2026-2027学年九年级第一学期数学第一次月考模拟卷（上海专用）

**基本信息** 上海九年级数学月考模拟卷，聚焦相似三角形、函数与向量等核心知识，融合科技（机械臂）、社会热点（垃圾分类）情境，通过分层设问考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|相似三角形判定（如第2题矩形相似）、函数图像分析（第6题抛物线结论）|结合图形辨析考查几何直观| |填空题|12/48|黄金分割（第8题）、旋转性质（第11题）、向量运算（第15题）|设置动态几何问题（如第18题翻折相似）| |解答题|7/78|解直角三角形（20题机械臂）、二次函数应用（23题垃圾分类利润）、综合探究（25题相似与线段关系）|23题以垃圾分类为背景构建利润模型，25题分层设问发展创新意识|

2026-2027学年九年级第一学期数学第一次月考模拟卷 （上海专用）（原卷版） 建议用时：100分钟，满分150分 学生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章，第二章，第三章 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．已知在中，，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2. 下列各组图形中，不一定相似的是　　 A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 3．将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（    ） A.△ABC与△ADE B．△ABD与△AEC C.△ABE与△ACD D.△AEC与△ADC 4．下列命题中，真命题的个数有（   ） 四个角对应相等的两个梯形必定相似； 在与中，如果，，那么与相似 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. 为实数，如果，那么； A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ） A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BEC C．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE 6．对称轴为直线的抛物线，，为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.已知点为等边三角形的重心，为一边上的中点，如果这个等边三角形的边长为2，那么　　． 8.如果点是线段的黄金分割点，那么的值是 　　． 9．已知三边的比为，与它相似的△最小边的长等于12，那么△最大边的长等于　 ． 10．已知抛物线在轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 　　． 11．在中，，是边上的中线（如图）．将绕着点C逆时针旋转，使点A落在线段上的点E处，点B落在点F处，边与边交于点G，那么的长是 ． 12．1．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式 ． 13．已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是 ．（填“”、“”或“”） 14．如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为 ． 15. 计算：___________． 16．如图，点O在四边形的内部，，，，如果，那么的长为 ．（用含字母a的式子表示） 17．在矩形中，点E在上，将沿翻折得到，点B的对应点F恰好落在线段上，线段的延长线交于点G，，则的值为 ． 18．已知矩形中，，E是边上一点，，将沿着所在的直线翻折，点D的对应点为点F，连接并延长交边于点G，连接，如果与相似，那么边的长为 ． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．计算：. 20．中国空间站核心舱上的机械臂，是我国目前智能程度最高，难度最大，系统最复杂的制造系统，大臂“天和机械臂”有两段长的臂杆和7个活动关节，本身自重约吨，最大承载力25吨，相当于普通人的一只胳膊能抬起100公斤重的东西，是当之无愧的“大力士”，如图是处于工作状态的“天和机械臂”示意图，已知，垂足为A，，垂足为点E，米，米，，，，求机械臂的长．（参考数据，，，） 21．已知图1、图2、图3都是的正方形网格图，每个最小的正方形的边长都为1，它的顶点叫做格点． (1)填空：如图1，点A、点B、点C、点D都是格点，连接、并延长交于点O，那么的长为______； (2)尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺．我们规定在正方形网格图中，无刻度的直尺只能用来连接格点作线段． 以下两题请你只能使用无刻度的真尺和铅笔作图（保留作图痕迹）： ①如图2，点A、点B、点C都是格点，作出的重心G； ②如图3，点A、点B、点C、点D都是格点，在边上作出点M，使得与相似． 22．已知：如图，在四边形中，，对角线交于点E，点F在边上，联结交线段于点G，．    (1)求证：； (2)联结，求证：． 23．垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过套时．每套费用元；超过套后，超出的部分折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为元套 (1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？ (2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为/套时，平均每天可售出套；售价每降低元．平均每天可多售出套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？ 24．已知：如图，四边形、都是平行四边形，是边的中点，联结并延长，分别交、于点、． (1)求证：； (2)联结，如果，求证：． 25．综合与实践 问题情境： 数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，D是上一点，．求证． 独立思考： （1）请解答王老师提出的问题． 实践探究： （2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长至点E，使，与的延长线相交于点F，点G，H分别在上，，．