14.2三角形全等的判定 分层训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本同步练习通过A（夯实基础）、B（能力提优）、C（压轴拓展）三层设计，实现从单一判定方法到综合应用再到动态情境拓展的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A（夯实基础）|全等判定方法（SSS、SAS等）、对应关系|直接考查判定依据，尺规作图培养几何直观| |B（能力提优）|判定条件辨析、动点问题|含不能判定全等的选项分析，发展推理意识| |C（压轴拓展）|动态几何情境应用|结合等腰直角三角形旋转，提升创新意识|

八年级数学 · 14.2 三角形全等的判定 · 分层训练 三角形全等的判定 分层训练 · A 夯实基础 第一部分（必做） 一、选择题（共 6 题） 1．一个三角形的三边长分别为5 cm、6 cm、7 cm，下列三角形中一定与它全等的是（ ） A．三边为5，6，7 B．三边为5，6，8 C．三边为5，7，8 D．三边为6，7，8 2．如图，已知AB=AD，且AC为△ABC与△ADC的公共边。若要用“SAS”判定△ABC≌△ADC，还需添加的条件是（ ） A．∠BAC=∠CAD B．BC=DC C．∠B=∠D D．∠BCA=∠DCA 3．如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF，则判定△ABC≌△DEF的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 4．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，BC=EF，则判定两三角形全等的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 5．下列条件不能作为一般三角形全等判定依据的是（ ） A．SSS B．SAS C．AAS D．SSA 6．如图，两组三角形支架中，两根相邻杆的长度分别相等，且它们的夹角均为50°。若AB=DE=40 cm，AC=DF=60 cm，则△ABC≌△DEF的判定依据是（ ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 二、填空题（共 4 题） 7． 若△ABC≌△DFE（对应顶点按字母顺序对应），∠B=72°，AC=8 cm，则∠F=________，DE=________cm。 8．如图，B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。由BE=CF可得BC=________，进而可用________判定△ABC≌△DEF。 9．如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则可用________判定△ABC≌△DEF。 10．用尺规按给定的三条线段长度作三角形时，只要所作三角形的三边分别等于这三条线段，那么所有这样的三角形都全等。其理论依据是________。 三、尺规作图与作图说理（共 2 题） 11．如图，已知∠AOB和射线MN。请用无刻度直尺和圆规作射线MP，使∠NMP=∠AOB。（保留作图痕迹，不写作法） 12．如图，已知△ABC。请过点C用尺规作直线l∥AB（保留作图痕迹），并简要说明所作直线与AB平行的理由。 四、解答题（共 3 题） 13．如图，AC=BD，AD=BC。求证：△ACD≌△BDC，并由此证明∠CAD=∠DBC。 14．如图，AB∥CD，直线AD与BC相交于点O，且AO=DO。求证：△AOB≌△DOC，AB=CD。 15．如图，AC⊥BC于点C，AD⊥BD于点D，且AC=AD。求证：Rt△ACB≌Rt△ADB，并说明∠CAB与∠DAB的数量关系。 B 能力提优 第二部分（必做） 五、选择题（共 4 题） 16．如图，点D在BC上。下列条件中，不能保证△ABD≌△ACD的是（ ） A．AB=AC，BD=CD B．∠BAD=∠CAD，∠B=∠C C．AB=AC，∠B=∠C D．∠ADB=∠ADC=90°，AB=AC 17．如图，AD与BC相交于点O，已知AO=DO。若分别再添加下列一个条件：①BO=CO；②∠A=∠D；③AB=CD；④∠B=∠C。能判定△AOB≌△DOC的条件共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．如图，若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为24 cm，AB=x+2，BC=x+3，AC=x+4，则DF的长为（ ） A．7 cm B．8 cm C．9 cm D．10 cm 19．如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，∠A=∠D。判定△ABC≌△DEF最直接的依据是（ ） A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 六、填空题（共 3 题） 20．如图，若△ABC≌△DEF，AB=8 cm，△ABC中AB边上的高为5 cm，则△DEF的面积为________cm²。 21．如图，在△ABD和△ACD中，AD为公共边，且∠BAD=∠CAD。若要用SAS判定两三角形全等，还需添加AB=________；若要用ASA判定，还需添加∠BDA=________。 22．如图，∠BAC=∠EDF=60°，AC=DF=5 cm，AB=DE=10 cm。点P从A出发沿AB以每秒1 cm的速度运动；点Q同时从E出发沿ED向D以每秒2 cm的速度运动。若要利用SAS判定△APC≌△DQF，则运动时间t=________秒。 七、解答题（共 2 题） 23．如图，为测量障碍物两端A、B之间的距离，在可测区域选点O、C、D，使A、O、C三点共线，B、O、D三点共线，并量得OA=OC，OB=OD，CD=18.6 m。 （1）证明：△AOB≌△COD； （2）求A、B之间的距离。 24．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC并交BC于点D。点E、F分别在AB、AC上，且BE=CF。 （1）证明：AE=AF； （2）证明：△AED≌△AFD，并得到DE与DF的数量关系。 C 压轴拓展 第三部分（选做·附加） 25．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°。直线l经过点A，过点B、C分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E。 （1）图1中，D、A、E依次在直线l上。证明：△BDA≌△AEC，并写出DE、BD、CE之间的数量关系； （2）若图1中BD=4 cm，CE=7 cm，求DE的长； （3）将直线l旋转到图2位置，使D、E位于点A的同一侧。此时DE、BD、CE之间的数量关系发生了怎样的变化？请说明理由。 详细答案与解析 第一部分（必做） 1．答案：A 解析：∵ 已知一个三角形的三边分别为 5 cm，6 cm，7 cm， ∴ 若另一个三角形与它全等，则这个三角形的三条边也必须分别是 5 cm，6 cm，7 cm。 四个选项中，只有 A 项满足三组对应边分别相等。 故选 A。 2．答案：A 解析：由题意，AB＝AD，AC＝AC。若要用 SAS 判定 △ABC≌△ADC，除两组边分别相等外，还必须有这两组边的夹角相等。 ∵ AB 与 AC 的夹角是 ∠BAC，AD 与 AC 的夹角是 ∠DAC， ∴ 只需补充 ∠BAC＝∠CAD。 故选 A。 3．答案：C 解析：已知 ∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝DF。 ∵ 线段 AC 是 ∠A 与 ∠C 的夹边，DF 是 ∠D 与 ∠F 的夹边， ∴ 这是“两角及其夹边分别相等”的情形，判定依据是 ASA。 故选 C。 4．答案：D 解析：∵ ∠C＝∠F＝90°， ∴ △ABC 与 △DEF 都是直角三角形。 又 AB＝DE，BC＝EF， 其中 AB，DE 分别是两直角三角形的斜边，BC，EF 分别是一条对应直角边。 ∴ 可根据“斜边、直角边”判定 Rt△ABC≌Rt△DEF，即 HL。 故选 D。 5．答案：D 解析：一般三角形全等的常用判定方法有 SSS，SAS，ASA，AAS；对于直角三角形还有 HL。 而 SSA（两边和其中一边的对角）在一般情况下不能唯一确定三角形，不能作为全等判定依据。 故选 D。 6．答案：B 解析：由题意得 AB＝DE，AC＝DF，且两边的夹角 ∠BAC＝∠EDF＝50°。 ∵ 两组对应边分别相等，并且夹角相等， ∴ △ABC≌△DEF（SAS）。 故选 B。 7．答案：72°；8 解析：∵ △ABC≌△DFE， ∴ 对应顶点分别是 A↔D，B↔F，C↔E。 ∴ ∠F＝∠B＝72°，DE＝AC＝8 cm。 8．答案：EF；SSS 解析：∵ 点 B，E，C，F 在同一直线上， ∴ BC＝BE＋EC，EF＝EC＋CF。 又 ∵ BE＝CF， ∴ BC＝EF。 再由 AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF， ∴ 三组对应边分别相等， ∴ △ABC≌△DEF（SSS）。 9．答案：AAS 解析：已知 ∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF。 ∵ BC 与 EF 不是上述两组已知角的夹边， ∴ 这属于“两角及其中一角的对边分别相等”的情形，应使用 AAS 判定。 10．答案：SSS 解析：用尺规按给定的三条线段长度作三角形时，所作三角形的三边长度完全确定。 ∵ 任意两个按同样三条线段作出的三角形，三组对应边分别相等， ∴ 这两个三角形全等，其依据是 SSS。 11．答案：作图见图。 解析：作法如下： ① 以点 O 为圆心，取适当长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 C，D； ② 以点 M 为圆心，取与上一步相同的半径画弧，交射线 MN 于点 E； ③ 以点 E 为圆心，CD 的长为半径画弧，与前一弧交于点 P； ④ 连接 MP，则射线 MP 即为所求。 证明：∵ OC＝ME，OD＝MP，CD＝EP， ∴ △OCD≌△MEP（SSS）。 ∴ ∠COD＝∠EMP。 又 ∠COD＝∠AOB，∠EMP＝∠NMP， ∴ ∠AOB＝∠NMP。 12．答案：作图见图。 解析：作法如下： ① 以点 A 为圆心，取适当长为半径画弧，交 AB 于一点，交 AC 于一点； ② 以点 C 为圆心，用相同半径画弧； ③ 截取与前一弧对应的弦长，在点 C 所画的弧上确定一点 D； ④ 连接 C，D，作直线 CD，则直线 CD 即为所求。 证明：∵ 作图可得 ∠ACD＝∠CAB， 而 AC 为截线， ∴ ∠ACD 与 ∠CAB 是内错角。 ∵ 内错角相等， ∴ CD∥AB。 13．答案：△ACD≌△BDC，∠CAD＝∠DBC。 证明：在 △ACD 和 △BDC 中， ∵ AC＝BD，AD＝BC，CD＝DC， ∴ △ACD≌△BDC（SSS）。 ∴ ∠CAD＝∠DBC（全等三角形对应角相等）。 14．答案：△AOB≌△DOC，AB＝CD。 证明：∵ AB∥CD， ∴ ∠BAO＝∠CDO。 又 ∵ ∠AOB＝∠DOC， ∴ ∠AOB＝∠DOC（对顶角相等）。 已知 AO＝DO， ∴ 在 △AOB 和 △DOC 中， ∠BAO＝∠CDO，AO＝DO，∠AOB＝∠DOC， ∴ △AOB≌△DOC（ASA）。 ∴ AB＝CD（全等三角形对应边相等）。 15．答案：Rt△ACB≌Rt△ADB；∠CAB＝∠DAB。 证明：∵ AC⊥BC，AD⊥BD， ∴ ∠ACB＝∠ADB＝90°。 ∴ △ACB 和 △ADB 均为直角三角形。 又 ∵ AB 为公共边，且 AB 是两三角形的斜边，AC＝AD， ∴ Rt△ACB≌Rt△ADB（HL）。 ∴ ∠CAB＝∠DAB（全等三角形对应角相等）。 第二部分（必做） 16．答案：C 解析：逐项分析： A 项：∵ AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD， ∴ △ABD≌△ACD（SSS）。 B 项：∵ ∠BAD＝∠CAD，∠B＝∠C，AD＝AD， ∴ △ABD≌△ACD（AAS）。 C 项：AB＝AC，∠B＝∠C 只说明 △ABC 是等腰三角形，这并不能确定点 D 在 BC 上的位置， ∴ 不能保证 △ABD 与 △ACD 全等。 D 项：∵ ∠ADB＝∠ADC＝90°，AB＝AC，AD＝AD， ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）。 故不能保证全等的是 C。 17．答案：C 解析：已知 AO＝DO，且 ∠AOB＝∠DOC（对顶角）。逐个判断： ① 若 BO＝CO，则有 AO＝DO，BO＝CO，∠AOB＝∠DOC， ∴ △AOB≌△DOC（SAS）。 ② 若 ∠A＝∠D，则有 ∠A＝∠D，AO＝DO，∠AOB＝∠DOC， ∴ △AOB≌△DOC（ASA）。 ③ 若 AB＝CD，再结合 AO＝DO 和 ∠AOB＝∠DOC，属于 SSA 形式， ∴ 不能保证全等。 ④ 若 ∠B＝∠C，则有 ∠B＝∠C，∠AOB＝∠DOC，AO＝DO， ∴ △AOB≌△DOC（AAS）。 因此能判定全等的共有 3 个。故选 C。 18．答案：C 解析：由题意得 (x＋2)＋(x＋3)＋(x＋4)＝24。 解得 3x＋9＝24，x＝5。 ∴ AC＝x＋4＝9（cm）。 ∵ △ABC≌△DEF，且对应关系为 A↔D，B↔E，C↔F， ∴ DF＝AC＝9 cm。 故选 C。 19．答案：C 解析：∵ ∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠D，AB＝DE， ∴ 已知的是两组对应角及其中一角的对边相等。 ∴ 可直接用 AAS 判定 △ABC≌△DEF。 故选 C。 20．答案：20 解析：∵ △ABC≌△DEF， ∴ 两三角形面积相等。 又已知 △ABC 中 AB 边上的高为 5 cm，AB＝8 cm， ∴ S△ABC＝1/2×8×5＝20（cm²）。 ∴ S△DEF＝20 cm²。 21．答案：AC；∠ADC 解析：已知 AD 为公共边，且 ∠BAD＝∠CAD。 （1）若用 SAS 判定，则还需要另一组边对应相等。 ∵ AB 与 AC 分别是夹角两边中的另一边， ∴ 还需 AB＝AC。 （2）若用 ASA 判定，则除公共边 AD 外，还需另一组对应角相等， ∴ 还需 ∠BDA＝∠ADC。 22．答案：10/3 秒 解析：设运动时间为 t 秒。 则 AP＝t，DQ＝DE－EQ＝10－2t。 要利用 SAS 判定 △APC≌△DQF，题中已有 AC＝DF，∠PAC＝∠QDF＝60°， 故还需 AP＝DQ。 ∴ t＝10－2t。 解得 3t＝10，t＝10/3。 又 ∵ 0＜10/3＜5， ∴ 此时点 Q 仍在线段 ED 上，结果符合题意。 23．答案：（1）△AOB≌△COD；（2）AB＝18.6 m。 证明：（1）∵ A，O，C 三点共线，B，O，D 三点共线， ∴ ∠AOB＝∠COD（对顶角相等）。 又 ∵ OA＝OC，OB＝OD， ∴ 在 △AOB 和 △COD 中，OA＝OC，∠AOB＝∠COD，OB＝OD， ∴ △AOB≌△COD（SAS）。 （2）∵ △AOB≌△COD， ∴ AB＝CD（全等三角形对应边相等）。 又 CD＝18.6 m， ∴ AB＝18.6 m。 24．答案：（1）AE＝AF；（2）△AED≌△AFD，DE＝DF。 证明：（1）∵ AB＝AC，BE＝CF， 而 AE＝AB－BE，AF＝AC－CF， ∴ AE＝AF。 （2）∵ AD 平分 ∠BAC， ∴ ∠EAD＝∠DAF。 又 ∵ AD＝AD，AE＝AF， ∴ 在 △AED 和 △AFD 中，AE＝AF，AD＝AD，∠EAD＝∠DAF， ∴ △AED≌△AFD（SAS）。 ∴ DE＝DF（全等三角形对应边相等）。 第三部分（选做·附加） 25．答案：（1）△BDA≌△AEC，DE＝BD＋CE；（2）11 cm；（3）DE＝|BD－CE|。 证明：（1）在图 1 中，∵ BD⊥l，CE⊥l， ∴ ∠BDA＝∠AEC＝90°。 又 ∵ △ABC 为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴ ∠ABC＝∠ACB＝45°。 而 ∠ABD＝90°－∠BAD，∠CAE＝90°－∠EAC，且 ∠BAD＋∠EAC＝∠BAC＝90°， ∴ ∠ABD＝∠CAE。 又 AB＝AC， ∴ 在 △BDA 和 △AEC 中，∠BDA＝∠AEC，AB＝AC，∠ABD＝∠CAE， ∴ △BDA≌△AEC（AAS）。 ∴ AD＝CE，AE＝BD。 又图 1 中 D，A，E 依次在直线 l 上， ∴ DE＝DA＋AE＝CE＋BD。 （2）当 BD＝4 cm，CE＝7 cm 时， ∵ DE＝BD＋CE， ∴ DE＝4＋7＝11（cm）。 （3）在图 2 中，同理可证 △BDA≌△AEC， ∴ AD＝CE，AE＝BD。 此时 D，E 位于点 A 的同一侧， ∴ DE＝|AE－AD|＝|BD－CE|。 学科网（北京）股份有限公司 $