精品解析：广东湛江市二中海东中学、崇文实验学校、港城中学三校2024-2025学年高二年级第二学期期中考试数学试卷

2024-2025学年第一学期高二年级期中考试 数学学科试卷 一、选择题：本题共 8 道小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量坐标线性运算法则计算. 【详解】. 故选：D 2. 已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得解. 【详解】因为圆心为，半径为5， 所以圆的标准方程为， 故选：C 3. 在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称，则B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点的坐标的特点，即可求出B的坐标. 【详解】由题意在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称， 则B的坐标为， 故选：C 4. 直线（）过定点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将直线方程转化为直线系方程，再求解直线和的交点即可得答案. 【详解】解：根据直线得， 故直线过定点为直线和的交点， 联立方程得，解得 ， 所以定点的坐标为. 故选：B. 【点睛】本题考查直线过定点问题，两直线的交点坐标，考查运算能力，是基础题. 5. 如图，直线的斜率分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由斜率的定义判断大小即可. 【详解】由斜率的定义知，. 故选：D. 6. 圆与直线相交所得弦长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 利用垂径定理可求弦长. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 故弦长为：， 故选：D. 7. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由，即可求出答案. 【详解】连接如下图： 由于是的中点， . 根据题意知. . 故选：C. 8. 已知点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点斜率公式，结合图形以及倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】直线的斜率分别为, 结合图形可知：直线过点且与线段相交时，， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间共面向量定理，结合基底的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】依题意构成空间的一个基底， 对于A选项，由于，所以共面，故A不正确. 对于B选项，由于不存在实数使，所以不共面，B正确. 对于C选项，由于不存在实数使，所以，不共面，故C正确. 对于D选项，由于，所以共面，故D不正确. 故选：BC. 10. （多选）若直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距相等，则该直线的一般式方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】分情况讨论，当直线过原点时直线方程；当直线不过原点时：设直线方程为，代入点求出的值即可得到直线方程． 【详解】解：①当直线过原点时：直线方程为，化为一般式为， ②当直线不过原点时：设直线在两坐标轴上的截距都为，则直线方程为， 又直线过点，代入得，即， 直线方程为：，化为一般式为， 综上所求，直线的方程为或. 故选：BD. 11. 如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且E.若，，，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 所以设，，，，则，． 因为，所以，即，化简得． 当时，显然不符合题意． 故，当且仅当时，等号成立. 故的最小值为． 所以，对照四个选项，可选：BCD. 故选：BCD 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求出，再由坐标计算模长即可； 【详解】，且， ，解得. 故. 故答案为：. 13. 已知圆，则圆C关于直线对称的圆的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆心、半径，进而由已知求出圆心关于直线对称的点的坐标，即可得出答案. 【详解】由已知可得，圆的圆心，半径. 设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即点. 所以，圆C关于直线对称的圆的方程为. 故答案为：. 14. 已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算得到轨迹，再把目标式表示为函数，利用三角函数有界性求解即可. 【详解】 设的中点为，因为动点满足，所以， 即点在以为球心，以为半径的球面上. 因为，所以. 因为正四面体的棱长为4，所以， 在三角形中，，. 取的中点为，， 所以在上的投影向量的模为，所以. 设，夹角为， 所以. 因为， 所以，即的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求； （2）求向量与夹角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据求出坐标，进而求出的坐标，则模可求； （2）求出坐标，然后求数量积，根据数量积可得夹角. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 由（1）可得， ， 向量与垂直， 即向量与夹角的大小为. 16. 已知空间三点，，． （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值． （3）求的面积. 【答案】（1） （2）3或 （3） 【解析】 【分析】（1）计算出向量坐标，根据向量夹角公式，即可求解；（2）根据向量垂直可得数量积为0，解出的值即可；（3）根据三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由已知得：，， ， 所以，向量与的夹角为60°． 【小问2详解】 ，， ∵ ， ∴， ∴，解得或， ∴实数k的值为3或． 【小问3详解】 由（1）得，， 故的面积为. 17. 已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． （1）求； （2）求． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理将所求问题转化为基向量进行计算即可. 【小问1详解】 设，，， 由题意得：，，，，，， ； 【小问2详解】 18. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 19. 在平面直角坐标系中，已知，动点M满足 （1）求M的轨迹方程； （2）设，点N是的中点，求点N的轨迹方程； （3）设M的轨迹与N的轨迹的交点为P、Q，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据向量数量积求解即可得答案； （2）设，，进而根据相关点法求解即可； （3）根据题意得弦由两圆相交得，进而根据几何法弦长即可得答案. 【小问1详解】 解：设，则， 所以，即 所以M的轨迹方程为. 【小问2详解】 解：设，， 因为点N是的中点， 所以，即， 又因为在上， 所以，即. 所以点N的轨迹方程为. 【小问3详解】 解：因为M的轨迹与N的轨迹分别为，，是两个圆. 所以两个方程作差得直线所在的方程， 所以圆到：的距离为， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高二年级期中考试 数学学科试卷 一、选择题：本题共 8 道小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，点B与点关于平面对称，则B的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 直线（）过定点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线的斜率分别为，则（ ） A. B. C. D. 6. 圆与直线相交所得弦长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2 7. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 10. （多选）若直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距相等，则该直线的一般式方程可能为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且E.若，，，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知且，则__________. 13. 已知圆，则圆C关于直线对称的圆的方程为______. 14. 已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为______. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且. （1）求； （2）求向量与夹角的大小. 16. 已知空间三点，，． （1）求向量与的夹角； （2）若，求实数的值． （3）求的面积. 17. 已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，． （1）求； （2）求． 18. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 在平面直角坐标系中，已知，动点M满足 （1）求M的轨迹方程； （2）设，点N是的中点，求点N的轨迹方程； （3）设M的轨迹与N的轨迹的交点为P、Q，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $