第二十六章 二次函数 单元综合检测试题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 第二十六章二次函数单元拔高卷，覆盖定义、图像性质、实际应用及几何综合，适配单元复习，通过分层设计与真实情境发展抽象能力、推理意识和模型观念。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|二次函数定义、图像变换、性质|基础巩固，如判断二次函数表达式（题2）| |填空题|5|最值、顶点坐标、方程根|能力提升，如结合表格分析函数性质（题15）| |解答题|8|实际应用（利润、运动轨迹）、几何综合|创新应用，如超市利润最值（题21）、抛物线与平行四边形存在性（题23）|

第二十六章二次函数单元综合检测试题（拔高卷） 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若函数是关于的二次函数，则的值是(    ) A. B. C. 或 D. 或 2.下列函数表达式中，一定为二次函数的是(    ) A. B. C. D. 3.将抛物线向上平移个单位，再向左平移个单位，得到的抛物线对应的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 4.已知二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围为(    ) A. B. 且 C. D. 且 5.关于的二次函数，当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.已知二次函数和一次函数的图象在轴相交于一点，且纵坐标为，则在同一平面直角坐标系中二次函数和一次函数的图象可能是(    ) A. B. C. D. 7.某果园有棵苹果树，平均每棵树可以结个苹果根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结个苹果，现果园增种了棵苹果树，若苹果总个数为个，则下列与的关系式中正确的是(    ) A. B. C. D. 8.已知二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在菱形中，，，点，同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，当其中一点到达点时，两点停止运动设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致反映与之间函数关系的是(    ) A. B. C. D. 10.对称轴为直线的抛物线、、为常数，且如图所示，小明同学得出了以下结论：，，，，为任意实数，当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 11.若二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是          ． 12.已知二次函数，当时，的取值范围是          ． 13.抛物线的顶点在直线上，则其顶点坐标为          ． 14.如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为           15.已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或其中正确结论的序号为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.已知是二次函数． 求的值 当为何值时，该函数图象的开口向上 17.已知二次函数． 完成下表，并在所给的坐标系中画出对应函数图象；               写出抛物线的顶点坐标，对称轴； 写出函数的最值． 18.如图，已知抛物线的顶点为，直线与第一象限内的抛物线交于点，点的横坐标为． 求抛物线的解析式； 为直线下方抛物线上一点，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． 19.已知抛物线． 求这条抛物线的对称轴； 若该抛物线的顶点在轴上，求其解析式； 设点，在抛物线上，若，求的取值范围． 20.如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点． 求点、、坐标； 若直线经过、两点，直接写出不等式的解集． 21.超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶元．在销售过程中发现，每天销售量瓶与每瓶售价元之间满足一次函数关系其中，且为整数，当每瓶洗手液的售价是元时，每天销售量为瓶；当每瓶洗手液的售价是元时，每天销售量为瓶． 求与之间的函数关系式； 设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？ 22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． 求此抛物线的解析式； 为直线下方抛物线上一个动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标． 23.如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，直线经过，两点，点的坐标为，点是第一象限抛物线上的一个动点，于点，设点的横坐标为． 求抛物线的函数表达式； 求线段的最大值，并求此时的值； 在的条件下，当线段取最大值时，若点是轴正半轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案（拔高卷） 1.A 2.A 3.A 4.B 5.C 6.A 8.B 9.A 10.A 11.k≤4且k≠2 12.-5≤y≤4 13.2,1 14.8 15.①②④ 16.解：(1)由题意可知m-1≠0且m2-m=2, 由m-1≠0解得m≠1， 由m2-m=2解得m1=2,m2=-1, 综上所述，m的值为2或-1： (2)由(1)可知m的值为2或-1 m .函数图象的开口向上， .m-1>0 .m>1' :.当m=2时，该函数图象的开口向上. 17.【小题1】 解：-8，-2，-0.5,0，-0.5，-2，-8；如图所示： 第1页，共1页 7.B 456 y=-(x-1)月 【小题2】 顶点坐标为1,0，对称轴为直线x=1: 【小题3】 函数有最大值，最大值为0，没有最小值. 18.【小题1】 解：由题意，得h=1. 把X=2代入y=-x+4,得y=2, .B(2,2代入y=ax-12,得a=2 .抛物线的解析式为 y=2(x-1}2: 【小题2】 设At,2t-1y则c(t,4-t) 过点B作BM⊥AC于点M, .BA=BC,AC⊥X轴， .∴.BM⊥AC,AM=MC .B(2,2), .∴.CM=AM=4-t-2=2-t. XAM=yB-yA=2-2(t-1P=-2t2+4t' ∴2-t=-22+4t,解得t=2(舍)或t=号 2t-1=2 第2页， 共1页 :点4的坐标为11 2'2 19.解：(1)抛物线y=aX-2ax-3+2a2=ax-1+2a2-a-3 ,抛物线的对称轴为直线x=1 (2)·抛物线的顶点在轴上， ∴.2a2-a-3=0' 解得a三号或a=-1 超物线为y=x-3x+2y=-+2x-1: 2 (3)·抛物线的对称轴为直线x=1 则Q(3,y2)关于x=1对称点的坐标为-1，y2), :当a>0'-1<m<3时，y,<y, 当a<0'm<-1或m>3时，y,<y2 20.解：(1)令y=0则0=-(x-12+4 解得x=3或x=-1, 点A坐标为(-1,0点B坐标为(3,0) 令x=0,y=-1+4=3, :点c坐标为(0,3 第3页，共1页 (2)由图象可得，当0<X<3时，抛物线在直线上方， :-(x-1?+4>1o+b的解集为0<x<3 21.解：（1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)， 12k+b=90 根据题意得： 14k+b=80' k=-5 解得：b=150 y与x之间的函数关系：y=-5x+150其中10≤x≤15且x为整数， (2根据题意得：w=(x-10)(-5x+150)=-5(x-20P+500' .a=-5<0' ,抛物线开口向下，w有最大值， :当x<20时，w随着x的增大而增大， :10≤x≤15且x为整数， :当x=15时，w有最大值， 即： w=-5×(15-202+500=375 答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润为375元. 22.【小题1】 m=-4, 解：由m=-4,解得 .抛物线的解析式为y=1x+X-4 1 4a+2+m=0,a= 21 第4页，共1页 【小题2】 D,+t-441<0连0D.2*x-4=0解=太-2A1-40 .B0,-4,∴.OA=OB=4. 1 3ABn5,op5om8aB号×4×--t+4时与×4×-t-×4×4=-t-4t=t+2+ 21 .:-1<0,∴.当t=-2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时点D的坐标为-2，-4. 23.【小题1】 解：当x=0时，y=4, ∴.点C的坐标为0,4)， 将C(0,4)代入y=-x+k中，得k=4, ∴.直线BC的解析式为y=-x+4, 当y=0时，-x+4=0, ∴.=4，∴.点B的坐标为4,0)， 将A(-2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+4中， 得)4a-2b+4=0,解得a=-号 2 16a+4b+4=0 b=1 ∴.抛物线的函数解析式为y=一 X2+x+4: 2 【小题2】 .B(4,0),C(0,4, ∴.OB=0C=4,∴.∠OCB=45°， 如解图，过点P作PE⊥X轴于点E,交直线BC于点F, .∴.PE/1OC, .∠PFQ=∠OCB=45°， .∠PQF=90°， 第5页，共1页 .点P的横坐标为n, Pn,+n+4F(n,-n+4 PF2n+n+4-n+4=-r+2n 2 4 4 2<0且点P在第一象限的抛物线上， .∴.当n=2时，线段PQ有最大值， PQ大=2 【小题3】 存在，点M的坐标为-1+V17,0或(20)或6,0) 第6页，共1页 22+V2