精品解析：广东省吴川市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

吴川市第一中学2023-2024学年度第二学期期中考试 高二级数学科试题 一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. （3，4） 2. 复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合对应的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，（ ） A. B. 2 C. D. 5. 若直线与单位圆交于A，B两个不同的点，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 甲乙两名大学生计划今年五一假期分别从岳阳楼，常德桃花源，天门山，长沙橘子洲头，茶峒古镇五个不同的景区随机选三个景区前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 60种 D. 72种 7. 若双曲线的离心率为，右焦点为，点的坐标为，则直线（为坐标原点）与双曲线的交点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不确定 8. 在数列中，已知，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则（ ） A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数为72.5% B. 讲座后问卷答题的正确率的众数为85% C. 讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差 D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 10. 函数的部分图象如图，若的相邻两个零点间的距离为，则（ ） A. B. C. 的零点形成的集合为 D. 的单调递减区间为 11. 定义域为R的函数的导函数为，若是奇函数，，，且，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则________. 13. 小明喜爱踢足球和打羽毛球．在周末的某天，他下午去踢足球的概率为．若他下午去踢足球，则晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，则晚上去打羽毛球的概率为．已知小明在某个周末晚上去打羽毛球，则下午踢足球的概率为______． 14. 已知侧棱长为l的正四棱锥的顶点都在直径为6的同一球面上，则该正四棱锥的体积的最大值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围． 16. 如图，在正三棱柱中，，O为AB的中点，D为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． （1）若，求A两局得分之和为5的概率； （2）若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 18. 已知抛物线的方程为，直线与交于两点，且． （1）求； （2）设的焦点为，直线与交于两点，且以为直径的圆经过，当时，求点到距离的取值范围． 19. 设等比数列：的公比为q，其中都为正奇数，构成单调递增的正项等差数列． （1）求证：； （2）求证：； （3）把用表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴川市第一中学2023-2024学年度第二学期期中考试 高二级数学科试题 一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. （3，4） 【答案】A 【解析】 【分析】求两个集合的交集就是这两个集合的公共元素组成的集合. 【详解】集合，，则 故选：A 2. 复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合对应的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，点的集合对应的图形是一个圆环，从而可求出其面积 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，且， 所以点的集合对应的图形是一个内半径为1，外半径为2的圆环， 所以所求面积为， 故选：C 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】． 故选：C． 4. 在中，已知A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，然后由余弦定理得，求解即可. 【详解】因为，所以设，， 由余弦定理得，， 所以，所以． 故选：B． 5. 若直线与单位圆交于A，B两个不同的点，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系与解三角形相关知识，对两个条件进行正反推理论证，即可得结果. 【详解】若，则圆心到直线得距离， 又半径，， 则，，故，即充分性成立； 若，则是等腰直角三角形，， 则圆心到直线得距离，即， 得，则，即必要性不成立； 综上所述：是的充分不必要条件． 故选：A． 6. 甲乙两名大学生计划今年五一假期分别从岳阳楼，常德桃花源，天门山，长沙橘子洲头，茶峒古镇五个不同的景区随机选三个景区前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 60种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步计数原理，结合排列组合求解. 【详解】先从5个景点选出2个相同的，有种， 再从剩下的3个景点选两个分配给甲乙二人，有， 所以两人恰好有两个景区相同的选法共有种. 故选：C. 7. 若双曲线的离心率为，右焦点为，点的坐标为，则直线（为坐标原点）与双曲线的交点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，求得的坐标和渐近线方程，得到，进而得到直线与双曲线的交点个数. 【详解】因为双曲线的离心率为，且右焦点为， 所以，所以，， 所以的坐标为，且双曲线的渐近线方程为， 又因为，所以直线与双曲线的交点个数为2个． 故选：C 8. 在数列中，已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数列的递推关系构造等比数列求解通项，然后求解即可. 【详解】因为， 所以， 即（常数）， 因为，所以， 所以数列是以4为首项，以4为公比的等比数列， 所以， 所以，所以． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则（ ） A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数为72.5% B. 讲座后问卷答题的正确率的众数为85% C. 讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差 D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过观察这张图，比较讲座前和讲座后居民的答题正确率情况，易于判断数据的中位数，众数和极差，从而确定A,B,D的正误；对于C，主要从数据的离散程度进行判断即得. 【详解】对于A，讲座前的中位数为，所以A正确； 对于B，讲座后问卷答题的正确率有4个85%，其余正确率的个数都小于4．所以讲座后问卷答题的正确率的众数为85%，所以B正确； 对于C，讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差，所以C正确； 对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为，讲座前问卷答题的正确率的极差为，所以D错误． 故选：ABC． 10. 函数的部分图象如图，若的相邻两个零点间的距离为，则（ ） A. B. C. 的零点形成的集合为 D. 的单调递减区间为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由周期即可求解；对于B，由得，再结合且在单调递增区间内即可得解；对于C，令结合正弦函数性质即可求解；对于D，根据正弦函数单调性令并求解即可得解. 【详解】对于A，由已知得最小正周期，又， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以， 又因为，且由图可知在单调递增区间内，所以，故B正确； 对于C，由选项A和B得，令得，， 所以，故C错误； 对于D，令，解得， 所以当时，单调递减，故D正确. 故选：ABD. 11. 定义域为R的函数的导函数为，若是奇函数，，，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用奇函数的性质即可判断A选项；利用抽象函数的赋值法可判定B、C选项；利用赋值法结合抽象函数的奇偶性，周期性即可判断D项. 【详解】对于A，因为为奇函数且定义域为R，所以，所以A错误； 对于B，令，则，解得．所以B正确； 对于C，令得，， 即，所以C正确； 对于D，令得．， 因为，，所以，所以， 因为是奇函数，所以是偶函数，所以， 所以，所以，所以，所以D正确． 故选：BCD． 【点睛】抽象函数性质综合问题一般使用赋值法，通过令,及构造并判定其是否相等，另外结合函数的奇偶性与其导函数奇偶性的关系可得出最终结果，还可以通过观察条件构造合适的基础函数能更快捷的得出结果. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，求出坐标，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为，可得，即， 解得或. 故答案为：或. 13. 小明喜爱踢足球和打羽毛球．在周末的某天，他下午去踢足球的概率为．若他下午去踢足球，则晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，则晚上去打羽毛球的概率为．已知小明在某个周末晚上去打羽毛球，则下午踢足球的概率为______． 【答案】##0.9 【解析】 【分析】设出事件,分别求出和，依题需求，利用条件概率公式计算即得. 【详解】设小明周末晚间去打羽毛球为事件，下午去踢足球为事件， 则，， 依题意，. 故答案为:． 14. 已知侧棱长为l的正四棱锥的顶点都在直径为6的同一球面上，则该正四棱锥的体积的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】设高为h，底面边长为a，然后由已知条件得到的关系，求出体积是关于的函数，然后利用导数分析函数的单调性求出最值即可. 【详解】l的取值范围是，不妨设高为h，底面边长为a， 则，或， 所以，， 因为，故， ，其中， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）单调增区间为和，减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断单调性即可； （2）由（1）得，，由题意得，即，解出不等式即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为， ， 令得或． 当时，， 当时，， 所以的单调增区间为和，减区间为． 【小问2详解】 由（1）得，在和上单调递增，在上单调递减， ，， 故， 在上恒成立，即， 故，即， 即， 解得或， 故实数a的取值范围为． 16. 如图，在正三棱柱中，，O为AB的中点，D为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为，O为AB中点，所以，因为D为的中点，所以， 在正三棱柱中，平面ABC，因平面ABC，故， 又因正三角形ABC，故得，因平面，故平面， 又平面,故，因为，平面，故⊥平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先证，再通过证明平面，得，即可证⊥平面； (2)由题意，建系，写出相关点的坐标，分别求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取的中点为，连接，则， 则平面ABC，因，故OB，OC，两两垂直， 故可以直线OB，OC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 则，，． 由（1）得，平面，则可作为平面的一个法向量． 因，，则，， 设平面的法向量为，则， 故可取． 则平面与平面夹角的余弦值为． 17. A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立． （1）若，求A两局得分之和为5的概率； （2）若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列． 【答案】（1）0.2 （2）分布列： X 0 3 6 9 12 P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 【解析】 【分析】（1）由A两局得分之和为5等价于一胜一负，然后根据独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意可知X的可能取值为0，3，6，9，12，然后求出相应的概率，从而可求得X的分布列． 【小问1详解】 若，由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负， 所以A两局得分之和为5的概率为． 【小问2详解】 因为在一局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2， 所以在一局比赛中B获胜、打成平局和失败的概率分别为0.2，0.3．0.5， 若，则X的可能取值为0，3，6，9，12， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 3 6 9 12 P 0.25 0.3 0.29 0.12 0.04 18. 已知抛物线的方程为，直线与交于两点，且． （1）求； （2）设的焦点为，直线与交于两点，且以为直径的圆经过，当时，求点到距离的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据即可求解； （2）依题意，进而可以得到关于两坐标的关系式，联立直线和抛物线，结合韦达定理即可得到的关系式，再利用点到直线的距离即可求解范围. 【小问1详解】 因为直线与C交于A，B两点，且， 所以， 所以． 【小问2详解】 由已知得，，设，， 由可得，， 所以，，， 因为以为直径的圆经过， 所以， 所以， 即， 所以 将，代入得 ， 因为． 所以，且， 解得或， 因为，所以， 设点到直线的距离为， 所以， 令， 所以． 【点睛】关键点点睛：第（2）问考察抛物线的焦点到直线的距离，解题关键是找到关于的关系．本题中直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理求出，然后表示出，由此可得到的关系，需要注意的是，由直线和抛物线相交于两点得到，再由的关系式，进一步所小的范围． 19. 设等比数列：的公比为q，其中都为正奇数，构成单调递增的正项等差数列． （1）求证：； （2）求证：； （3）把用表示． 【答案】（1） 由题意知，又，可得， 所以，又是正偶数，所以． （2） 设等差数列a，b，c的公差为d，由题意得，， 又，，故， 可得，又，又，都为正偶数， 故，即， 又由（1）的结论得，，故有，即． （3） 当q为正数时，为， 当q为负数时，为． 【解析】 【分析】（1）将公比用a，b表示出来，再结合a，b，c构成单调递增的正项等差数列，可以证明； （2）设等差数列 的公差为 ,进而推导出 , 从而 , 再由 , 能证明 ； （3）设 个数所构成的等比数列为 , 则 , 由 , 可 得 ： , , 由 都为正奇数, 则 既可为正数, 也可为负数, 由此能求出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设个数所构成的等比数列为， 则，，， 由，可得， ， 又，，由s，t都为正奇数，则q既可为正数，也可为负数． 若q为正数，则，插入的个数的乘积为； 若q为负数，中为负数，即共有个负数， 故，所插入的个数的乘积为， 综上所述，当q为正数时，为， 当q为负数时，为． 【点睛】易错点睛：本题主要考查等差数列、等比数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）根据所要证明问题的结构，通过变形等手段将题意正确的表示出来； （2）数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点，由此要注意角标的范围； （3）有多种情况时，应逐一讨论，做到不重不漏. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $