第十五章 轴对称 单元卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦轴对称核心知识，以文化传承与项目实践为特色，适配初中数学第十五章复习，全面考查几何直观、推理意识与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别（如古代数学发现图）、性质辨析、垂直平分线应用|基础巩固，融入文化素材| |填空题|6/18|折叠性质、坐标对称、垂直平分线与周长计算|能力提升，强化空间观念| |解答题|8/72|对称作图、等腰三角形证明、项目式风筝设计（含网格作图、面积计算）|创新应用，体现数学眼光与实践意识|

第十五章轴对称（解析版) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、我国古代数学的发展历史源远流长，在历代数学家的不解探索中，诞生了很多重大的数学发 现.下列有关我国古代数学发现的图示中，不是轴对称图形的是() 【答案】C 【详解】解：A.是轴对称图形，不符合题意； B.是轴对称图形，不特合题意； C.不是轴对称图形，符合题意； D,是轴对称图形，不符合题意； 2、在下列说法中，正确的是( A.如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称 B.如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C.成轴对称的两个图形的对应点一定在对称轴的两侧 D.成轴对称的两个图形可以有多条对称轴 【答案】B 【详解】 A、全等的三角形不一定是成轴对称，而成轴对称的两个三角形一定是全等的；故A错误. B、成轴对称的两个三角形一定是全等的；故B正确. C、成轴对称的两个图形的对应点不一定都在对称轴的两侧，有可能在对称轴上；故C错误. D、成轴对称的图形的对称轴只有一条；故D错误， 1 3、三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个体育公 园，要使体育公园到三个村庄的距离相等，那么这个体育公园应建的位置是() A.三条高线的交，点 B.三条中线的交点 C,三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：，体育公园到三个村庄的距离都相等， ∴.体育公园应该在△ABC三条边的垂直平分线的交，点处， 4、如图，已知△ABC与△AB'C关于直线l对称，∠B=110°，∠A=25°，则∠C的度数为() B A.25° B.110° C.70° D.45° 【答案】D 【详解】解：△ABC与△AB'C'关于直线I对称， .△ABC≌△AB'C', .∠A=∠A=25°， .∠C=180°-∠A-∠B=180°-25°-110°=45° 5、如图1所示是中国古代的一种打击乐器编钟.老师绘制了从正面看到的编钟形状的一部分.如 图2所示，操作如下：将四边形ABFE沿直线I翻折.点A,B的对应点分别为A,B,其中，点A, E,A三点在同一条直线上.则下列说法不正确的是（) 2 B 图1 图2 A.∠AEF=90° B.AB=AB C.∠BFE=∠B'FE D.∠A+∠A=180° 【答案】D 【详解】解：：将四边形ABFE沿直线翻折，点A,B的对应，点分别为A,B' ·.∠AEF=∠AEF=90°，AB=AB',∠BFE=∠B'FE 选项A,B,C都正确； 选项D不一定成立，故选项D符合题意； 6、如图，等腰△ABC的周长为20，底边BC=8,AB的垂直平分线DE交AB于，点D,交BC于点E ,连接AE，则△AEC的周长为() B A.11 B.12 C.13 D.14 【答案】D 【详解】解：等腰△ABC的周长为20，底边BC=8, 4c=AB=20-8)-6 AB的垂直平分线DE交AB于点D,交BC于，点E, .EA=EB ∴.△AEC的周长为AC+AE+EC=AC+BE+EC=AC+BC=6+8=14, 一3— 7、如图，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=40°，AD⊥BC于点D,,点E为AC中，点，AD与BE交于 点F,则∠BFD的度数为() F E B D C A.25° B.50° C.60 D.70° 【答案】D 【详解】解：在△ABC中，AB=BC,∠ABC=40°，点E为AC中，点， ∴.BE平分∠ABC ∠DBF= ∠ABC= ×40°=20° 2 2 AD⊥BC, .∠ADB=90° ∴.∠BFD=90°-∠DBF=90°-20°=70°； 8、如图，△ABC和△4B,C关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段A4的垂直平分线；② 直线m被线段BB垂直平分；③连接AC,AC,则4C=AC.其中结论正确的是() m B A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 【答案】C 【详解】解：如图： 一4 B 由轴对称的性质可得：①直线m是线段A4的垂直平分线，故正确； ②直线m不会被线段BB垂直平分，故错误； ⑧连接AC,AC,则AC=AC,故正确； 综上所述，正确的有：①③， 9、如图，在锐角△ABC中，AB=6,△ABC的面积为18，BD平分∠ABC,若E,F分别是BD, BC CE+EF 上的动点，则 的最小值为() A D E B A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【详解】解：过，点C作CP⊥AB于点P,交BD于，点E,过，点E作EF LBC于F, A P D E B F F :BD平分∠ABC,PE⊥AB,EF LBC, .'PE=EF .CP=CE+PE=CE+EF,此时取最小值. 5 △ABC的面积为18，AB=6, 6xCP-15 .CP=6 即CE+EF的最小值为6， 10、已知：如图，△ABC中，，点D是AB边上一点，∠BDC=90°，BD=CD,BE平分∠ABC,且 BE上4C手5，与D相支于点F,若DH LBC于”，交6于点0.有以T钻论 G ①BF=AC；②∠ECF=30°；③若连接AF,则AF∥DH;④，点G是BE的中点；⑤△ABE与 △CBE 成轴对称.以上五个结论中正确的是（） D G B H A.①③⑤ B.①④⑤ C.①②③⑤ D.①③④⑤ 【答案】A 【详解】解：∠BDC=90°，BD=CD、 .∠DBC=LDCB=45°，∠ADC=90°， BE⊥AC, .∠BEC=∠BDC=90° 又.∠BFD=∠CFE, .∠DBF=∠DCA, .BD=CD,∠ADC=∠BDC=9O° .△BDF≌△CDA,故①正确； :BE平分∠ABC, —6 ∠DBF=1∠DBC=22.50 2 .∠ECF=22.5°；故②错误； 连接AF,CG 5 D ·.:△BDF≌△CDA :.AD=DF; .∠AFD=45° .·DH⊥BC,BD=CD DMH垂直平分BC, CDH2∠BDC=45=∠DFA .BG=CG,AF∥DH,故③正确； 在R△CGE中，CG>EG .BG>EG,故④错误； BE⊥AC,BE平分∠ABC, .∠BEC=∠AEC,∠ABE=∠CBE 又BE=BE, ∴.△AEB≌ACEB .AE=CE, .BE垂直平分AC, .△ABE与△CBE成轴对称，故⑤正确； 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7 11、如图，将四边形ABCD沿AP所在直线折叠，得△POA,点Q位于CD上；再将△PCQ △1D0分列沿PO、0折金，得△PR0与△10，点R位于MP上，则∠0PH=°. D R 【答案】60 【详解】解：由折叠的性质可知，∠BPA=∠QPA,∠QPC=∠QPA, ∴.∠BPA=∠OPA=∠QPC :∠BPA+∠QPA+∠QPC=180° ∴.3∠QPA=180° ∴.∠QPA=60° 故答案为：60. 12、已知A(a-2,-l)与，点B(-1,b+2)关于x轴对称，则a+b= 【答案】0 【详解】解：A(a-2,-)与点B(,b+2)关于x抽对称， 故0-2=-1，b+2=1, 解得=1，b=-1 故a+b=1-1=0, 故答案为：0. 13、如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC,BC于，点D,E,若△ABC的周长为30， ，则4ABD BE=5 的周长为」 —8 D E 【答案】20 【详解】解：DE是BC的垂直平分线， .DB=DC,BE=EC (线段垂直平分线上的，点到线段两端的距离相等)· BE=5. .BC=BE+EC=2BE=10 :△ABC的周长为30，即AB+BC+AC=30, .AB+AC=30-BC=30-10=20, :△ABD的周长=AB+BD+AD,且BD=DC, .△ABD的周长=AB+DC+AD=AB+AC=20. 故答案为：20」 14、如图，在等边△ABC中，D是BC上一，点，DE L AC于，点E,若∠DAE=45°，则∠ADC的度 数为」 B 【答案】75° 【详解】解：△ABC是等边三角形， ∴.∠BAC=∠B=60° ∠DAE=45° 9 ∴.∠BAD=∠BAC-∠DAE=15° .∠ADC=∠BAD+∠B=15°+60°=75° 故答案为：75° 15、如图，已知AD是△ABC的中线，点E是AC上的一，点，BE交AD于，点F,AC=BF, ∠CAD=26°∠EBC=30°∠ACB 的度数为一· B 【答案】98 【详解】解：如图，延长AD到M,使得DM=AD,连接BM, B D 在△BDM和△CDA中， DM=DA ∠BDM=∠CDA BD=CD .△BDM≌aCDA(SAS) ∴.BM=AC∠M=∠CAD=26°∠ACD=∠MBD .BF=AC .∴.BF=BM .∠M=∠BFM=26 -10 .∠MBF=180°-∠M-∠BFM=128° :∠EBC=30° ∴.∠DBM=∠MBF-∠EBC=98° ∴.∠ACB=∠DBM=98° 故答案为：98 16、如图，已知∠BAC=45°，D为∠BAC内一点，且AD=8,若，点D关于AB,AC的对称，点分别记 作，点E,F,连接EA FA EF，则△AEF的面积为 B 【答案】32 【详解】解：如图所示， E B :点D关于AB,AC的对称点分别记作点E,F, ·EA=FA=DA,∠EAB=∠DAB,∠FAC=∠DAC 又：∠BAC=45°，AD=8 .EA=FA=DA=8,∠EAF=2x45°=90° 1 ×8×8=32 .△AEF的面积为2 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分，22-24，每题10分，解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 —11 17、在如图所示的直角坐标系中，已知4,4)，B3,),C(5,5) 3 -5-4-3-2-10 2345x 2 -3 (1)在图中画出△ABC,以及△ABC关于y轴成轴对称的△DEF; (2)△ABC的面积是多少？ (3)在x轴上找一点P,使得PB+PC的值最小 【答案】(1)见详解(2)7(3)，点P的位置见详解 【详解】(1)解：如下图所示，△ABC、△DEF即为所求的三角形. yA D 4 A 3 -2 1 -5-4-3-2-1012345x Sc=4x4- (2)解：由题意可得： 42*2x4-月x2×3=7 21x4 21 (3)解：如图，，点P即为所求. 12 3 -5-4-3-2-10 1 245x -1 B 2 3 5 18、在等腰△ABC中，AB=AC,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.已知∠CAD=20°， 求∠ACE的度数. E D 【答案】35° 【详解】解：AD是△ABC的中线，且AB=AC, .AD⊥BC ∠ADC=90° 即 :∠CAD=20° ∴.∠ACB=90°-∠CAD=70° .CE 是△ABC的角平分线， 24cE-4c8=3 19、如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中，点，DE平分∠ADC,AB=6cm，DC=2cm,求AD的 长 —13 【答案】8cm 【详解】解：如图，延长DE、AB交于F, D E .∠ABC=∠C=90° ·∠EBF=∠C=90°AB∥CD 点E是BC的中点， .BE=CE 在△BEF和△CED中， ∠EBF=∠C BE=CE ∠BEF=∠CED' ∴.△BEF≌aCED(ASA) :BF=CD=2 EF=ED 3 CD∥AB ∴.∠F=∠CDE .DE ∠ADC 平分 .∠CDE=∠ADE, .∠ADE=∠F, —14 .'AD=AF=BA+BF=6+2=8cm 20、如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD LBC于D,BF平分∠ABC分别与AD,AC 交于点E，F A B (1)求证：△AEF是等边三角形； (2)若AF=2,求CF的长. 【答案】(1)见详解(2)4 【详解】(1)证明：：∠BAC=90°，∠C=30°， .·∠ABC=180°-∠BAC-∠C=60°， :BF平分∠ABC, CBF=∠ABF=)∠ABC=30° AD LBC, .∠ADC=90°， ∴.∠CAD=90°-∠C=90°-30°=60° .∠AFB=∠CAD ∴.AE=EF, .△AEF是等边三角形； (2)解：由(1)知△AEF是等边三角形，AF=2, .'AE=EF =AF=2, ·.:∠BAD=∠BAC-∠CAD=90°-60°=30° .∠BAD=∠ABF, 15 .'BE=AE=2, .BF BE+EF=4 :∠FBC=∠C=30° ∴CF=BF=4 21、如图，AD与BC相交于点O,OA=OC,∠A=LC,BE=DE. B 求证： (1)OB=OD; (2)OE垂直平分BD. 【答案】(1)见详解； (2)见详解. 【详解】(1)证明：在△AOB与ACOD中， 「∠A=∠C OA=OC ∠AOB=∠COD' .△AOB≌△COD(ASA), ..OB=OD (2)证明：由(1)得△AOB≌△COD, ..OB=OD 点O在线段BD的垂直平分线上， .BE=DE, 点E在线段BD的垂直平分线上， 16 .OE垂直平分BD、 22、如图，在△ABD与△BCD中，AB=AD,CB=CD,∠DAB=60°，过，点C作CE∥BA,交AD 于E,交BD于F,连结AC,交BD于H. D H (1)判断ADEF的形状，并说明理由； (2)求证：AC平分∠DAB; (3)若AD=12,CE=8,求CF的长. 【答案】(1)△DEF是等边三角形，理由见详解(2)见详解(3)CF=4, 【详解】(1)解：△DEF是等边三角形，理由如下： ,·AB=AD,∠BAD=60° △ABD是等边三角形. .∠ABD=∠ADB=60° CE∥AB, .∠CED=∠A=60°，∠DFE=∠ABD=60° .LCED=∠ADB=LDFE, .△DEF是等边三角形； (2)证明：AB=AD,CB=CD .AC是BD的垂直平分线， 即AC⊥BD ·AB=AD,∠BAD=60° —17— .∠BAC=∠DAC=30° ∴.AC平分∠DAB; (3)解：CE∥AB .∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°， .AE=CE=8 .DE=AD-AE=12-8=4 ,:△DEF是等边三角形， .EF =DE=4, ∴CF=CE-EF=8-4=4 23、项目式学习 项目主题 设计与制作风筝 风筝制作在中国具有悠久的历史，以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸 项目背景 鸢”，以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程. (1)在正方形网格（如图1)中进行风筝骨架的设计：请你以直线1为对称轴画出 风筝骨架的另一半. D 驱动任务一 B 图1 图2 (2)用细竹条扎制风筝骨架，竹条AC与BD的交，点为O(如图2)，测得AD=CD 驱动任务二 ,AB=CB.下面结论错误的是 (单选题) A.BD平分∠ADCB.△ABO≌△CBOC.BD=ACD,AC L BD 18 (3)将设计与制作的风筝送行试飞，根据试飞结果对风筝（如图2）进一步改良， 驱动任务三 若AC=36cm,BD=50cm,.则风筝ABCD面积是 cm2 (4)为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结，请你写出一条制作 项目小结 过程中用到的数学知识： 【答案】(1)见详解；(2)C;(3)900;(4)在轴对称图形中，对应，点的连线被对称轴垂直平 分 【详解】解：(1)任务一：图形如图所示： 图1 (2)任务二：AD=CD,AB=CB,BD=BD」 ·.△ABD CBD(SSS),BD是AC的垂直平分线； :LADB=∠CDB,即BD平分∠ADC,故A选项结论正确，不合题意； AC⊥BD ，故D选项结论正确，不合题意； :.Rt△ABO≌RtACBO(HI)故B选项结论正确，不合题意； BD、AC 与不一定正确.故C选项结论不正确，符合题意； 故选：C, 14C-BD=号x36×50=900(cm2) (3)任务三：四边形ABCD的面积2 2 故答案为：900； (4)项目小结用到的知识：在轴对称图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分. 故答案为：在轴对称图形中，对应，点的连线段被对称轴垂直平分 19 24、在△ABC中，AB=AC. D B D D 图1 图2 图3 (1)AD是BC上的高，AD=AE. ①如图1，如果∠BAD=30°，则∠EDC=°； ②如图2，如果∠BAD=40°，则∠EDC=。 (2)思考：通过以上两小题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：一· (3)如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE,是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理 由 EDC-B4D 【答案】(1)①15；②20；(2) (3)仍有上述关系，理由见详解 【详解】(1)解：①在△ABC中，AB=AC,，AD是BC上的高， ∴∠BAD=∠CAD :∠BAD=30° .∠BAD=∠CAD=30° .AD=AE ∠ADE=∠AED=75° AD BC 是 上的高， .∠EDC=90°-∠ADE=15° 故答案为：15； ②：在△ABC中，AB=AC,AD是BC上的高， .∠BAD=∠CAD -20 :∠BAD=40° .∠BAD=∠CAD=40° AD=AE ∴.∠ADE=∠AED=70° ∴∠EDC=20° 故答案为：20； (2)解：在△ABC中，AB=AC,AD是BC上的高， .∠BAD=∠CAD AD=AE ∠ADE=∠AED=0s0-∠DaE)=90-<DA5 :AD是BC上的高， .∠ADC=90° DCADEDAE ∠EDC 2 BAD (3)解：仍有上述关系，理由如下： AD=AE ∴.∠ADE=∠AED ∴.∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC =2∠EDC+∠C 又AB=AC, ∴∠B=∠C ∴.∠BAD=2∠EDC 21 EDC-2BAD —22 第十五章 轴对称（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、我国古代数学的发展历史源远流长，在历代数学家的不懈探索中，诞生了很多重大的数学发现．下列有关我国古代数学发现的图示中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2、在下列说法中，正确的是（ ） A. 如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称 B. 如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C. 成轴对称的两个图形的对应点一定在对称轴的两侧 D. 成轴对称的两个图形可以有多条对称轴 3、三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个体育公园，要使体育公园到三个村庄的距离相等，那么这个体育公园应建的位置是（    ） A． 三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 4、如图，已知△ABC与关于直线对称，，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5、如图1所示是中国古代的一种打击乐器编钟．老师绘制了从正面看到的编钟形状的一部分．如图2所示，操作如下：将四边形沿直线翻折．点A，B的对应点分别为，其中点A，E，三点在同一条直线上．则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 6、如图，等腰△ABC的周长为，底边，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 7、如图，在△ABC中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8、如图，△ABC和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③连接，，则．其中结论正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 9、如图，在锐角△ABC中，，△ABC的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 10、已知：如图，△ABC中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论： ①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（   ） A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、如图，将四边形沿所在直线折叠，得，点位于上；再将、分别沿、折叠，得与，点R位于上，则________． 12、已知与点关于x轴对称，则 ． 13、如图，在△ABC中，的垂直平分线分别交，于点，，若△ABC的周长为，，则的周长为 ． 14、如图，在等边△ABC中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 15、如图，已知是△ABC的中线，点E是上的一点，交于点F，，，，的度数为 ． 16、如图，已知，D为内一点，且，若点D关于的对称点分别记作点E，F，连接，则的面积为 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-19，每题8分，20-21，每题9分, 22-24，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 在如图所示的直角坐标系中，已知． (1)在图中画出△ABC，以及△ABC关于y轴成轴对称的△DEF； (2)△ABC的面积是多少？ (3)在x轴上找一点P，使得的值最小． 18、在等腰△ABC中，，，分别是△ABC的中线和角平分线．已知，求的度数． 19、如图，，是的中点，平分，，，求的长． 20、如图，中，，，于，平分分别与，交于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 21、如图，与相交于点，，，． 求证：(1)； (2) 垂直平分． 22、如图，在与中，，，，过点作，交于，交于，连结，交于． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求证：平分； (3)若，求的长． 23、项目式学习 项目主题 设计与制作风筝 项目背景 风筝制作在中国具有悠久的历史．以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程． 驱动任务一 （1）在正方形网格（如图1）中进行风筝骨架的设计：请你以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半． 驱动任务二 （2）用细竹条扎制风筝骨架，竹条与的交点为O（如图2），测得，．下面结论错误的是_________（单选题） A．平分    B．    C．    D． 驱动任务三 （3）将设计与制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝（如图2）进一步改良．若．则风筝面积是_________cm2 项目小结 （4）为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结，请你写出一条制作过程中用到的数学知识：_________ 24、在△ABC中，． (1)是上的高，． ①如图1，如果，则______°； ②如图2，如果，则______°． (2)思考：通过以上两小题，你发现与之间有什么关系？请用式子表示：______． (3)如图3，如果不是上的高，，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $