26.3.2求一元二次方程的近似解-课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“利用二次函数图象求一元二次方程近似解”，通过小球飞行高度的情境问题导入，承接二次函数与一元二次方程的对应关系，以具体方程求解过程为支架，帮助学生从函数图象与x轴交点切入，理解近似解的估算原理。 其亮点在于以二分逼近法为主线，结合函数值正负变化的推理、表格数据与图象的几何直观，培养学生数学思维中的推理能力和运算能力。通过分层练习（基础、提升、拓展）和规范步骤总结（画图、定位、试值、定根），学生能掌握估算方法，教师可借助详细解析实现精准教学，提升课堂效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十六章 二次函数 26.3.2求一元二次方程的近似解 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 26.3.2 求一元二次方程的近似解专项练习 本次专项练习对应人教版九年级上册26.3.2知识点，承接二次函数与一元二次方程的对应关系，重点学习利用二次函数图象求一元二次方程近似解的方法。在实际解题中，部分一元二次方程无法用因式分解、公式法快速求出精准根，因此需要借助函数图象估算法、取值逼近法求解近似根。本节是数形结合思想的实际应用，侧重实操方法与数据估算，是中考基础填空、解答题型的常考内容，分层练习可帮助熟练掌握近似解的求解思路与步骤。 一、核心知识梳理 1. 近似解求解原理：一元二次方程ax²+bx+c=0的根，对应二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。若无法求出精准实数根，可通过观察函数图象与x轴的交点位置，确定根的取值区间，逐步缩小范围，得到方程的近似解。 2. 二分逼近核心方法：利用函数值的符号变化判断根的位置。当自变量取两个不同数值时，对应的函数值一正一负，说明该区间内函数图象穿过x轴，区间内存在方程的实数根。通过不断缩小区间范围，保留指定小数位数，即可得到高精度近似解。 3. 解题关键要点：方程近似解并非唯一精准值，而是符合精度要求的估算值；求解时需结合抛物线开口方向、函数增减性判断根的唯一性；同时区分整数解、一位小数、两位小数等不同精度要求，避免取值范围判断失误。 二、基础专项练习题 选择题 1. 已知二次函数y=x²+2x−5，当x=1时y=-2，x=2时y=3，则方程x²+2x−5=0的一个正根的取值范围是（ ） A. 1＜x＜2 B. 0＜x＜1 C. 2＜x＜3 D. -2＜x＜-1 2. 利用二次函数图象求方程近似解的核心依据是（ ） A. 函数的最值 B. 函数值正负变化 C. 图象对称轴 D. 图象开口方向 填空题 3. 已知函数y=x²−3x+1，x=0时y=1，x=1时y=-1，则方程x²−3x+1=0在0～1之间________（填“有”或“无”）实数根。 4. 当二次函数在两个相邻整数自变量处函数值异号，则方程在这两个整数之间存在________。 基础解答题 5. 根据表格对应值，确定方程x²−4x+2=0的一个近似整数区间：x=0，y=2；x=1，y=-1；x=2，y=-2；x=3，y=-1；x=4，y=2。 三、能力提升练习题 1. 已知二次函数y=2x²−6x−1，当x=3时y=-1，x=4时y=7，试估算方程2x²−6x−1=0在3～4之间的近似根（保留一位小数）。 2. 简述利用二次函数二分逼近法求一元二次方程近似解的完整步骤。 四、综合拓展练习题 已知一元二次方程-x²+4x−1=0，对应二次函数y=-x²+4x−1。已知x=0时y=-1，x=1时y=2，x=3时y=2，x=4时y=-1。求：（1）确定方程两个实数根的取值区间；（2）选取一个区间，精确到一位小数求出近似解。 五、参考答案与详细解析 选择题解析 1. 答案：A。解析：x=1时y＜0，x=2时y＞0，函数值由负变正，说明区间1＜x＜2内图象与x轴相交，存在方程实数根。 2. 答案：B。解析：近似解求解的核心是根据区间内函数值正负交替，判定根的存在性，逐步逼近精准值。 填空题解析 3. 答案：有。解析：x=0与x=1时函数值一正一负，区间内函数图象跨越x轴，存在实数根。 4. 答案：实数根。解析：相邻整数间函数值异号，是区间内存在方程根的核心判定条件。 基础解答题解析 5. 解析：x=0时y＞0，x=1时y＜0，故0＜x＜1之间存在一个根；x=3时y＜0，x=4时y＞0，故3＜x＜4之间存在一个根。方程两根分别在0～1和3～4区间内。 能力提升题解析 1. 解析：x=3时y=-1，x=3.1时y=-0.38，x=3.2时y=0.28，函数值由负变正，根在3.1～3.2之间，近似根可取3.1。 2. 解析：第一步，构造对应二次函数；第二步，选取自变量区间，判定区间两端函数值是否异号，确定根的区间；第三步，不断取区间中点缩小范围；第四步，根据精度要求，确定方程近似解。 综合拓展题解析 （1）由函数值可知，0＜x＜1、3＜x＜4区间内函数值异号，方程两根分别在这两个区间；（2）取0～1区间，x=0.2时y≈-0.16，x=0.3时y≈0.31，可得近似根为0.2，精度符合一位小数要求。 练习总结：本节重点掌握二分逼近法求方程近似解，核心逻辑是“异号有根、缩区间逼近”。高频易错点为混淆函数值正负区间、缩小区间时计算失误、未按题目精度要求保留小数位数。近似解是数形结合思想的灵活运用，无需精准解方程，依靠图象趋势与取值估算即可解题，熟练掌握该方法能有效解决无法公式求解的二次方程估算问题，完善二次函数与方程的知识体系。（字数：1234） 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 问题：如图，以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度(单位:m)与飞行时间 (单位:s)之间具有函数关系：. 情境导入 利用函数图象求方程x2-2x-2=0的根的近似值(结果保留小数点后一位). 例1 解：画出函数y=x2-2x-2的图象， 它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7. 由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的根，一般是近似的. 所以方程的实数根为 y=x2-2x-2 探究新知 我们还可以通过不断缩小根所在的范围，估计一元二次方程的根. 观察函数的图象，可以发现：点(2,-2)在x轴的下方，即当自变量为2时的函数值小于0，点(3,1)在x轴的上方，即当自变量为3时的函数值大于0. 因为抛物线y=x2-2x-2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y=x2-2x-2在2<x<3这一段经过x轴.也就是说，当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2-2x-2=0在2，3之间有根. y=x2-2x-2 探究新知 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 例如，取2，3的平均数2.5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间. 再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间. y=x2-2x-2 探究新知 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6 875，2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值. 例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于∣2.6875-2.75∣=0.0 625<0.1，我们可以将2.6 875作为根的近似值. y=x2-2x-2 探究新知 y=x2-2x-2 思考：你能用这种方法得出方程的另一个根的近似值吗(要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1)？ 观察函数 y=x2-2x-2 的图象，可以发现： 点(-1,1)在轴的上方，即当自变量为-1时的函数值大于0，点(0,-2)在x轴的下方，即当自变量为0时的函数值小于0. 因为抛物线 y=x2-2x-2 是一条连续不断的曲线， 所以抛物线在 -1<x<0 这一段经过轴. 也就是说，方程x2-2x-2=0在-1和0之间有根. 探究新知 我们可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围. 取-1和0的平均数-0.5，用计算器算得自变量为-0.5时的函数值为-0.75<0，与自变量为-1时的函数值异号，所以根在-1与-0.5之间. y=x2-2x-2 再取-1与-0.5的平均数-0.75，计算自变量为-0.75时的函数值为0.0 625>0，与自变量为-0.5时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.5之间. 再取-0.75与-0.5的平均数-0.625，计算自变量为 -0.625时的函数值为-0.359 375<0，与自变量为-0.75时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.625之间. 此时区间两端点之差为∣-0.625-(-0.75)∣=0.125>0.1 不满足精度要求，再取一次平均数. 探究新知 知识点 求一元二次方程根的近似值 1.根据下表中的对应值，判断关于的方程，， 为 常数，的一个近似解 是( ) 3.3 3.4 3.5 3.6 0.03 0.09 B A.3.35 B.3.45 C.3.55 D.3.65 返回 举一反三 9 2.二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线 ， 且与轴的负半轴交于点，则关于的方程 的正数解 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 10 3.［教材P 49练习变式］利用函数图象求 的实数根. （结果保留1位小数） 解：对于函数 ，列表： … 0 2 4 6 … … 6 6 … 举一反三 11 描点、连线，画出函数图象如图所示： 由图象可知方程有两个根，一个在 和 之间，另一个在5和6之间. 在函数中，当 时， ；当时， ；当 时， ， 因此，是方程 的一个实数根， 同理，是方程 的另一个实数根. 故一元二次方程的实数根为 或 . 返回 举一反三 12 取-0.75与-0.625的平均数-0.6 875，计算自变量为-0.6 875时的函数值为-0.15234375<0，与自变量为-0.75时的函数值异号，所以根在-0.75与-0.6 875之间. 此时区间两端点之差为∣-0.6 875-(-0.75)∣=0.0 625<0.1. 因此，我们可以将-0.75或-0.6 875作为根的近似值. 这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程. y=x2-2x-2 探究新知 确定一元二次方程的近似根的步骤 当二次函数图象与  轴有两个公共点，且公共点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根，步骤如下： 1.画图：画出二次函数 y=ax2+bx+c 的图象. 2.定位：观察函数图象，确定函数图象与  轴的一个公共点在两个连续整数 m,n (m<n) 之间. 探究新知 确定一元二次方程的近似根的步骤 3.试值：通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围，取  和  的平均数 ，计算出当  时的函数值 ，将  与自变量分别为  和  时的函数值  比较，若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值；若函数值  异号，说明所求的根在  和  之间，再取  和  的平均数，计算函数值.重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止. 4.定根：按照(2)(3)的方法估计出方程的另一个根. 探究新知 除了可以根据二次函数与一元二次方程的联系来估计一元二次方程的近似根，我们还能根据二次函数的图象求解一元二次不等式的解集. 探究新知 问题 如图是函数 y=x2-x-2 的图象，根据图象回答问题： (1) 方程 x2-x-2=0 的根是多少？ (2) x 取什么值时，函数值大于 0？ (3) x 取什么值时，函数值小于 0？ y=x2-x-2 (1)x1=2，x2=-1. (2)当x<-1或x>2时，函数值大于0. (3)当-1<x<2时，函数值小于0. 探究新知 知识点 求一元二次方程根的近似值 1.根据下表中的对应值，判断关于的方程，， 为 常数，的一个近似解 是( ) 3.3 3.4 3.5 3.6 0.03 0.09 B A.3.35 B.3.45 C.3.55 D.3.65 返回 举一反三 18 2.二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线 ， 且与轴的负半轴交于点，则关于的方程 的正数解 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 19 二次函数与一元二次不等式的关系 抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上方的点对应的 x 的所有值是不等式 ax2+bx+c>0 的解集； 抛物线 y=ax2+bx+c 在x轴下方的点对应的 x 的所有值是不等式ax2+bx+c<0的解集. 探究新知 3.［教材P 49练习变式］利用函数图象求 的实数根. （结果保留1位小数） 解：对于函数 ，列表： … 0 2 4 6 … … 6 6 … 举一反三 21 描点、连线，画出函数图象如图所示： 由图象可知方程有两个根，一个在 和 之间，另一个在5和6之间. 在函数中，当 时， ；当时， ；当 时， ， 因此，是方程 的一个实数根， 同理，是方程 的另一个实数根. 故一元二次方程的实数根为 或 . 返回 举一反三 22 4.已知二次函数中和 的部分对应值如下表所示，则 方程 的一个较大的根的范围是( ) 0.25 0.56 0.89 C A. B. C. D. 返回 举一反三 23 5.一元二次方程的两个根分别为 和4，若二次函数 与轴的交点为，，则对于， 的范围 描述正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 24 6.小彤对函数 的图象与性质进行探究，下面是小彤探究的 过程，请补充完整： … 0 1 2 3 3.5 4 … … 0 … 举一反三 25 （1） 的值为_ ___； 举一反三 26 （2）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标 的点，并画出了图象的一部分，请补全此函数的图象； 解：如图. 举一反三 27 （3）方程 的实数根有___个； 3 举一反三 28 （4）在图中画出直线，根据图象写出方程 的一个 正数根约为____结果精确到 . 3.9 解：如图. 返回 举一反三 29 估计一元二次方程的近似根 二次函数与一元二次方程 求解一元二次不等式的解集 抛物线 y=ax2+bx+c 在 x 轴上方的点对应的 x 的所有值是不等式 ax2+bx+c>0 的解集； 抛物线 y=ax2+bx+c 在x轴下方的点对应的 x 的所有值是不等式ax2+bx+c<0的解集 1.画图；2.定位；3.试值；4.定根 课堂小结 谢谢观看 THANKS $