第二十六章 二次函数单元练习题 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册二次函数单元复习卷，以建筑围栏、篮球投篮等现实情境为载体，覆盖定义、图像性质及实际应用，适配单元核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|10|二次函数定义、顶点坐标、图像性质|结合抛物线图像判断系数关系，考查推理意识| |填空|4|参数求解、函数性质综合|通过图像信息分析函数值变化，体现几何直观| |解答|9|实际建模（如围栏面积）、运动轨迹（如排球发球）、最值问题|以新能源遮阳棚等真实场景构建模型，培养应用意识与运算能力|

人教版九年级数学上册第二十六章 二次函数单元练习题 一、单选题 1．下列函数是二次函数的是（　　） A． B．（，，是常数） C． D． 2．下列说法中，不正确的是(　　). A．二次函数中，自变量的取值范围是全体实数 B．在圆的面积公式 中，S是r的二次函数 C． D．是二次函数D.在函数 中，一次项系数为2 3．抛物线的顶点坐标是（　　）． A． B． C． D． 4．如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 5．对于抛物线，下列说法错误的是（　　） A．对称轴是直线 B．顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．当时，的最小值为1 6．如图所示，抛物线的对称轴为直线，与y轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论： ①；②当时，y随x增大而增大； ③方程的两个根是：，； ④方程有一个实根大于2； ⑤．其中结论正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 7．如图，函数经过点，对称轴为直线：①；②；③；④；⑤若点、在抛物线上，则；⑥（m为任意实数），其中结论正确的有（　　）个 A．2 B．3 C．4 D．5 8．抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法，其中正确的个数有（　　） ①②③（为全体实数）④若图象上存在点和点，当时，满足则的取值范围为． A． B． C． D． 9．如图，抛物线 上有两点A，B，且AB∥x 轴，直线 AB 与y 轴交于点(0，8)，x 轴上有两点D(3，0)，C(7，0)，且四边形 ABCD 是平行四边形，则常数a 的值为(　　) A．1 B．1.5 C．2 D．3 10．如图，二次函数的图象关于直线对称，与轴交于两点，若，则以下四个结论：①；②；③；④．正确结论的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．若是二次函数，则的值为　 　． 12．若函数是二次函数，则　 　． 13．二次函数的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若点，在抛物线上，当，时，则有；④若此抛物线过点，则一定是方程的一个根．其中正确结论的序号是　 　 ． 14．已知二次函数 的图象开口向下，且与轴交于、两点．若点在该函数图象上，且，则的取值范围是　 　． 三、解答题 15．如图，小明想用长100米的一段围栏，在一段笔直且足够长的墙下围一块矩形的菜地，用墙作矩形的一边，围栏作矩形的另外三边．设围成矩形时所用墙的长为米，对应矩形的面积为平方米． （1）求和的函数关系式，并指出的取值范围； （2）围成的矩形有没有最大面积？如果有，当取何值时有最大面积，并求出最大面积． 16．某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． （1）求出抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 17．把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． （1）试确定，，的值； （2）指出二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 18．某商场销售一种进价为元千克的水产品，经过一段时间的销售发现日销量（千克）与售价（元）有如图所示关系（商场规定销售利润率不得超过%）： （1）根据图象，直接写出与之间的函数关系式； （2）要想获得每天元的销售利润，售价应定为多少？ （3）该水产品售价定为多少时，每天获得销售利润最大？最大利润为多少？ 19．已知抛物线（a，b，c为常数，且）． （1）若该抛物线经过点，． ①求抛物线的对称轴． ②已知该抛物线与x轴只有一个交点，求a的值． （2）若该抛物线经过点，且当时，y的最大值为；当时，，求a的值． 20．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 21．排球场的长度为，球网在场地中央且高度为． 排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：） 近似满足函数关系． （1）某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 竖直高度 ①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系； ②判断该运动员第一次发球能否过网，并说明理由． （2）该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度（单位：） 与水平距离（单位：） 近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由． 22．如图，小明准备围一个矩形菜园，它的一边是墙（墙最长可利用8米），其余三边用长为15米的围栏，并在段留有1米宽的门． （1）要使菜园的面积为30平方米，求段的长． （2）求当的长为多少米时，围成的矩形菜园面积最大． 23．综合与实践： 近期，全国多地新能源汽车充电站迎来升级改造，遮阳棚成为标配设施，其为车主提供更舒适、安全的充电环境．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点B为该抛物线的最高点，点B到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点A到地面的距离为2米，且点A，B的水平距离为6米． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）现有一辆新能源客车需要充电，图2是该车的截面图，已知车身长约5.4米，车厢的最高点与遮阳棚接触点P离地面约2.36米．请通过计算说明这辆新能源客车是否可以完全停进遮阳棚的正下方． （3）为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚内侧安装钢架．如图3，钢架分两段，其中一段连接点A与点B，然后在中点处取点D，在钢架和棚顶之间竖直安装第二段钢架，直接写出第二段钢架的长． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：A、是一次函数，故该选项不符合题意； B、，当时是二次函数，故该选项不符合题意； C、是二次函数，故该选项符合题意； D、是一次函数，故该选项不符合题意． 故答案为：C． 【分析】形如“y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）”的函数就是二次函数，形如“y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)”的函数就是一次函数，据此逐一判断得出答案. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：A、二次函数中，自变量的取值范围是全体实数，故A不符合题意； B、在圆的面积公式中，S是t的二次函数，故B不符合题意； C、是二次函数，故C不符合题意； D、在函数中，一次项系数为0，故D符合题意. 故选：D. 【分析】根据二次函数的定义逐项进行判断，即可得出答案. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 【分析】根据二次函数的顶点式性质即可求出答案. 4．【答案】B 5．【答案】D 【解析】【解答】解：，， A：抛物线，对称轴为直线，故该选项不符合题意； B：抛物线，顶点坐标为，故该选项不符合题意； C：抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故该选项不符合题意； D：顶点坐标为，函数有最大值，最大值为，故该选项符合题意． 故选：D． 【分析】 对于二次函数，其对称轴为，顶点坐标为，当a>0时抛物线开口向上，函数有最小值k，且在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；反之，当a<0时抛物线开口向下，函数有最大值k，且在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ABCD为平行四边形 ∴AB=CD=7-3=4 设y=8，得，解得x1=，x2= CD=x2-x1=，得a=2. 故答案：C. 【分析】由平行四边形的性质知AB=CD=4，令y=8可得x的值，由此可得a的值. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，与轴的交点在轴下方，， ，，，故①错误； 由题意可知时，，，，故②错误； ∵图象关于直线对称，，∴，③正确； ，，， ，，④正确； 故选：C． 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质及相关结论的判断。具体分析如下： 关于结论①：通过分析抛物线的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴位置，可以确定系数的符号关系，从而判断该结论的正确性。 关于结论②：当时，由可得不等式，由此可判断该结论成立。 关于结论③：利用抛物线的对称性可得出该结论成立。关于结论④：由对称轴为可得，代入后即可验证该结论的正确性。 综合以上分析即可得出最终答案。 11．【答案】 12．【答案】3 13．【答案】②④ 14．【答案】 15．【答案】（1） （2）当时矩形有最大面积，最大面积为1250平方米 16．【答案】（1）解：根据题意，将球出手点、最高点和篮圈的位置标点如下： 则，， ∴设二次函数解析式为， 则将点A代入可得，16a+4=， 解得：a=， ∴抛物线的解析式为； （2）解：此球能否准确投中， 理由：根据题意可知，点C的坐标为（7，3）， 将x=7代入得，， ∴点C在抛物线上， ∴此球一定能投中. 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线解析式求得的值，进而即可得出答案． （1）解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 17．【答案】（1）解：把二次函数先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到原二次函数的解析式为， 所以，，； （2）解：由（1）得，，， ∴抛物线的解析式为 ∴该函数对称轴为直线，顶点坐标为； ∵二次函数中，， ∴图象开口向下. 【解析】【分析】（1）根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”由平移后抛物线的解析式反方向移到即可得到原抛物线的解析式； （2）根据（1）可得原抛物线的解析式，然后根据抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标为(h，k)，对称轴直线为x=h，当a＞0时图象开口向上，当a＜0时，图象开口向下，解答即可. （1）解：二次函数的图象的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为， 所以原二次函数的解析式为， 所以，，； （2）解：二次函数，即 ∵， ∴图象开口向下， 二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 18．【答案】（1） （2）销售单价应定为元千克 （3）销售单价为元千克时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 19．【答案】（1）解：①∵抛物线过点，， ∴抛物线的对称轴是直线． ②由①对称轴是直线， ∴， ∴抛物线为， ∵抛物线过， ∴． ∴抛物线为． ∵该抛物线与x轴只有一个交点， ∴． ∴（舍去）或． ∴． （2）解：∵该抛物线经过点，且当时，， ∴抛物线的顶点为． 又∵当时，y的最大值为， ∴抛物线过． 又设抛物线为， ∴． ∴． 【解析】【分析】 （1） ①由于抛物线上两点的纵坐标相同，可由抛物线的对称性得其对称轴是直线即可； ②因为抛物线交y轴于点，则，再结合①的结果可得抛物线解析式为，则由已知可得，即可求得a； （2）因为当时，，即抛物线有最大值p，则抛物线开口向下，顶点坐标为，则可设抛物线解析式为，即抛物线的对称轴为y轴，且在对称轴左侧，y随x的增大而增大；又因为当时，y的最大值为，则抛物线经过点，再利用抛物线上点的坐标特征可得，即． （1）解：①∵抛物线过点，， ∴抛物线的对称轴是直线． ②由①对称轴是直线， ∴， ∴抛物线为， ∵抛物线过， ∴． ∴抛物线为． ∵该抛物线与x轴只有一个交点， ∴． ∴（舍去）或． ∴． （2）解：由题意，∵该抛物线经过点，且当时，， ∴抛物线的顶点为． 又∵当时，y的最大值为， ∴抛物线过． 又设抛物线为， ∴． ∴． 20．【答案】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值； （2）①根据图示，矩形鸡场的长为米， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴矩形鸡场的面积为； ② ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值， ∴当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米． 【解析】【分析】本题以配方法的应用为背景，考查了利用完全平方公式求代数式的最值及二次函数模型在实际问题中的最值求解。 （1）通过配方将二次三项式转化为完全平方式加常数的形式，利用平方的非负性求最值。 （2）①根据篱笆总长和墙长表示矩形面积，并确定自变量取值范围；②将面积表达式配方，利用二次函数性质求最大值及对应边长。 21．【答案】（1）①由表中数据可得顶点， 则， 把代入得：， 解得：， 所求函数关系为； ②能， 当时，， 该运动员第一次发球能过网 （2）判断：没有出界， 在中，令，则， 解得：（舍），， ， 没有出界 【解析】【分析】（1）①分析表格得到抛物线顶点，然后利用待定系数法求函数解析式即可； ②把代入，求得y的值，再与球网高度比较解题； （2）令，求出抛物线与轴的交点即可解题． （1）①由表中数据可得顶点， 则， 把代入得：， 解得：， 所求函数关系为； ②能， 当时，， 该运动员第一次发球能过网； （2）判断：没有出界， 在中，令，则， 解得：（舍），， ， 没有出界． 22．【答案】（1）的长为5米 （2）当为4米时，可以使围成的矩形菜园面积达到最大值，最大值为32平方米 23．【答案】（1）解：根据题意，抛物线的顶点为， 设y与x的函数关系式为， ∴抛物线的函数关系式为. ∵点A的坐标为， ∴， 解得， 所以抛物线的函数关系式为 （2）解：根据题意，设点，得， 解得， ∴， 所以这辆新能源客车不可以完全停进遮阳棚正下方 （3）（米） 【解析】【解答】（3）解：设直线的关系式为， 将点、代入关系式，得 解得：， ∴直线的关系式为， ∵点D是的中点， ∴点D的横坐标为3， ∴点D的纵坐标为． 当时，， 所以（米）． 【分析】本题以新能源汽车充电站遮阳棚为背景，考查了二次函数的实际应用、待定系数法求解析式、函数值的计算及直线与抛物线的交点问题。 (1) 设抛物线的顶点式，代入点A坐标求出a，得到解析式。 (2) 将车厢最高点高度代入抛物线求对应的x，结合车长判断是否能完全停进。 (3) 先求直线AB的解析式，再根据中点坐标及垂直关系求CD的长度。注意利用几何关系进行求解。 （1）解：根据题意，抛物线的顶点为， 设y与x的函数关系式为， ∴抛物线的函数关系式为. ∵点A的坐标为， ∴， 解得， 所以抛物线的函数关系式为； （2）解：根据题意，设点，得， 解得， ∴， 所以这辆新能源客车不可以完全停进遮阳棚正下方； （3）解：设直线的关系式为， 将点、代入关系式，得 解得：， ∴直线的关系式为， ∵点D是的中点， ∴点D的横坐标为3， ∴点D的纵坐标为． 当时，， 所以（米）． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $