幂的乘方对着记。 知识点　02　幂的乘方与积的乘方 把看成一个整体去乘方，按乘方的意义有n个相乘，指数就是n个m相加，于是有了第一条结论：幂的乘方，底数不变，指数相乘。再看两个因式的积去乘方：n个ab相乘，按交换律与结合律把a与b各自归堆，就得到：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。本讲的记法是＝与＝·。即时小例：的指数相乘得3×4＝12，所以＝；＝·＝8。积里有三个或三个以上因式时，积的乘方同样一个因式都不能落下。 幂的乘方：＝（m，n都是正整数） 积的乘方：＝·（n是正整数） 数字因数也是因式：里的2要写成，不能照抄 小提示：-与不是一回事：前者的负号在乘方之外，结果是-；后者的负号跟着底数一起乘方，结果也是-，但把指数换成偶数就分道扬镳了。负号在括号里面时它也要乘方，的结果是9。 知识点　03　单项式乘单项式与单项式乘多项式 计算a·b时，字母表示的是数，可以用乘法交换律、结合律把系数归一堆、同底数幂归一堆，教材称它为单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。再看章引言里的绿地问题，先求边长再求面积得p(a+b+c)，先分块求面积再相加得pa+pb+pc，两个结果表示同一个数量，一般化就是单项式乘多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即时小例：5b·(-2a)＝-10；-3x(2x-5)＝-6+15x。 单×单三件事：系数相乘、同底数幂相乘、独有的字母连同指数照抄 单×多的依据是分配律：单项式要乘遍多项式的每一项 结果里的符号由两个因式的符号共同决定，负负得正 小提示：单项式乘多项式时，多项式里有几项，积里就应当有几项，展开后先数一数项数。系数相乘不要与同底数幂相乘搞混：3·2的系数是3×2＝6，指数是2+3＝5，两处各算各的。 知识点　04　多项式乘多项式 把街心花园的长方形绿地加长又加宽，扩大后的面积既可以写成(a+b)(p+q)，也可以按四个小长方形写成ap+aq+bp+bq。两个式子表示同一块面积，于是有(a+b)(p+q)＝ap+aq+bp+bq。课本把这条法则叫作多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。动手时按固定的次序走：先用前一项去乘后一个多项式的每一项，再用第二项去乘，最后合并同类项。即时小例：(n+5)(n-2)＝-2n+5n-10＝+3n-10。 关系式：(a+b)(p+q)＝ap+aq+bp+bq 展开前先数项数：二项式乘二项式先得4项，合并后通常剩3项 每一项都带着它前面的符号参与相乘 小提示：最容易出错的是符号：减号后面那一项在相乘时要带着负号一起乘。二项式乘三项式先得6项，合并之前不要急着写等号后的最简结果，把6项老老实实写出来再合并。 知识点　05　平方差公式 按多项式乘多项式的法则展开(a+b)(a-b)，中间的-ab与+ab正好抵消，于是有：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，写成关系式就是(a+b)(a-b)＝-。这个公式叫作平方差公式。用公式之前先辨认结构：两个因式里有一项完全相同、另一项只差一个符号，相同的那项当a、只差符号的那项当b。即时小例：(k+9)(k-9)＝-81。如图，边长是a的正方形剪去一个边长是b的小正方形，剩下的部分可以拼成长是a+b、宽是a-b的长方形，面积前后不变。 关系式：(a+b)(a-b)＝- 用公式的前提：两个因式一项相同、另一项互为相反数 小提示：结果是两个平方相减，不是两个数相减：(x+2)(x-2)应当得-4，写成-2就漏了平方。a或b带系数或带负号时整体加括号再平方，把3x当a就写成＝9。 知识点　06　完全平方公式 把写成(a+b)(a+b)再展开，中间出现两个ab，于是有：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。和的平方写成关系式是＝+2ab+，差的平方写成关系式是＝-2ab+，这两个公式叫作完全平方公式。展开的结果一定是三项，首尾两项分别是两个数的平方，只要这两个数都不为0就都是正的；中间项是它们的积的2倍，前面的符号与原式中间的符号一致。如图，边长是a+b的正方形被分成四块：两块正方形的面积是与，两块长方形的面积都是ab，四块合起来正好是+2ab+。即时小例：把p当a、4当b，则＝+2·p·4+＝+8p+16。 和的平方：＝+2ab+ 差的平方：＝-2ab+ 结构口诀：首平方、尾平方、首尾相乘2倍在中央 小提示：最常见的错法是把写成+，中间项整项丢失。把公式反过来用，可以由和与积求平方和：+＝-2ab，也可以由差与积求平方和：+＝+2ab，这两个变形是求值题的常客。 知识点　07　添括号法则 运用乘法公式时，常常要先把三项或四项的式子凑成两项的形式，这就要用到添括号。由去括号法则可以得到a+(b+c)＝a+b+c与a-(b+c)＝a-b-c，把这两个等式反过来读，就得到两个添括号的式子：a+b+c＝a+(b+c)与a-b-c＝a-(b+c)。课本把这条规则命名为添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的每一项都要改变符号。用它把x+2y-3这类三项式改写成x+(2y-3)，就能把三项式相乘化成两个二项式相乘，接着套平方差公式或完全平方公式。即时小例：5x-3y+2＝5x-(3y-2)。 括号前是正号：括进去的各项符号照抄 括号前是负号：括进去的每一项符号全变 用途：把三项式凑成两项，再套乘法公式 小提示：添完括号可以立刻用去括号法则还原一次，还原得回原式才算添对。凑公式时要挑“两个式子里完全相同的那一部分”留在括号外，把剩下的部分括起来，挑错了就凑不成公式。 知识点　08　整式的除法与a的0次幂 计算÷就是求一个式子，使它与的积等于。因为·＝，所以有：同底数幂相除，底数不变，指数相减，写成关系式就是÷＝，其中a≠0，m，n都是正整数，且m＞n。当被除式与除式的指数相等时，按除法的意义商是1，按指数相减又得，两种算法必须一致，于是规定＝1（a≠0），也就是任何不等于0的数的0次幂都等于1。由此再得两条法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。即时小例：(18)÷(6b)＝3。 同底数幂相除：÷＝（a≠0，m＞n） 零次幂：＝1（a≠0），底数是0时没有意义 多项式除以单项式：逐项相除，再把商相加 小提示：多项式除以单项式时，末尾那一项最容易漏除：(12-8+4x)÷(4x)的商有三项，第三项是1不是0。只在被除式里出现的字母要连同它的指数写进商里，除式里没有它并不代表它会消失。 【题型1】同底数幂的乘法 底数抄下来不动，指数按加法算——认准“同底数”三个字，这一条就用得稳。 例1　运用同底数幂的乘法性质计算：(1) ·；(2) ××(-3)；(3) ·；(4) ·。 【分析】四小题都是同底数幂相乘。(1)(2)的底数一眼可见；(3)的指数含字母，加法照常做；(4)要把整个(x-y)看成一个底数，不要先去展开括号。 【解答】(1) ·＝＝。 (2) 三个因式的底数都是-3，最后那个因式的指数是省略的1，所以原式＝＝＝729。 (3) ·＝＝。 (4) 把x-y看成一个整体，原式＝＝。 【方法小结】动笔前先确认两件事：底数是否完全相同、每个因式的指数各是多少（省略的1要补上）。底数是一个多项式时，整体加括号当一个字母用，千万不要先展开再乘。 题型1　变式：挑出结果相符的式子、由指数相等求字母、连乘与整体代入、底数互为相反数 先在四个式子里挑出结果相符的那一个，再由指数相等列式求字母，接着练一练带负号的连乘与整体代入求值，最后处理两个底数互为相反数的情形。 变式1　计算结果为的运算是（　　）。 A．· B．· C．+ D．·· 变式2　若·＝，则z＝____。 变式3　计算：(1) -·；(2) ··(a+b)。 变式4　已知＝6，＝5，求与的值。 变式5　先把底数统一，再计算：(1) ·；(2) ·。 【题型2】幂的乘方与积的乘方 括号外面还有一个指数，就是幂的乘方，指数相乘；括号里面是几个因式的积，就是积的乘方，每个因式都要乘方。 例1　先判断各用哪一条性质，再计算：(1) ；(2) -；(3) ；(4) 。 【分析】(1)(2)是幂的乘方，指数相乘；(2)的负号在括号外，不参与乘方。(3)(4)是积的乘方，括号里的系数与每一个字母都要分别乘方，(4)的负号在括号里面，要跟着一起乘方。 【解答】(1) 指数相乘得5×3＝15，所以＝。 (2) 负号在括号外面，先算＝，所以原式＝-。 (3) 括号里有三个因式3，，y，分别乘方得＝27，＝，，所以原式＝27。 (4) 括号里的-2也是一个因式，＝16，＝，＝，所以原式＝16。 【方法小结】判断用哪一条性质，只看括号：括号里只有一个幂，用幂的乘方；括号里是几个因式相乘，用积的乘方。系数与负号都算因式，一个都不能漏掉乘方。 题型2　变式：辨认相等的式子、判错改错、混合运算与由等式求指数 先辨认与给定的幂相等的式子，再逐条改正典型错算，最后把两条性质放在同一个式子里混着用。 变式1　与相等的式子是（　　）。 A．· B． C．+ D． 变式2　计算：＝____。 变式3　下面三个计算都有错误，指出各自错在哪里，并写出正确的结果：(1) ＝；(2) ＝a；(3) ＝-4。 变式4　计算：(1) ·；(2) ·(2p)。 变式5　已知·＝，求z的值。 【题型3】幂的运算性质的逆用 把三条性质从右往左读，就能由几个幂的值求出另一个幂的值，也能把不同底数的幂化成同底数再比大小。 例1　已知＝4，＝7，求与的值。 【分析】两个待求的式子都可以拆成已知的幂：指数里的加号对应同底数幂相乘，指数里的倍数对应幂的乘方。 【解答】＝·＝4×7＝28。 第二个式子的指数是3x，它对应：＝＝＝64。 【方法小结】逆用的要领是先把目标式子的指数写成已知指数的和或倍数，再对应地换成乘法或乘方。整个过程不需要求出x与y各是多少。 题型3　变式：用字母表示另一个幂、比较大小、由一个条件求乘方、含两个条件的整体代入 四道题都走同一条路：把不同的幂化成同底数或同指数，再整体代入。比大小的一题要先把三个幂的指数凑成相同的。 变式1　已知＝a，则＝____（用含a的式子表示）。 变式2　把，，这三个数按从小到大的次序排列，正确的是（　　）。 A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．＜＜ 变式3　已知＝9，求的值。 变式4　已知＝3，＝5，求的值。 【题型4】单项式乘单项式 系数归系数，同底数幂归同底数幂，只在一个单项式里出现的字母连同指数照抄进积里。 例1　按单项式乘单项式的法则计算：(1) 4b·(-3a)；(2) ·(5x)；(3) (-6m)·()n。 【分析】(1)直接按法则算；(2)括号外有指数，先算积的乘方再相乘；(3)系数是分数，与整数相乘时先约分再写。 【解答】(1) 系数4×(-3)＝-12，·a＝，b·＝，所以原式＝-12。 (2) 由积的乘方得＝4；把它与5x相乘，系数4×5＝20，·x＝，只在后一个单项式里出现，照抄，得20。 (3) 系数(-6)×()＝-2，m·＝，·n＝，所以原式＝-2。 【方法小结】先定符号，再算系数，最后按字母逐个合并指数，三步分开做。只在一个因式里出现的字母不要漏抄，它在积里原样保留。 题型4　变式：认结果、补全指数、三个单项式连乘、速度与路程的实际问题 从辨认结果开始，接着补全指数，再练三个单项式连乘，最后把法则用到速度与路程的实际问题上。 变式1　的计算结果是（　　）。 A．-6 B．8 C．-8 D．-8 变式2　若3·(-2y)＝-6y，则z＝____。 变式3　计算：(1) 2·(-3ab)·()；(2) ·。 变式4　一列动车每小时行驶3×千米。(1)某次运行连续行驶了4小时，求这次运行的路程，结果写成一个数与10的幂相乘的形式；(2)这列动车一年累计运行了2×小时，按同样的速度，求它一年累计行驶的路程。 【题型5】单项式乘多项式 用括号外的单项式去乘括号里的每一项，多项式里有几项，积里就该有几项。 例1　把括号展开，再把结果写成最简形式：(1) -2x(3-4x+1)；(2) ()ab(4a-6b+2)；(3) (2m-n)·。 【分析】(1)(2)直接用法则逐项相乘，特别留意负号与常数项；(3)括号外先有一个乘方，按“先乘方、后乘除”的次序，先把算出来。 【解答】(1) 原式＝(-2x)·3+(-2x)·(-4x)+(-2x)·1＝-6+8-2x。 (2) 原式＝()ab·4a+()ab·(-6b)+()ab·2＝2b-3a+ab。 (3) 先算＝9；把它去乘括号里的两项，得9·2m+9·(-n)＝18-9n。 【方法小结】展开前先数清多项式有几项，展开后再数一次，两次数目相同才算没漏乘。常数项1与2最容易被跳过，它们也要老老实实乘一遍。 题型5　变式：认结果、由展开式补条件、两次展开后合并、化简求值与体积应用 从辨认展开式开始，再由结果反推缺少的条件，接着练两次展开后的合并，最后把法则用到化简求值与仓库容积上。 变式1　把3a(2a-b)展开后得到（　　）。 A．6-b B．6-3ab C．6a-3ab D．5-3ab 变式2　若-3x(x+z)＝-3-6x，则z＝____。 变式3　计算：(1) 2a(a-3)-a(2a+1)；(2) x(-2)+(3-x)。 变式4　先化简，再求值：3x(x-2y)+2y(3x-y)，其中x＝2，y＝-3。 变式5　一间仓库的底面是边长3a m的正方形，高是(2a+5) m。(1)用整式表示这间仓库的容积；(2)若a＝2，这间仓库的容积是多少立方米？ 【题型6】多项式乘多项式 前一个多项式的每一项去乘后一个多项式的每一项，一项都不跳过，乘完再合并同类项。 例1　把下列各式展开并合并同类项：(1) (2a-3)(a+5)；(2) (x-2y)(x+3y)；(3) (n-1)(+n+1)。 【分析】(1)(2)是二项式乘二项式，展开后先得4项；(3)是二项式乘三项式，展开后先得6项。每一项都带着它前面的符号参与相乘。 【解答】(1) 原式＝2a·a+2a·5+(-3)·a+(-3)·5＝2+10a-3a-15＝2+7a-15。 (2) 原式＝x·x+x·3y+(-2y)·x+(-2y)·3y＝+3xy-2xy-6＝+xy-6。 (3) 原式＝++n--n-1＝-1。 【方法小结】按固定次序乘，不要凭印象跳项：先用第一项乘一遍，再用第二项乘一遍。展开后先数项数，二项式乘二项式必有4项，二项式乘三项式必有6项，数目对不上就是漏乘了。 题型6　变式：认展开式、由展开式定系数、两个积相加、找规律与化简求值 先辨认展开式，再由结果反推两个待定的数，接着练两个积相加的合并，最后从三个算式里找出通用的规律。 变式1　(2m+1)(m-3)的展开式是（　　）。 A．2-3 B．2-5m-3 C．2+5m-3 D．2-7m-3 变式2　若(x+p)(x+4)＝+9x+q，则p＝____，q＝____。 变式3　计算：(1) (a+2b)(a-3b)+(2a-b)(a+b)；(2) (x-2)(+2x+4)。 变式4　计算下面三个式子，观察结果的特点，再写出(x+p)(x+q)的展开式：(x+2)(x+5)，(x-3)(x+6)，(x+1)(x-7)。 变式5　先化简，再求值：(2x+1)(x-3)-2x(x-1)，其中x＝-2。 【题型7】平方差公式 两个因式里有一项完全相同、另一项只差一个符号时，用平方差公式一步写出结果。 例1　运用平方差公式计算：(1) (5x+3y)(5x-3y)；(2) (-2a+b)(-2a-b)；(3) 203×197。 【分析】(1)中5x相同、3y只差符号，把5x当a、3y当b；(2)中-2a相同、b只差符号，把-2a当a、b当b；(3)把两个数都凑成200加减一个数的形式。 【解答】(1) 原式＝-＝25-9。 (2) 原式＝-＝4-。这里的-2a整体当a，它的平方是正的。 (3) 原式＝(200+3)(200-3)＝-＝40000-9＝39991。 【方法小结】套公式前先圈出“完全相同的那一项”，它就是a；剩下的那一项是b。代入时a与b都要整体加括号再平方，负号才不会丢。 题型7　变式：挑出能用公式的式子、调整次序后套公式、连用两次公式、简便计算与逆用、补因式凑公式 先挑出能直接用公式的那一个式子，再练把次序调顺后套公式，接着连用两次公式与简便计算，把公式反过来用一次，最后补一个因式把一串乘积凑成公式。 变式1　在下面四个乘式里，能直接套平方差公式的是（　　）。 A．(a+2b)(a+2b) B．(x-3)(3-x) C．(2m+n)(2m-n) D．(p+q)(-p-q) 变式2　计算：(3+2x)(2x-3)＝____。 变式3　计算：(1) (2a-b)(2a+b)(4+)；(2) (m+2n)(m-2n)-(m-3n)(m+n)。 变式4　把每个因数写成同一个数加上或减去另一个数，再用公式算出：(1) 60.5×59.5；(2) 1002×998。 变式5　已知-＝12，x+y＝4，则x-y＝____。 变式6　计算：(2+1)(+1)(+1)(+1)+1。 【题型8】完全平方公式 首平方、尾平方、首尾相乘2倍在中央——中间那一项是这条公式的全部难点。 例1　运用完全平方公式计算：(1) ；(2) ；(3) 。 【分析】先确定谁是a、谁是b，再照“首平方、尾平方、首尾相乘2倍在中央”写出三项。(3)把198写成200减2，套差的平方。 【解答】(1) 把3x当a、2y当b，原式＝+2·3x·2y+＝9+12xy+4。 (2) 把2a当a、5当b，原式＝-2·2a·5+＝4-20a+25。 (3) 原式＝＝-2×200×2+＝40000-800+4＝39204。 【方法小结】展开后一定是三项，首尾两项分别是两个数的平方，前面都是加号，中间项的符号跟着原式中间的符号走。带系数的部分整体加括号再平方，是9而不是3。 题型8　变式：判错、带两个负号的平方、两式相减、整体代入求值、简便计算 先从四个算式里挑出唯一正确的，再练带两个负号的平方，接着把两个公式放在一起用，最后练整体代入与简便计算。 变式1　在下面四个等式里，两边确实相等的是（　　）。 A．＝+ B．＝- C．＝4+4x+1 D．＝-9 变式2　计算：＝____。 变式3　计算：(1) -；(2) +(2a+b)(2a-b)。 变式4　已知a+b＝9，ab＝14，求+与的值。 变式5　把下面两个数各写成一个整十数与1的和或差，再算出它们的平方：(1) ；(2) 。 【题型9】乘法公式的几何背景与实际应用 用图形的面积去解释公式，公式就不再是死记的字母；反过来，公式也能把面积问题一步算完。 例1　如图，一个正方形的边长是a cm，把它的边长增加4 cm，得到一个新的正方形。(1)用整式表示新正方形的面积比原正方形的面积多多少；(2)取a＝6，增加的这部分面积是多少平方厘米？ 【分析】新正方形的边长是a+4，面积是，用它减去原正方形的面积就是增加的部分。从图上看，增加的部分正好是两个长是a、宽是4的长方形与一个边长是4的小正方形。 【解答】(1) 增加的面积＝-＝(+8a+16)-＝8a+16，即增加的面积是(8a+16) cm²。 (2) 当a＝6时，8×6+16＝48+16＝64，即增加的这部分面积是64 cm²。 对照图形也能得到同一个式子：两个长方形的面积各是4a，小正方形的面积是16，合起来是8a+16。 【方法小结】面积问题有两条路：列式子展开，或者按图形分块相加。两条路得到的式子必须相同，这本身就是一次很好的检验。 题型9　变式：长方形面积、由算式找规律、由面积的改变量倒求边长、长宽同时增加 四题分别把两个乘法公式用到长方形的面积、数的算式规律、正方形边长的反求与长宽同时增加的面积变化上。 变式1　一个长方形的长是(2a+3) cm，宽是(2a-3) cm，它的面积是____cm²。 变式2　观察下面两个算式：7×9＝63，比小1；11×13＝143，比小1。(1)设中间的那个数是n，把这个规律用含n的等式写出来；(2)用乘法公式验证这个等式。 变式3　一块正方形花坛的边长减少3 m后，面积比原来减少了51 m²，求原来花坛的边长。 变式4　一块菜地是长方形的，它的宽是x m，长比宽多6 m。把长与宽都增加2 m以后，面积比原来增加了多少？用含x的式子表示。 【题型10】整式的除法与a的0次幂 除法与乘法反着走：系数相除、同底数幂的指数相减；被除式里独有的字母连同指数写进商里。 例1　按整式除法的法则计算：(1) ÷；(2) (-12)÷(4b)；(3) (15-10+5x)÷(5x)；(4) +。 【分析】(1)是同底数幂相除；(2)是单项式除以单项式；(3)是多项式除以单项式，三项都要除；(4)要用到＝1（a≠0）的规定。 【解答】(1) ÷＝＝。 (2) 系数(-12)÷4＝-3，÷＝，÷b＝，所以原式＝-3。 (3) 原式＝15÷(5x)-10÷(5x)+5x÷(5x)＝3-2x+1。 (4) 因为-3不等于0，所以＝1；又＝-8，所以原式＝1-8＝-7。 【方法小结】多项式除以单项式，被除式有几项，商就有几项，末尾那一项除得1不是0，最容易被漏写。0次幂的底数只要不是0，结果一律是1，与底数是正是负无关。 题型10　变式：0次幂的计算、底数的取值、先乘方再相除、由商反求被除式、由被除式与商反求除式 从0次幂的计算与底数的取值开始，再练先乘方后相除的混合运算，接着由商与除式反过来求被除的多项式，最后倒过来求作除式的那个单项式。 变式1　+的值是（　　）。 A．0　　B．1　　C．2　　D．-2 变式2　若＝1成立，则x应满足的条件是____。 变式3　计算：(1) ÷；(2) (6-9)÷(3y)。 变式4　一个多项式除以3a所得的商是2-a+4，求这个多项式。 变式5　已知(6-9)÷M＝2a-3b，其中M是一个单项式，求M。 【题型11】含字母系数的恒等式与规律探究 展开以后让两边对应项的系数相等，含字母的系数就被定了下来；一列形状相同的式子，分部分找规律最省力。 例1　若多项式(+mx-3)(x-1)的展开式中不含的项，求m的值，并写出展开后的结果。 【分析】先把积展开并按x的指数把同类项合并，再让那一项的系数等于0，就能定出m。 【解答】原式＝-+m-mx-3x+3＝+(m-1)-(m+3)x+3。 不含的项，就是它的系数为0，所以m-1＝0，解得m＝1。 把m＝1代回去，展开后的结果是-4x+3。 【方法小结】“不含某一项”翻译成数学语言就是“这一项的系数等于0”。展开后一定要先按指数把同类项合并干净，再去读某一项的系数。 题型11　变式：由不含某项定字母、由恒等式定各项系数、由展开式反求两个数、幂的规律探究 四道题都围绕“两边相等”做文章：或由缺项定字母，或由恒等式定出各项的系数，或由结果反求原来的两个数，最后从一列同形的等式里找出规律再用它算数。 变式1　若(x+3)(x+n)的展开式中不含x的一次项，则n＝____。 变式2　已知＝a+bx+c对任意的x都成立。(1)求a，b，c的值；(2)不求出a，b，c，直接说出a+b+c的值，并说明理由。 变式3　已知(x+a)(x+b)＝-6x+8，且a＞b，求a与b的值。 变式4　观察下面一列等式：+＝；+＝；+＝。(1)按这个规律写出第n个等式，并说明它为什么成立；(2)利用这个规律计算++的值。 　易错专练 本章的失分点集中在四处：两条幂的性质互换、负号有没有参与乘方、乘法公式的中间项、展开与相除时漏掉某一项。下面八题各守一处，做完再逐条对照答案里的错解与错因。 易错1　计算：。 易错2　计算：与。 易错3　计算：·与。 易错4　计算：-2a(3-a+4)。 易错5　计算：。 易错6　计算：(20-15+5x)÷(5x)。 易错7　计算：(m+2)(m-2)。 易错8　计算：-×3。 　课后作业（一）基础巩固 本组十五题覆盖本章的全部基本功：先用八道单项选择核对三条幂的性质与两个乘法公式，再用七道填空练一练整式的乘除与整体代入。选择题把字母写进题后的括号，填空题把结果写在横线上。 1．·等于（　　）。 A．　　B．　　C．2　　D． 2．化简过程没有出错的一项是（　　）。 A．＝ B．·＝ C．＝-8 D．÷＝ 3．若＝9，则n的值是（　　）。 A．3　　B．2　　C．6　　D．9 4．用平方差公式计算(2x-5y)(2x+5y)，结果是（　　）。 A．4+25 B．2-5 C．4-10xy-25 D．4-25 5．÷的商是（　　）。 A．　　B．　　C．　　D． 6．(x+3)(x-4)展开后等于（　　）。 A．-x-12 B．+x-12 C．-7x-12 D．-x+12 7．若＝4+cxy+9，则c的值是（　　）。 A．12　　B．-6　　C．6　　D．-12 8．若(x+m)(x-5)＝-3x-10，则m的值是（　　）。 A．-2　　B．5　　C．2　　D．-5 9．计算：·＝____。 10．已知＝2，＝3，则＝____。 11．计算：(6-9b)÷(3b)＝____。 12．计算：÷(9b)＝____。 13．已知+＝20，xy＝8，则＝____。 14．计算：(2a-3)(2a+3)-＝____。 15．计算：(a+2)(a-2)-(a-1)(a+3)＝____。 　课后作业（二）能力进阶 进阶的六题都要把两三条法则接起来用：先乘方再乘除、先化简再求值、由指数相等定字母、展开后整体代入、先列式再代入。每一步都要写出依据，不要在心里并步。 16．计算：(1) ·-2；(2) ·(2b)÷(6)。 17．先化简，再求值：-+2ab，其中a＝-2，b＝3。 18．某种商品每件的原价是a元。商店先把价格提高10%，过一段时间又把提价后的价格降低10%。(1)用含a的式子表示两次调价后的价格；(2)两次调价后的价格与原价相比是高了还是低了？相差多少元？ 19．已知÷(4 )＝，求m与n的值。 20．已知-3x＝2，求(x-1)(x-2)的值。 21．一块长方形铁板的面积是(6b-9) cm²，它的宽是3ab cm，求它的长。 　课后作业（三）拓展延伸 压轴的三题分量重一些：前两道要先添括号把三项凑成两项再套公式，最后一道要把三个数的和整体平方，再从展开式里把要求的量分离出来。允许多花些时间，每一步都要写明依据。 22．运用乘法公式计算：(m+3n-2)(m-3n+2)。 23．运用乘法公式计算：。 24．已知a+b+c＝6，ab+ac+bc＝11，求++的值。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $