第二十六章 二次函数 单元检测 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九上二次函数单元检测卷，120分钟150分，通过选择、填空、解答题覆盖图像性质、解析式、实际应用，结合喷水池、小菜园等情境，培养数学建模与问题解决能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/48|二次函数图像（1）、平移（5）、对称轴（9）|矩形窗框（3）考查建模，表格数据（4）培养推理意识| |填空题|4/20|增减性（13）、函数值比较（15）|喷水池水柱（16）体现数学与生活联系| |解答题|8/82|解析式求解（17）、实际应用（19、21）、综合探究（23、24）|自动浇水装置平移（24）融合几何直观与创新思维，分层设计基础到拓展|

2026-2027学年九上数学人教版第二十六章二次函数单元检测卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．已知抛物线与y轴的交点坐标为，则m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 4．设二次函数，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 5 13 23 根据表格中的内容，能够判断一元二次方程的一个解的大致范围是（    ） A． B． C． D． 5．将抛物线向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 6．抛物线向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 7．若关于的函数是二次函数，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．抛物线的顶点坐标是（    ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 9．抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 10．如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．当时， 11．如图所示，在中，，，点是边上一动点，沿的路径移动，过点作于点，设，的面积为S，则下列能大致反映S与m函数关系的图象是（     ） A． B． C． D． 12．如图，在矩形中，，．动点从点出发，以每秒的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒的速度沿边向终点运动，当点运动到点时，，两点停止运动，设运动时间为．当时，点，的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知二次函数（为实数，），当时，随的增大而增大，则的取值范围是__________． 14．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 15．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接为________． 16．小致周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图①，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心O处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈抛物线形，水柱在距水池中心处到达最大高度为．从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点M处汇合，小致根据图示建立了平面直角坐标系，如图②．则的高度是______m． 三.（本题共16分） 17．已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 18．已知二次函数()的图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … (1)二次函数图象的顶点坐标为_________，_________； (2)求该二次函数的表达式． 四.（本题共20分） 19．某公园雕塑的顶端点A处安装有喷水装置，喷出的水呈抛物线形．测得雕塑的高度为，当喷出的水柱与的水平距离为时，达到最大高度．以点O为原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系（如图）． (1)求水柱所在抛物线的函数表达式； (2)求水柱落地点与雕塑的水平距离． 20．如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为． (1)用含的代数式表示的长； (2)求与的函数表达式，并求的最大值． 五．（本题共10分） 21．某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2） 怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 六.（本题共12分） 22．宁宁同学用“描点法”画二次函数的图像时，列表如下： ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 5 0 3 4 3 0 ．．． (1)由于计算粗心，宁宁算错了其中的一个值，请指出这个算错的值所对应的___________． (2)上述函数图像的对称轴是___________，且当时，的取值范围是___________． (3)若、都在这个函数图像上，比较、的大小，并说明为什么？ 七.（本题共12分） 23．顶点为且过原点的抛物线，如图所示． (1)求其解析式． (2)动矩形的顶点B、C在抛物线上，A、D在x轴上，设，矩形的周长为l，求l随t变化的函数关系式．若l有最值，求之，否则说明理由． 八.（本题共12分） 24．小华在走读淮河文化园游玩，发现公园的草地自动浇水装置喷洒出的水流呈抛物线型，小华通过多次测量数据，在平面直角坐标系中绘制了水流喷出的高度与距离浇水装置的水平距离之间的函数图象，如图所示，已知点，抛物线顶点坐标为点． (1)求水流所形成的抛物线的表达式． (2)小华通过观察发现距离喷水装置处的一棵古树未被浇到水，请通过计算说明这个自动浇水装置不能浇到古树的原因． (3)通过与园区工作人员交谈，小华发现这个喷水装置还可以上下移动，且移动之后水流的形状、大小保持不变，若想让（2）中的古树能被此浇水装置浇到，则此喷水装置需要向上移动的最小距离是多少？请直接写出答案． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九上数学人教版第二十六章二次函数单元检测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B C B B C B D 题号 11 12 答案 B C 1．D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的顶点坐标及开口方向．根据二次函数的性质，由二次函数得到其顶点坐标与开口方向； 然后根据顶点坐标与开口方向，判定出函数图象即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的顶点在轴负半轴上， 又∵， ∴开口向上． 故选：D． 2．A 【分析】本题考查求二次函数解析式，把代入计算即可． 【详解】解：∵抛物线与y轴的交点坐标为， ∴把代入得， ∴， 故选：A． 3．C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，米， ∴， 故选：． 4．B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解的关系，解本题的关键在找出当函数值y为0时，对应的一元二次方程的一个解的取值范围． 根据二次函数图象的连续性，当两个x值对应的函数值异号时，这两个x值之间的区间内存在一元二次方程的解，通过表格数据找出y异号的x区间即可． 【详解】解：∵当时，；当时，； 又∵二次函数的图象是连续的抛物线； ∴在的区间内，存在使得，即一元二次方程的一个解的大致范围是． 故选：B 5．C 【分析】平移不改变抛物线的二次项系数，利用“左加右减，上加下减”的规律即可求出平移后的解析式． 【详解】解：∵ 原抛物线的顶点坐标为，将顶点向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到新顶点坐标为，平移后抛物线二次项系数不变，仍为， ∴平移后抛物线的解析式为． 6．B 【分析】本题考查抛物线图象的平移，解题思路是先将原抛物线一般式配方为顶点式，得到原顶点坐标，再根据点的平移规律得到平移后的顶点坐标，用到平移规律：向右平移，横坐标增加，纵坐标不变． 【详解】解：， 原抛物线的顶点坐标为， 抛物线向右平移个单位长度，顶点平移规律与点的平移规律一致，向右平移横坐标加，纵坐标不变 ， 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 故平移后抛物线的顶点坐标为． 7．B 【详解】解：∵关于的函数是二次函数，二次函数要求二次项系数不为0， ∴， 解得． 8．C 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键； 利用二次函数的顶点坐标特征即可求解． 【详解】解：∵二次函数的形式为时，其顶点坐标为， 又∵抛物线符合（）的形式， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 9．B 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 10．D 【分析】求出点坐标，待定系数法求出函数解析式，结合函数图象，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵点在直线上，且B的横坐标为3， ∴点的纵坐标为3， ∴， ∵轴， ∴， 把，，代入，得 ，解得， ∴， ∴，； 由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，故； 即； 综上：只有选项D错误. 11．B 【分析】分两种情况分类讨论：当时，利用等腰直角三角形的性质得出与的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当时，利用三角形面积公式得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， 过点C作与点H， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上， 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， 故选项B符合题意． 12．C 【分析】根据题意确定运动总时间及分段点，分点在上和上两种情况，分别表示线段的长度及的面积，进而判断各结论． 【详解】解：由题意可知，，， 点到达点所需时间为，到达点所需时间为， 点到达点所需时间为， ∵当点运动到点时，，两点停止运动， ∴． ①当时，，点在上，点在上， 此时，， 过点作于点，则，， ∵， ∴，即点与点重合， ∴，故①正确； ②当时，分两种情况讨论： 当时，点在上，的底为，高为， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， 当时，取得最大值； 当时，点在上，，，， ， ∵对称轴为直线，且，在此范围内随的增大而减小， ∴， 综上，的最大面积为，故②错误； ③令， 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得（舍去），，符合题意． ∴有两个不同的值和满足条件，故③正确． 综上所述，正确的结论有①③，共个． 13． 【分析】本题考查二次函数的性质，先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数单调性结合题目条件推导得到的取值范围． 【详解】解：已知二次函数，， 根据二次函数对称轴公式，其中二次项系数为，一次项系数， ∴对称轴为：， ∵当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上，即，此时对称轴右侧，当时，随的增大而增大； ∴． 故答案为：． 14．或 【详解】解：∵， ∴， ∴不等式的解集是或． 15． 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，即可比较大小． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：，点到对称轴的距离：， ，点到对称轴的距离越大，函数值越大， ． 16．/ 【分析】本题考查二次函数实际应用中的喷泉问题，解题的关键是根据题意得到点的坐标．先用待定系数法求出图中第一象限内的抛物线对应的函数关系式，再令求出即可． 【详解】解：选择图中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式， 由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线对应的函数关系式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线对应的函数关系式为， 当时， ， 即， 故答案为：， 17．(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 18．(1)，； (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及对称性、顶点坐标的确定及二次函数表达式的求解，关键是利用二次函数的对称性快速定位对称轴与顶点，再选择合适的表达式形式简化计算． （1）通过表格中纵坐标相同的两个点，计算得到二次函数的对称轴，结合表格数据直接得出顶点坐标；再利用对称性找到的对称点，进而求出的值； （2）已知顶点坐标，优先选择顶点式设函数表达式，代入表格中一个已知点求解出参数即可． 【详解】（1）解：∵当时，时， ∴二次函数的对称轴为直线， 又∵时， ∴二次函数图象的顶点坐标为； ∵与关于对称轴对称，且时， ∴； 故答案为：，； （2）解：设二次函数的顶点式为， 将点代入表达式得：，解得， ∴，即． 19．(1)； (2)． 【分析】（1）由题目所给条件可得点的坐标和抛物线顶点坐标，设出其顶点式，把点代入求解即可得到该抛物线的函数表达式； （2）题意为求点的坐标，令（1）中求得的函数表达式值为求解即可． 【详解】（1）解：由题可得，点的坐标为，该抛物线的顶点为， 设该抛物线的顶点式为， 把点代入得，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：令得， 两边同时乘以得， 因式分解得， 解得，， 点的坐标为， 水柱落地点与雕塑的水平距离为． 20．(1) (2)，当时，有最大值，最大值为 【分析】本题考查的知识点是由平行判断成比例的线段、二次函数的最值，解题关键是熟练掌握由平行判断成比例的线段． （1）根据由平行判断成比例的线段得，再代入，，，则可表示出的长； （2）由得出关于的函数表达式，再根据二次函数的最值即可得解． 【详解】（1）解：， ， 又，，， ， ， ； （2）解：，，， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 21．任务一：小菜园的面积能达到平方米，此时米，米； 任务二：当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题关键是准确构建数学模型并合理求解． 任务一：设，则，根据面积关系列出一元二次方程，求解后判断是否符合题意即可； 任务二：建立小菜园面积关于边长的二次函数模型，利用二次函数性质求解面积最大值及对应的边长． 【详解】解：依题意得：米， 任务一：设，则， 若小菜园的面积能达到平方米， 即， ， ， 解得，， 则当米时，米，符合题意； 当米时，，不符合题意； 综上，小菜园的面积能达到平方米，此时米，米． 任务二：小菜园的面积， ， 当时，取最大值，最大值为， 即当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 22．(1) (2)直线； (3) 由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线对称，且当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴函数图象上的点离对称轴越近，其函数值越大， ，， ∵， ∴点比点更接近对称轴， ∴． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据表格容易判断出这个二次函数的对称轴与增减性，逐个判断即可； （2）根据表格判断出这个二次函数的对称轴与增减性，从而判断出的取值范围； （3）结合二次函数的对称轴和增减性，判断和的大小即可． 【详解】（1）解：由表格中的坐标可知，这个二次函数的图象关于直线对称， 点关于对称轴直线的对称点为为， 因此对应的y值应为而非5； 故答案为：． （2）解：由表格中的坐标可知，函数图象的对称轴为直线，且开口向下；当时，的取值范围为； 故答案为：直线；． （3）略 23．(1) (2)当时，有最大值10． 【分析】此题主要考查了用顶点式求二次函数解析式，矩形的性质以及二次函数最值问题，正确表示线段的长度是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，代入求即可； （2）利用（1）中解析式用表示出矩形的周长，再根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：由题意设抛物线的解析式为， 代入得，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）抛物线的对称轴为直线，， ， ， 动矩形的顶点、在抛物线上， ，， 矩形的周长为： ， 当时，有最大值10． 24．(1) (2)此浇水装置不能浇到古树， 令，则， 解得（负值已舍去）， ， 此浇水装置不能浇到古树； (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． （1）根据题意用待定系数法求解析式即可； （2）令，解一元二次方程，求出的与5比较即可； （3）设此浇水装置需向上平移 ，则平移后的解析式为，然后把代入解析式求出即可． 【详解】（1）解：设水流所形成的抛物线的表达式为． 把点代入，得， 解得， 水流所形成的抛物线的表达式为； （2）略 （3）解：喷水装置移动之后水流的形状、大小保持不变， 设此浇水装置需向上平移 ，则平移后的解析式为， 把，代入解析式得，， 解得， 此喷水装置需要向上移动的最小距离是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $