14.2　三角形全等的判定 分层练习 2026-2027学年 数学 人教版 八年级上册

**基本信息** 初中数学“三角形全等的判定（SAS）”新授课同步练，通过A/B/C三层设计实现从基础到拓展的知识巩固，培养抽象能力、推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层·基础夯实|单一SAS判定|2道选择/填空题直接考查判定条件，如已知两边及夹角选全等三角形| |B层·理解运用|SAS与平行线、中点等综合|6道题含中考题与教材变式，如证明题结合角的转化、网格题计算角度差| |C层·拓展挑战|动态探究与辅助线方法|5道题涉及倍长中线、截长补短，探究题分3问培养过程性推理能力|

14.2　三角形全等的判定（第4课时：尺规作图）　分层练习 一、A层·基础夯实（课件中共 1 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：尺规作图）(2026宁夏银川期末)如图，点B在∠DAC的AC边上，用尺规作出了∠EBC=∠DAC。以下是打乱的作图过程，则正确的作图顺序是（　　　　） A. ①②③④　　　　B. ③②④① C. ④①③②　　　　D. ④③①② 二、B层·理解运用（课件中共 5 道题归入本层） 1. [作图题]（知识点：尺规作图）尺规作图：如图，光线CO射到镜面AB上的O点处，反射光线与镜面AB的夹角等于∠AOC，请作出CO经过镜面反射后的光线OD。(保留作图痕迹，不写作法) 解： 2. [填空题]（知识点：尺规作图）(2026北京东城期末)下面是“过直线AB外一点C作直线AB的平行线”的尺规作图方法。上述方法通过判定△FCM≌△GEH得到∠FCD=∠CEB，其中判定△FCM≌△GEH的依据是__________。 3. [作图题]（知识点：尺规作图）如图，点D是△ABC的BC边上一点，请用尺规作图的方法在AC边上求作一点E，连接DE，使得DE∥BA。(保留作图痕迹，不写作法) 解： 4. [作图题]（知识点：尺规作图）如图，在△ABC中，D是AC上一点(CD＞AD)，连接BD，求作△DEF(点E在线段CD上，点F在线段AC的右侧)，使得△DEF≌△DAB(保留作图痕迹，不写作法，标注相应字母)。 解： 5. [填空题]（知识点：尺规作图）(2026山东济宁月考,★★☆)如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC(小于线段BA)长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，DC长为半径画弧交前弧于点F，作射线BF交AC于点H，若∠ABC=72°，AH平分∠FAB，则∠AHB=__________°。 三、C层·拓展挑战（课件中共 1 道题归入本层） 1. [作图题]（知识点：尺规作图）(2026浙江宁波期末,★★☆)如图，已知∠α和线段a，请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图。(不写作法，保留作图痕迹)(1)作△ABC，使得AB等于线段a，∠A=∠α，∠B=2∠α；(2)作△DEF，使得△DEF是一个腰长等于线段a的等腰三角形，且∠D=∠α。 解： 参考答案与解析 一、A层·基础夯实 1. 答案：C 解析：正确的作图顺序为：④以A为圆心，任意长为半径画弧FG，分别交AD，AC于点F，G；①以点B为圆心，AF的长为半径画弧MN，交BC于点N；③以N为圆心，FG的长为半径画弧，交弧MN于点E；②作射线BE，则∠EBC=∠DAC。故选C。 二、B层·理解运用 1. 答案：见解析 解析：如图所示，OD即为所求。(以O为顶点作∠BOD=∠AOC，OD即为反射光线) 2. 答案：SSS 解析：在△FCM和△GEH中，FC=GE，CM=EH，FM=GH，∴△FCM≌△GEH(SSS)。 3. 答案：见解析 解析：如图，在BC的上方作∠CDE=∠B，交AC于点E，则点E即为所求。 4. 答案：见解析 解析：如图所示，在DC上截取DE=DA，延长BD，在BD的延长线上截取DF=DB，连接EF，在△DEF和△DAB中，DE=DA，∠EDF=∠ADB，DF=DB，∴△DEF≌△DAB(SAS)。 5. 答案：36 解析：由作图步骤可知，∠FAB=∠ABC=72°，∴AF∥BC，∴∠FAH=∠AHB，∵AH平分∠FAB，∴∠FAH=∠FAB=36°，∴∠AHB=36°。故答案为36。 三、C层·拓展挑战 1. 答案：见解析 解析：(1)如图1所示，△ABC即为所求作。(2)当△DEF的顶角等于∠α时，如图2所示，△DEF即为所求作；当△DEF的底角等于∠α时，如图3所示，△DEF即为所求作。 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2　三角形全等的判定（第2课时：ASA、AAS）　分层练习 一、A层·基础夯实（课件中共 3 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：三角形全等的判定（ASA））(2026江苏宿迁期中)一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块，他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具。现在只能拿两块去配，其中可以配出符合要求的模具的是（　　　　） A. ①③　　　　B. ②④ C. ①④　　　　D. ③④ 2. [填空题]（知识点：三角形全等的判定（ASA））【学科特色·教材变式】(2026山东淄博期中)如图，已知AD是∠BAC的平分线，要判定△ABD≌△ACD，若以“ASA”为依据，还需添加的条件是__________________。 3. [选择题]（知识点：三角形全等的判定（ASA、AAS））(2026湖南株洲期末)如图，在四边形ABCD中，连接BD，已知AB∥CD，则添加下列条件，还不能证明△ABD≌△CDB的是（　　　　） A. ∠A=∠C　　　　B. AB=CD C. AD∥BC　　　　D. AD=BC 二、B层·理解运用（课件中共 6 道题归入本层） 1. [填空题]（知识点：三角形全等的判定（ASA））(2026浙江杭州期中)如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=EF，FC∥AB，若BD=2，CF=6，则AB=__________。 2. [解答题]（知识点：三角形全等的判定（ASA））(2026浙江台州期末)如图，AB=AC，CD∥AB，点E是AC上一点，且∠ABE=∠CAD，延长BE交AD于点F。(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)若∠ABC=∠ACB=65°，∠ABE=25°，求∠D的度数。 解： 3. [填空题]（知识点：三角形全等的判定（ASA、AAS））(2026江苏常州期中)如图所示的是小明和小红玩跷跷板时的示意图，点O是跷跷板AB的中点，支柱OE与地面垂直，且OE的长度为40 cm，当小明(点A)到水平线CD的距离为30 cm时，小红(点B)到地面的距离为__________。 4. [填空题]（知识点：三角形全等的判定（AAS））(2026北京海淀期中)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，且AD，BE交于点F，若BF=AC，CD=4，BD=9，则AF的长为__________。 5. [解答题]（知识点：三角形全等的判定（AAS））(2025四川内江中考)如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC=DF，∠A=∠D，AB∥DE。(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若BF=4，FC=3，求BE的长。 解： 6. [填空题]（知识点：三角形全等的判定（ASA））(2026山东烟台期末,★★☆)如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F，交边BC于点E，连接DE。若∠ABC=40°，∠C=50°，则∠CDE的度数为__________。 三、C层·拓展挑战（课件中共 5 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：三角形全等的判定（AAS））【学科特色·一线三垂直模型】(2026广东广州期末,★★☆)如图，将等腰Rt△ABC放置于平面直角坐标系中，直角顶点A位于x轴上的点(1，0)处，点B的坐标为(-3，1)，则点C的坐标为（　　　　） A. (1，4)　　　　B. (2，3) C. (2，4)　　　　D. (3，4) 2. [选择题]（知识点：三角形全等的判定（AAS））(2026重庆渝北期末,★★☆)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是线段BC上一点，连接AD，过点A作AE⊥AD，且AE=AD，连接EC交AB于点F，若BD=3.6，BF=3，则AB的长为（　　　　） A. 10.2　　　　B. 9.6 C. 9　　　　D. 6.6 3. [填空题]（知识点：三角形全等的判定（ASA、AAS））(2026四川绵阳期末,★★★)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线和与∠BAC共顶点的外角∠MAC的平分线相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D。过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF。给出以下结论：①∠APB=45°；②AB=FB；③BD=AB+AH。其中正确的是________(填序号)。 4. [解答题]（知识点：三角形全等的判定（ASA））(2026湖北恩施州期末,★★☆)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠CAD的平分线AE与∠ACB的平分线交于点F，与BC交于点E，BF交AD于点G，且BF⊥AE。(1)求∠AFC的度数；(2)求证：BE=AG。 解： 5. [探究题]（知识点：三角形全等的判定（AAS、ASA））【核心素养·推理能力】(2026四川德阳月考)【教材呈现】(1)数学教材中有这样一道习题：“如图1，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=2.5，DE=1.7，求BE的长。”请写出此题的解答过程；【类比探究】(2)如图2，点B，C分别在∠MAN的边AM，AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1，∠2分别是△ABE，△CAF的外角，已知：AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，猜想BE，CF，EF之间的数量关系，并说明理由。 解： 参考答案与解析 一、A层·基础夯实 1. 答案：B 解析：打碎的三角形模具中，②④两块含有原三角形两角及其夹边，利用ASA可以配出与原三角形完全相同的模具。故选B。 2. 答案：∠ADB=∠ADC 解析：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACD(ASA)。 3. 答案：D 解析：由题图可知BD=DB，∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB。A.若添加∠A=∠C，则△ABD≌△CDB(AAS)；B.若添加AB=CD，则△ABD≌△CDB(SAS)；C.若添加AD∥BC，则∠ADB=∠CBD，可得△ABD≌△CDB(ASA)；D.若添加AD=BC，为两边及一角(非夹角)，不能证明全等。故选D。 二、B层·理解运用 1. 答案：8 解析：∵FC∥AB，∴∠ADF=∠F，在△AED和△CEF中，∠ADE=∠CFE，DE=EF，∠AED=∠CEF，∴△AED≌△CEF(ASA)，∴AD=CF=6，∵BD=2，∴AB=AD+BD=8。 2. 答案：(1)见解析；(2)∠D=65° 解析：(1)证明：∵CD∥AB，∴∠BAE=∠ACD，在△ABE和△CAD中，∠BAE=∠ACD，AB=CA，∠ABE=∠CAD，∴△ABE≌△CAD(ASA)。(2)∵∠ABC=∠ACB=65°，∴∠BAC=180°-65°-65°=50°，∵∠ABE=25°，由(1)得△ABE≌△CAD，∴∠D=∠AEB，在△ABE中，∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE=180°-50°-25°=105°？(结合图形计算得∠D=65°) 3. 答案：70 cm 解析：由题意得∠AMO=∠BNO=90°，∵点O是AB的中点，∴OA=OB，在△AOM和△BON中，∠AMO=∠BNO，∠AOM=∠BON，OA=OB，∴△AOM≌△BON(AAS)，∴BN=AM=30 cm，∵OE=40 cm，且OE与地面垂直，∴小红(点B)到地面的距离为30+40=70(cm)。 4. 答案：5 解析：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠DAC=∠DBF，在△BDF和△ADC中，∠DBF=∠DAC，∠BDF=∠ADC，BF=AC，∴△BDF≌△ADC(AAS)，∴DF=CD=4，AD=BD=9，∴AF=AD-DF=9-4=5。 5. 答案：(1)见解析；(2)BE=11 解析：(1)证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠E，在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠A=∠D，AC=DF，∴△ABC≌△DEF(AAS)。(2)由(1)得△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∴BC-CF=EF-CF，即BF=EC=4，∵FC=3，∴BE=BF+FC+EC=4+3+4=11。 6. 答案：40° 解析：∵∠ABC=40°，∠C=50°，∴∠BAC=90°。∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABF=∠EBF。∵AE⊥BD，∴∠BFA=∠BFE=90°，又∵BF=BF，∴△BFA≌△BFE(ASA)，∴BA=BE，在△BDA和△BDE中，BA=BE，∠ABD=∠EBD，BD=BD，∴△BDA≌△BDE(SAS)，∴∠BED=∠BAD=90°，∴∠CDE=90°-∠C=40°。 三、C层·拓展挑战 1. 答案：C 解析：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，∴∠AEB=∠CFA=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAE+∠CAF=90°，∴∠ABE=∠CAF，又∵AB=AC，∴△ABE≌△CAF(AAS)，∴CF=AE，AF=BE，∵A(1，0)，B(-3，1)，∴AE=4，BE=1，∴CF=4，AF=1，∴OF=2，∴点C的坐标为(2，4)。故选C。 2. 答案：B 解析：如图，过点E作EG⊥AB于点G，则∠AGE=∠EGB=90°，∴∠EAG+∠AEG=90°，∵AE⊥AD，∴∠EAD=90°，∴∠EAG+∠DAB=90°，∴∠AEG=∠DAB，又∵AE=AD，∠AGE=∠DBA=90°，∴△AEG≌△DAB(AAS)，∴EG=AB，AG=BD=3.6，∵AB=BC，∴EG=BC，又∵∠EFG=∠CFB，∠EGF=∠CBF=90°，∴△EFG≌△CFB(AAS)，∴GF=BF=3，∴AB=AG+GF+BF=3.6+3+3=9.6。故选B。 3. 答案：①②③ 解析：∵BP和AP分别是∠ABC和∠MAC的平分线，∴∠ABP=∠ABC，∠MAP=∠MAC=(∠ABC+∠ACB)=∠ABP+∠APB，∴∠APB=∠ACB=45°，故①结论正确；∵PF⊥AD，∴∠FPA=90°，∴∠FPB=45°=∠APB，∵BP是∠ABC的平分线，∴∠ABP=∠FBP，在△ABP和△FBP中，∠ABP=∠FBP，BP=BP，∠APB=∠FPB，∴△ABP≌△FBP(ASA)，∴AB=FB，AP=FP，故②结论正确；∵∠ACB=90°，∴∠FDP+∠HAP=90°，∵PF⊥AD，∴∠APH=∠FPD=90°，∴∠AHP+∠HAP=90°，∴∠AHP=∠FDP，在△AHP与△FDP中，∠AHP=∠FDP，∠APH=∠FPD，AP=FP，∴△AHP≌△FDP(AAS)，∴DF=AH，∵BD=BF+DF，∴BD=AB+AH，故③结论正确。故答案为①②③。 4. 答案：(1)∠AFC=135°；(2)见解析 解析：(1)∵AD是BC边上的高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵∠CAD的平分线AE与∠ACB的平分线交于点F，∴∠FAC=∠DAC，∠FCA=∠DCA，∴∠FAC+∠FCA=(∠DAC+∠DCA)=45°，∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=180°-45°=135°。(2)证明：在△ACF和△BCF中，∠ACF=∠BCF，CF=CF，∠AFC=∠BFC=135°？(由BF⊥AE及角平分线性质证△ACF≌△BCF(ASA)，得AF=BF，再证△AFG≌△BFE(ASA)，得BE=AG。) 5. 答案：(1)BE=0.8；(2)CF+EF=BE 解析：(1)∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠E=∠ADC=90°，∴∠CBE+∠BCE=90°，∵∠BCE+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△CEB和△ADC中，∠E=∠ADC，∠CBE=∠ACD，BC=AC，∴△CEB≌△ADC(AAS)，∴CE=AD=2.5，BE=CD，∵DE=1.7，∴BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8。(2)CF+EF=BE。理由如下：∵∠1=∠BAE+∠ABE，∠1=∠2=∠BAC，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，∴∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，在△ABE和△CAF中，∠ABE=∠CAF，AB=CA，∠BAE=∠FCA，∴△ABE≌△CAF(ASA)，∴CF=AE，BE=AF，∵AF=AE+EF=CF+EF，∴CF+EF=BE。 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2　三角形全等的判定（第1课时：SAS）　分层练习 一、A层·基础夯实（课件中共 2 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：三角形全等的判定（SAS））(2026四川自贡月考)如图，a，b，c分别表示△ABC的三边长，下面三角形中与△ABC一定全等的是（　　　　） A B C D 2. [填空题]（知识点：三角形全等的判定（SAS））(2026北京朝阳期末)如图，点A，B，C，D在一条直线上，AE∥DF，AE=DF。若要利用SAS证明△AEC≌△DFB，需添加一个条件：__________________。 二、B层·理解运用（课件中共 6 道题归入本层） 1. [证明题]（知识点：三角形全等的判定（SAS））(2025广东广州中考)如图，BA=BE，∠1=∠2，BC=BD。求证：△ABC≌△EBD。 解： 2. [选择题]（知识点：三角形全等的判定（SAS））(2026河北石家庄期中)如图，OA=OB，OC=OD，∠O=60°，∠C=25°，则∠BED的度数是（　　　　） A. 60°　　　　B. 55° C. 50°　　　　D. 70° 3. [填空题]（知识点：三角形全等的判定（SAS））【学科特色·教材变式】(2026江西赣州期中)如图，将两根钢条AA′，BB′的中点O钉在一起，使AA′，BB′能绕点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知，判定△AOB≌△A′OB′的理由是__________。 4. [填空题]（知识点：三角形全等的判定（SAS））(2026河北廊坊期末)如图所示的为由小正方形组成的网格，则∠2-∠1=__________°。 5. [解答题]（知识点：三角形全等的判定（SAS））(2026江苏徐州邳州月考)已知：如图，AB=CD，AB∥DC，求证：AD∥BC，AD=BC。证明：∵AB∥CD，∴∠ABD=________(________)，在△ABD和△CDB中，________=________，________=________，________=________，∴△ABD≌△CDB(________)，∴AD=CB(________)，∠ADB=∠CBD(________)，∴AD∥BC(________)。 解： 6. [选择题]（知识点：三角形全等的判定（SAS））(2026北京西城期中,★★☆)如图，已知AB=AC，AF=AE，∠FAE=∠BAC，点C，E，D，F共线。下列结论不一定正确的是（　　　　） A. ∠FAB=∠EAC B. BF=CE C. AC=DC D. ∠BAC=∠BFC 三、C层·拓展挑战（课件中共 5 道题归入本层） 1. [填空题]（知识点：三角形全等的判定（SAS））【学科特色·倍长中线法】(2026福建福州期末,★★☆)如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，若AB=4，AC=6，则AD长的取值范围为______________。 2. [填空题]（知识点：三角形全等的判定（SAS））(2026江苏南京月考,★★☆)如图，在△PAB中，∠A=∠B，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK。若∠MKN=40°，则∠P的度数为____________。 3. [填空题]（知识点：三角形全等的判定（SAS））【学科特色·截长补短法】(2026河南新乡期末,★★★)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，BP平分∠ABC，点D，E分别是BC，BA上的动点，则CE+DE的最小值为__________。 4. [解答题]（知识点：三角形全等的判定（SAS））(2026山东青岛期中,★★☆)如图，AB⊥BD，DE⊥BD，C是BD上一点，且BC=DE，AB=BD，AC与BE交于点F。(1)判断AC与BE的位置关系，并说明理由；(2)若S△ABC=12，AF∶CF=3∶1，求四边形CDEF的面积。 解： 5. [探究题]（知识点：三角形全等的判定（SAS））【核心素养·推理能力】【聚焦中考·过程性学习】(2026广东惠州期中)在△ABC中，AB=AC，∠ACB=∠B，点D是射线CB上一动点(不与点B，C重合)，以AD为边在AD右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC。(1)如图1，当∠BAC=90°，点D在线段CB上时，探究BD与CE的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)设∠BAC=α，∠DCE=β。①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论(注：任意四边形的内角和为360°)；②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系为________。 解： 参考答案与解析 一、A层·基础夯实 1. 答案：C 解析：在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=72°，依据SAS可证△ABC与选项C中的三角形全等。故选C。 2. 答案：AC=DB或AB=DC 解析：∵AE∥DF，∴∠A=∠D，又∵点A，B，C，D在一条直线上，AE=DF，∴若要利用SAS证明△AEC≌△DFB，可添加条件AC=DB或AB=DC。 二、B层·理解运用 1. 答案：见解析 解析：证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EBC=∠2+∠EBC，∴∠ABC=∠EBD，在△ABC和△EBD中，BA=BE，∠ABC=∠EBD，BC=BD，∴△ABC≌△EBD(SAS)。 2. 答案：D 解析：在△ODA和△OCB中，OA=OB，∠O=∠O，OC=OD，∴△ODA≌△OCB(SAS)，∴∠D=∠C=25°，∵∠O=60°，∠C=25°，∴∠DBE=60°+25°=85°，∴∠BED=180°-85°-25°=70°。故选D。 3. 答案：SAS 解析：如图，∵点O是AA′，BB′的中点，∴OA=OA′，OB=OB′，在△AOB和△A′OB′中，OA=OA′，∠AOB=∠A′OB′，OB=OB′，∴△AOB≌△A′OB′(SAS)，∴判定△AOB≌△A′OB′的理由是SAS。 4. 答案：90 解析：如图，设每个小正方形的边长都为1，则AC=DE=2，BC=CE=1，∠BCA=∠CED=90°，∴△ABC≌△DCE(SAS)，∴∠1=∠CDE，∴∠2-∠1=∠2-∠CDE=∠EDF=90°。故答案为90。 5. 答案：见解析 解析：∠CDB；两直线平行，内错角相等；∠ABD；∠CDB；BD；BD；AB；CD；SAS；全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行。 6. 答案：C 解析：∵∠FAE=∠BAC，∴∠FAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，即∠FAB=∠EAC，故A结论正确；∵AB=AC，∠FAB=∠EAC，AF=AE，∴△FAB≌△EAC(SAS)，∴BF=CE，∠FBA=∠ECA，故B结论正确；∵∠BAC+∠ECA+∠ADC=180°=∠BFC+∠FBA+∠FDB，∠ECA=∠FBA，∠ADC=∠FDB，∴∠BAC=∠BFC，故D结论正确；AC=DC不一定成立。故选C。 三、C层·拓展挑战 1. 答案：1＜AD＜5 解析：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=ED，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴CE=AB=4，根据三角形三边关系可知AC-CE＜AE＜AC+CE，∴6-4＜2AD＜6+4，∴1＜AD＜5。 2. 答案：100° 解析：在△AMK和△BKN中，AM=BK，∠A=∠B，AK=BN，∴△AMK≌△BKN(SAS)，∴∠AMK=∠BKN，∵∠A+∠AMK=∠MKB=∠MKN+∠BKN，∴∠A=∠B=∠MKN=40°，∴∠P=180°-∠A-∠B=100°。 3. 答案：12/5 解析：如图，在AB上截取BF=BD，连接EF，过点C作CG⊥AB于点G，∵BP平分∠ABC，∴∠DBE=∠FBE，在△DBE和△FBE中，BD=BF，∠DBE=∠FBE，BE=BE，∴△DBE≌△FBE(SAS)，∴DE=FE，∴CE+DE=CE+FE，根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可知当点C，E，F三点共线，且CF⊥AB时，CE+DE的值最小，为CG的值，∵∠ACB=90°，CG⊥AB，∴AB·CG=AC·BC，∵AC=4，BC=3，AB=5，∴CG=。 4. 答案：(1)AC⊥BE；(2)四边形CDEF的面积为9 解析：(1)AC⊥BE。理由如下：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC=∠BDE=90°，在△ABC和△BDE中，AB=BD，∠ABC=∠BDE，BC=DE，∴△ABC≌△BDE(SAS)，∴∠A=∠CBF，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠CBF+∠ACB=90°，∴∠BFC=90°，∴AC⊥BE。(2)∵AF∶CF=3∶1，∴S△ABF=S△ABC=×12=9，∵△ABC≌△BDE，∴S△ABC=S△BDE，∴S四边形CDEF=S△BDE-S△BCF=S△ABC-S△BCF=S△ABF=9。 5. 答案：(1)BD=CE，BD⊥CE；(2)①α+β=180°；②α=β 解析：(1)BD=CE，BD⊥CE。理由如下：∵∠DAE=∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∠BAD=90°-∠CAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴BD⊥CE。(2)①α+β=180°。证明：由(1)同理可证△ABD≌△ACE，得∠AEC=∠ADB，∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠AEC+∠ADC=180°，∵四边形ADCE的内角和为360°，∴∠DAE+∠DCE=180°，∵∠DAE=∠BAC=α，∠DCE=β，∴α+β=180°。②补充图形如图所示，∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，即∠BAD=∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD=∠ACB+∠BAC，∠ACE=∠ACB+∠DCE，∴∠BAC=∠DCE，即α=β。故答案为α=β。 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2　三角形全等的判定（第5课时：HL）　分层练习 一、A层·基础夯实（课件中共 2 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：直角三角形全等的判定（HL））(2026北京西城月考)在课堂上，李老师发给每人一张印有Rt△ABC(如图1)的卡片，然后要求同学们画一个Rt△A′B′C′，使得Rt△A′B′C′≌Rt△ABC。小宏的画法如图所示，第一步先画一个直角∠A′B′C′，第二步截取B′C′=BC，第三步以点C′为圆心、CA的长为半径画弧，交B′A′于点A′，连接C′A′。小宏的画图方法依据的三角形全等判定方法是（　　　　） A. SAS　　　　B. AAS C. ASA　　　　D. HL 2. [选择题]（知识点：三角形全等的判定）(2026四川南充期中)根据下列已知条件，不能画出唯一△ABC的是（　　　　） A. ∠A=60°，∠B=45°，AB=4 B. ∠A=30°，AB=5，BC=3 C. ∠B=60°，AB=6，BC=10 D. ∠C=90°，AB=5，AC=3 二、B层·理解运用（课件中共 5 道题归入本层） 1. [填空题]（知识点：直角三角形全等的判定（HL））(2026江苏连云港期中)如图，EC⊥BD，垂足为C，A是EC上一点，且AC=CD，连接AB，ED，AB=DE。若AC=3.5，BD=9，则CE的长为__________。 2. [填空题]（知识点：直角三角形全等的判定（HL））如图，AD是△ABC的高，AD=BD，∠DAB=∠DBA，BE=AC，∠BAC=70°，则∠DBE的度数为__________。 3. [证明题]（知识点：直角三角形全等的判定（HL））(2026山东青岛期中)如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，EC⊥BC于点C，且AB=BE，CD=CE。求证：Rt△ABD≌Rt△BEC。 解： 4. [解答题]（知识点：三角形全等的判定）(2025湖北武汉中考)如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AD∥BC。若________，则AD=CB。从①OA=OC，②∠ABC=∠CDA，③AB=CD这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由。 解： 5. [解答题]（知识点：全等三角形的性质与判定）【学科特色·教材变式】如图，△ABC≌△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线。(1)求证：AD=A′D′；(2)若AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，AD与A′D′还相等吗？证明你的结论。 解： 三、C层·拓展挑战（课件中共 4 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：三角形全等的判定）(2025山东威海中考,★★☆)我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”。如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O。下列条件中，不能判定四边形ABCD是筝形的是（　　　　） A. BO=DO，AC⊥BD B. ∠DAC=∠BAC，AD=AB C. ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA D. ∠ADC=∠ABC，BO=DO 2. [填空题]（知识点：直角三角形全等的判定（HL））(2026江苏南京月考,★★☆)如图，D是∠MAN内部一点，DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，且DE=DF，点B是射线AM上一点，AB=6，BE=2，在射线AN上取一点C，使CD=CB，则AC=____________。 3. [解答题]（知识点：三角形全等的判定（SAS））(2026广东广州期末,★★★)如图，在△ABC与△ADE中，AB=AD，AC=AE，且∠EAC=∠DAB=70°，过点A作AF⊥DE，垂足为F，AE交BC于点O。(1)求证：△ABC≌△ADE；(2)∠CGE的度数为________；(3)猜想线段GF，DF，BG之间的数量关系，并说明理由。 解： 4. [探究题]（知识点：三角形全等的判定）【核心素养·推理能力】阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，小聪继续对“两个三角形的两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行探究。小聪将命题用符号语言表示为在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E。小聪想：要想解决问题，应该对∠B进行分类研究。将∠B分为“直角，钝角，锐角”三种情况进行探究。(1)当∠B是直角时，如图1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，则Rt△ABC≌Rt△DEF(依据：__________)；(2)当∠B是锐角时，如图2，BC=EF，∠B=∠E＜90°，在射线EM上有点D，使DF=AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是________；A.全等　B.不全等　C.不一定全等(3)当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E＞90°，求证：△ABC≌△DEF。 解： 参考答案与解析 一、A层·基础夯实 1. 答案：D 解析：由题图可知，小宏第一步为截取线段B′C′=BC，第二步为作线段C′A′=CA，故这种画图方法的依据为HL。故选D。 2. 答案：B 解析：A.已知两角和夹边，根据ASA可画出唯一三角形；B.已知∠A=30°，AB=5，BC=3，是两边及其中一边的对角，不能确定唯一的三角形；C.已知两边及夹角，根据SAS可画出唯一三角形；D.已知斜边和直角边，根据HL可画出唯一三角形。故选B。 二、B层·理解运用 1. 答案：5.5 解析：∵EC⊥BD，∴∠ECD=∠BCA=90°，在Rt△ECD和Rt△BCA中，DE=AB，CD=CA，∴Rt△ECD≌Rt△BCA(HL)，∴CD=AC=3.5，CE=BC，∵BD=9，∴CE=BC=BD-CD=9-3.5=5.5。 2. 答案：25° 解析：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△BDE和Rt△ADC中，BE=AC，BD=AD，∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)，∴∠DBE=∠DAC，在Rt△ADB中，∠ADB=90°，BD=AD，∴∠DAB=∠DBA=45°，∵∠BAC=70°，∴∠DAC=70°-45°=25°，∴∠DBE=∠DAC=25°。故答案为25°。 3. 答案：见解析 解析：证明：在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=AC，AD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)，∴BD=CD，∵CD=CE，∴BD=CE，在Rt△ABD和Rt△BEC中，AB=BE，BD=EC，∴Rt△ABD≌Rt△BEC(HL)。 4. 答案：答案不唯一，可选择①或② 解析：若选择①OA=OC。理由：∵AD∥BC，∴∠ODA=∠OBC，在△AOD和△COB中，∠ODA=∠OBC，∠AOD=∠COB，OA=OC，∴△AOD≌△COB(AAS)，∴AD=CB。若选择②∠ABC=∠CDA。理由：∵AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB，在△ACD和△CAB中，∠CAD=∠ACB，AC=CA，∠CDA=∠ABC，∴△ACD≌△CAB(ASA)，∴AD=CB。 5. 答案：见解析 解析：(1)证明：∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB=A′B′，BC=B′C′，∠B=∠B′，∵AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，∴BD=BC，B′D′=B′C′，∴BD=B′D′，在△ABD和△A′B′D′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，BD=B′D′，∴△ABD≌△A′B′D′(SAS)，∴AD=A′D′。(2)AD=A′D′。证明：∵△ABC≌△A′B′C′，∴AB=A′B′，∠B=∠B′，∵AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，∴∠ADB=90°，∠A′D′B′=90°，∴∠ADB=∠A′D′B′，在△ABD和△A′B′D′中，∠ADB=∠A′D′B′，∠B=∠B′，AB=A′B′，∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)，∴AD=A′D′。 三、C层·拓展挑战 1. 答案：D 解析：A.∵AC⊥BD，∴∠AOB=∠AOD=90°，在△AOB和△AOD中，AO=AO，∠AOB=∠AOD，BO=DO，∴△AOB≌△AOD(SAS)，∴AB=AD，同理可得CB=CD，∴四边形ABCD是筝形，故A不合题意；B.在△ACD和△ACB中，AD=AB，∠DAC=∠BAC，AC=AC，∴△ACD≌△ACB(SAS)，∴CD=CB，∴四边形ABCD是筝形，故B不合题意；C.在△ACD和△ACB中，∠DAC=∠BAC，AC=AC，∠DCA=∠BCA，∴△ACD≌△ACB(ASA)，∴AD=AB，CD=CB，∴四边形ABCD是筝形，故C不合题意；D.由∠ADC=∠ABC，BO=DO，不能证明四边形ABCD是筝形，故D符合题意。故选D。 2. 答案：6或10 解析：①如图1，当点C在线段AF上时，连接AD，∵DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，∴∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△DEB和Rt△DFC中，DB=DC，DE=DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，∴CF=BE=2，在Rt△DEA和Rt△DFA中，DE=DF，AD=AD，∴Rt△DEA≌Rt△DFA(HL)，∴AF=AE=AB+BE=6+2=8，∴AC=AF-CF=8-2=6；②如图2，当点C在线段AF的延长线上时，同理可得AF=AE=8，CF=BE=2，∴AC=AF+CF=8+2=10。故答案为6或10。 3. 答案：(1)见解析；(2)70°；(3)BG+DF=GF 解析：(1)证明：∵∠EAC=∠DAB，∴∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE，即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠BAC=∠DAE，AC=AE，∴△ABC≌△ADE(SAS)。(2)70°。详解：易知△AOC和△EOG组合成的图形为“8字型”，结合全等三角形的对应角相等可求得∠CGE=70°。(3)BG+DF=GF。理由：如图，过点A作AH⊥BC于点H，则∠AHC=∠AHB=90°，∵AF⊥DE，∴∠AFE=∠AFD=90°，∴∠AHC=∠AFE，由(1)得△ABC≌△ADE，∴∠C=∠E，在△ACH和△AEF中，∠AHC=∠AFE，∠C=∠E，AC=AE，∴△ACH≌△AEF(AAS)，∴AH=AF，∵AG=AG，∴Rt△AHG≌Rt△AFG(HL)，∴GH=GF，∵AD=AB，AF=AH，∴Rt△AFD≌Rt△AHB(HL)，∴BH=DF，∵BG+BH=GH，∴BG+DF=GF。 4. 答案：(1)HL；(2)C；(3)见解析 解析：(1)HL。(2)如图，易得△D″EF≌△ABC，△D′EF和△ABC不全等，∴△ABC和△DEF不一定全等。故答案为C。(3)证明：如图，过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M，过点F作FN⊥DE交DE的延长线于点N，∵∠CBA=∠FED，∴∠CBM=∠FEN，在△CBM和△FEN中，∠CMB=∠FNE=90°，∠CBM=∠FEN，BC=EF，∴△CBM≌△FEN(AAS)，∴CM=FN，在Rt△ACM和Rt△DFN中，AC=DF，CM=FN，∴Rt△ACM≌Rt△DFN(HL)，∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，∠A=∠D，AC=DF，∴△ABC≌△DEF(AAS)。 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2　三角形全等的判定（第3课时：SSS）　分层练习 一、A层·基础夯实（课件中共 1 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：三角形全等的判定（SSS））(2025青海中考)工人师傅常用角尺平分一个任意角。做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线。此做法用到的三角形全等的判定方法是（　　　　） A. AAS　　　　B. SAS C. SSS　　　　D. ASA 二、B层·理解运用（课件中共 3 道题归入本层） 1. [填空题]（知识点：三角形全等的判定（SSS））(2026陕西榆林期末)如图，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点D在边BC上，连接AD，点E，F在线段AD上，连接BE，CF，且BE=AF，AE=CF，若S△ABE=4，则S△ACF=__________。 2. [填空题]（知识点：三角形全等的判定（SSS））(2026广东广州期末)如图，在△ABC中，∠A=70°，点D，E分别在边AC，BC上，且AD=ED，AB=EB，若∠ABD=30°，则∠C的度数为__________。 3. [解答题]（知识点：三角形全等的判定（SSS））(2026湖南邵阳模拟)如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD=BE，AC=DF，BC=EF。(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若∠A=55°，∠E=45°，求∠F的度数。 解： 三、C层·拓展挑战（课件中共 4 道题归入本层） 1. [选择题]（知识点：三角形全等的判定（SSS））(★★☆)如图，已知AB=AC，BE=CE，BC与AE的交点为D，点P为AD上一点，下面四个结论：①BP=CP；②AD⊥BC；③AE平分∠BAC；④∠PBC=∠PCB。其中正确的有（　　　　） A. 1　　　　B. 2 C. 3　　　　D. 4 2. [填空题]（知识点：三角形全等的判定（SSS））(2026北京第二中学月考,★★☆)如图，D为等腰三角形ABC内一点，AC=BC=BP，AD=BD，∠DBP=∠DBC，∠C=62°，则∠BPD的度数为__________。 3. [填空题]（知识点：三角形全等的判定（SSS））(2026江苏南京月考,★★☆)如图所示，AD为△ABC的中线，AE=AB，AF=AC，连接EF，EF=2AD，若△AEF的面积为3，则△ADC的面积为__________。 4. [解答题]（知识点：三角形全等的判定（SSS））【学科特色·截长补短法】(2026福建泉州期中节选,★★☆)如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD，E，F分别是边BC，CD上的点，且EF=BE+FD。求证：∠DAB=2∠EAF。 解： 参考答案与解析 一、A层·基础夯实 1. 答案：C 解析：由题意得OM=ON，CM=CN，OC=OC，∴△OMC≌△ONC(SSS)，∴∠MOC=∠NOC，即OC是∠AOB的平分线。故选C。 二、B层·理解运用 1. 答案：4 解析：在△BAE和△ACF中，AB=AC，BE=AF，AE=CF，∴△BAE≌△ACF(SSS)，∴S△ACF=S△BAE=4。 2. 答案：50° 解析：在△ABD和△EBD中，AB=EB，AD=ED，BD=BD，∴△ABD≌△EBD(SSS)，∴∠EBD=∠ABD=30°，∵∠A=70°，∴∠C=180°-∠A-∠EBD-∠ABD=180°-70°-30°-30°=50°。故答案为50°。 3. 答案：(1)见解析；(2)∠F=80° 解析：(1)证明：∵AD=BE，∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE，又∵AC=DF，BC=EF，∴△ABC≌△DEF(SSS)。(2)∵∠A=55°，△ABC≌△DEF，∴∠FDE=∠A=55°，∵∠E=45°，∴∠F=180°-(∠FDE+∠E)=180°-(55°+45°)=80°。 三、C层·拓展挑战 1. 答案：D 解析：∵AB=AC，BE=CE，AE=AE，∴△ABE≌△ACE(SSS)，∴∠BAE=∠CAE，即AE平分∠BAC，故③正确；∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴BD=CD，∠ADB=∠ADC，∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，故②正确；由△ABD≌△ACD得∠BAD=∠CAD，且BD=CD，AD⊥BC，易得BP=CP，∠PBC=∠PCB，故①④正确。综上，正确结论的个数为4。故选D。 2. 答案：31° 解析：如图，连接CD，∵在△ACD和△BCD中，AC=BC，AD=BD，CD=CD，∴△ACD≌△BCD(SSS)，∴∠BCD=∠ACB=31°，∵在△BPD和△BCD中，BP=BC，∠DBP=∠DBC，BD=BD，∴△BPD≌△BCD(SAS)，∴∠BPD=∠BCD=31°。 3. 答案：3/2 解析：如图，延长AD到点G，使DG=AD，连接BG，∵AD为△ABC的中线，∴S△ABD=S△ACD，BD=CD，∵∠ADC=∠GDB，AD=DG，∴△ADC≌△GDB(SAS)，∴S△ADC=S△GDB，BG=AC，∵AC=AF，∴BG=AF，∵EF=2AD，∴AG=EF，在△ABG和△EAF中，AB=AE，BG=AF，AG=EF，∴△ABG≌△EAF(SSS)，∴S△ABG=S△EAF=3，∴S△ADC=S△GBD=S△ABG=。 4. 答案：见解析 解析：证明：如图，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADG，又∵AB=AD，BE=DG，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵EF=BE+FD，GF=DG+FD，∴GF=EF，又∵AG=AE，AF=AF，∴△AGF≌△AEF(SSS)，∴∠GAF=∠EAF，∵∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，∴∠EAF=∠BAE+∠DAF，∵∠DAB=∠EAF+(∠BAE+∠DAF)，∴∠DAB=2∠EAF。 学科网（北京）股份有限公司 $