在图中找出与相等的线段，并证明．” 问题解决： （3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，若给出中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．” 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级第一学期数学第一次月考模拟卷 （上海专用）（解析版） 建议用时：100分钟，满分150分 学生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题． 2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 测试范围：沪教版（五四制）九年级上册第一章，第二章，第三章 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1．已知在中，，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角函数，勾股定理的计算，根据题意可求出的值，再根据正余弦、正余切值的计算方法即可求解，掌握三角函数值的计算方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∴A、，正确，符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选：． 2. 下列各组图形中，不一定相似的是　　 A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形 C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形 【答案】B 【详解】本题考查了真假命题，由梯形角相等不一定边成比例，即可判断；根据三角形相似判定方法即可判断；根据平面向量基本定理即可判断；当时，不一定为零向量，从而判断真假，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【分析】解：∵梯形四个角对应相等，但对应边不一定成比例， ∴不一定相似，故为假命题； 在与中，如果，，那么与不一定相似，故为假命题； ∵两个不平行向量可以张成整个平面， ∴任意非零向量都可以被分解，故为真命题； ∵当时，，对任意成立， ∴不一定为，故为假命题； 综上，真命题个数为个， 故选：． 3．将两个完全相同的等腰直角三角形△ABC与△AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为△ADE，那么图中一定相似的三角形是（    ） A.△ABC与△ADE B．△ABD与△AEC C.△ABE与△ACD D.△AEC与△ADC 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断． 【详解】∵∠BAD=∠C， ∠B=∠B， ∴△BAC∽△BDA．故A正确． ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴△BFA∽△BEC．故B正确． ∴∠BFA=∠BEC， ∴∠BFD=∠BEA， ∴△BDF∽△BAE．故D正确． 而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误． 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角． 4．下列命题中，真命题的个数有（   ） 四个角对应相等的两个梯形必定相似； 在与中，如果，，那么与相似 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. 为实数，如果，那么； A． 个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】本题考查了真假命题，由梯形角相等不一定边成比例，即可判断；根据三角形相似判定方法即可判断；根据平面向量基本定理即可判断；当时，不一定为零向量，从而判断真假，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【分析】解：∵梯形四个角对应相等，但对应边不一定成比例， ∴不一定相似，故为假命题； 在与中，如果，，那么与不一定相似，故为假命题； ∵两个不平行向量可以张成整个平面， ∴任意非零向量都可以被分解，故为真命题； ∵当时，，对任意成立， ∴不一定为，故为假命题； 综上，真命题个数为个， 故选：． 5．如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ） A．△BAC∽△BDA B．△BFA∽△BEC C．△BDF∽△BEC D．△BDF∽△BAE 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断． 【详解】∵∠BAD=∠C， ∠B=∠B， ∴△BAC∽△BDA．故A正确． ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∴△BFA∽△BEC．故B正确． ∴∠BFA=∠BEC， ∴∠BFD=∠BEA， ∴△BDF∽△BAE．故D正确． 而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误． 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角． 6．对称轴为直线的抛物线，，为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤为任意实数），⑥当时，随的增大而减小．其中结论正确的个数为　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤，根据函数图象即可判断⑥． 【解答】解：①由图象可知：，， 对称轴为直线：， ， ，故①正确； ②抛物线与轴有两个交点， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，则与的函数值相等， 当时，，故③错误； ④当时，， ，故④正确； ⑤当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，随的增大而减小，故⑥正确， 综上，正确的是①②④⑤⑥共5个， 故选：． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7.已知点为等边三角形的重心，为一边上的中点，如果这个等边三角形的边长为2，那么　　． 【答案】 【分析】在中，延长交于点，根据重心的概念得到，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据重心的性质计算，得到答案． 【解答】解：在等边三角形中， 延长交于点， 点是的重心， ． 为等边三角形， ． ． 点是的重心， ． 故答案为：． 8. 如果点是线段的黄金分割点，那么的值是 　　． 【答案】 【分析】利用黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：点是线段的黄金分割点， ， 故答案为：． 9．已知三边的比为，与它相似的△最小边的长等于12，那么△最大边的长等于　 ． 【答案】24 【分析】由于△，因此它们各对应边的比都相等，可据此求出△的最大边的长． 【解答】解：设△的最大边长是， 根据相似三角形的对应边的比相等，可得： ， 解得：， △最大边的长等于24． 故答案为：24． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例． 10．已知抛物线在轴左侧的部分是上升的，那么的取值范围是 　　． 【答案】． 【分析】由抛物线在轴左侧的部分是上升的，可得抛物线开口向下，进而求解． 【解答】解：抛物线在轴左侧的部分是上升的， 抛物线开口向下， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 11．在中，，是边上的中线（如图）．将绕着点C逆时针旋转，使点A落在线段上的点E处，点B落在点F处，边与边交于点G，那么的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质等知识点，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 先证，由锐角三角函数可求的长，由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可得，通过证明可得，可求的长，通过证明，由相似三角形的性质可求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于H，过点D作于N， ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵将绕着点C逆时针旋转， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）已知抛物线顶点位于第三象限内，且其开口向上，请写出一个满足上述特征的抛物线的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的解析式，先写出符合条件的二次函数的顶点式，然后化为一般式解题． 【详解】解：抛物线的表达式为：， 故答案为：．（答案不唯一） 13． 已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点满足其解析式． 先根据二次函数图象上点的坐标特征，分别计算出自变量为和时的函数值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 14．如图，拦水坝的横断面为梯形，其中，迎水坡的坡角，背水坡的坡比为，斜坡长，则背水坡的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形的应用．过点、分别作，，垂足分别为、，可得四边形是矩形，利用勾股定理求出，进而求出，根据坡度的概念求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点、分别作，，垂足分别为、， ∵，，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得，即， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故答案为：8． 15.计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查向量的加减法计算法则，熟记法则是解题的关键．根据向量的计算法则解答． 【详解】解： ． 故答案：． 16．如图，点O在四边形的内部，，，，如果，那么的长为 ．（用含字母a的式子表示） 【答案】 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由，，，得，，，所以，，则，所以，于是问题可求解． 【详解】解：连接， ∵，，， ，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ， 故答案为：． 17． 在矩形中，点E在上，将沿翻折得到，点B的对应点F恰好落在线段上，线段的延长线交于点G，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，正方形的性质是解题的关键．延长交于点H，设，则，再证明，可得，，再根据，可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H， 设，则， ∵四边形矩形， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．已知矩形中，，E是边上一点，，将沿着所在的直线翻折，点D的对应点为点F，连接并延长交边于点G，连接，如果与相似，那么边的长为 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、相似三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想并灵活运用相关知识是解题的关键． 分与和与两种情况，分别根据矩形的性质、折叠问题、勾股定理、相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设，，， 当时， ，， 将沿着所在的直线翻折得到， ，，， 在矩形中，， ，， ，，， 在中根据勾股定理得，解得：， ，， ，即， 当时， ，， ，， ， ， ， ， 在中根据勾股定理得，解得舍去， ∴． 故答案为：9或． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数值的混合运算，熟记各个特殊角度的锐角三角函数值是解题的关键． 先将各个特殊角度的锐角三角函数值化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 20．中国空间站核心舱上的机械臂，是我国目前智能程度最高，难度最大，系统最复杂的制造系统，大臂“天和机械臂”有两段长的臂杆和7个活动关节，本身自重约吨，最大承载力25吨，相当于普通人的一只胳膊能抬起100公斤重的东西，是当之无愧的“大力士”，如图是处于工作状态的“天和机械臂”示意图，已知，垂足为A，，垂足为点E，米，米，，，，求机械臂的长．（参考数据，，，） 【答案】机械臂的长为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，三线合一定理，过点C作于H，过点D作于F，先证明四边形是矩形，得到，则，解得到，由三线合一定理得到，再解即可求出答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于H，过点D作于F， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴机械臂的长为． 21．已知图1、图2、图3都是的正方形网格图，每个最小的正方形的边长都为1，它的顶点叫做格点． (1)填空：如图1，点A、点B、点C、点D都是格点，连接、并延长交于点O，那么的长为______； (2)尺规作图是起源于古希腊的数学课题，在初中阶段的数学学习中我们已经有所了解和掌握，这里所使用的尺是指无刻度的直尺．我们规定在正方形网格图中，无刻度的直尺只能用来连接格点作线段． 以下两题请你只能使用无刻度的真尺和铅笔作图（保留作图痕迹）： ①如图2，点A、点B、点C都是格点，作出的重心G； ②如图3，点A、点B、点C、点D都是格点，在边上作出点M，使得与相似． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，重心的概念与性质； （1）由图形可得，则，代入求值即可； （2）①找到和的中点，再作三角形的中线，交点即为重心G； ②作点与关于对称，连接与的交点即为点M，，，则． 【详解】（1）解：由图形可得，，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：； （2）解：①如图2，的重心G即为所求： ②如图3作点与关于对称，连接与的交点即为点M， 此时，， ∴． 22．已知：如图，在四边形中，，对角线交于点E，点F在边上，联结交线段于点G，．    (1)求证：； (2)联结，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． （1）先根据得出，再由可知，．根据得出，故可得出结论； （2）先根据，得出，故．再由得出，进而可得出结论． 【详解】（1）证明：， ． 又， ． ． ， ． ． （2）证明：，， ． ． 又， ． ． ． 23．垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过套时．每套费用元；超过套后，超出的部分折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为元套 (1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？ (2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为/套时，平均每天可售出套；售价每降低元．平均每天可多售出套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？ 【答案】(1)该超市定制这款垃圾桶套 (2)售价下降元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大 【分析】（1）设该超市定制了这款垃圾桶套，根据题意，列出方程，即可； （2）设售价下降元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为元，根据题意，列出方程，解出方程，即可． 【详解】（1）设该超市定制了这款垃圾桶套， ∵， ∴， ∴， 解得：， 答：该超市定制了这款垃圾桶套． （2）设售价下降元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为元， ∴， ， ∵且， ∴当时，有最大值， 答：售价下降元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大． 【点睛】本题考查一元一次方程和二次函数的知识，解题的关键是掌握一元一次方程和二次函数的运用，根据题意，列出等式． 24．已知：如图，四边形、都是平行四边形，是边的中点，联结并延长，分别交、于点、． (1)求证：； (2)联结，如果，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，则，，再证明，利用相似比得到，同理方法证明，则，所以，然后利用，可得到结论； （2）先利用得到，，则，加上，则可判断，所以，然后利用平行线的性质得到，从而得到结论． 【详解】（1）解：证明：四边形为平行四边形， ，， 是边的中点， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ，， ； （2），， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算．也考查了平行四边形的性质． 25．综合与实践 问题情境： 数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，D是上一点，．求证． 独立思考： （1）请解答王老师提出的问题． 实践探究： （2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，延长至点E，使，与的延长线相交于点F，点G，H分别在上，，．在图中找出与相等的线段，并证明．” 问题解决： （3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当时，若给出中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答．“如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．” 【答案】证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）利用三角形的内角和定理可得答案； （2）如图，在BC上截取 证明 再证明 证明 可得 从而可得结论； （3）如图，在BC上截取 同理可得： 利用勾股定理先求解 证明 可得 可得 证明 可得 而 可得 再利用勾股定理求解BE，即可得到答案． 【详解】证明：（1） 而 （2） 理由如下： 如图，在BC上截取 ， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （3）如图，在BC上截取 同理可得： 而 而 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $