广东湛江市吴川市第四中学2025-2026学年高二下学期期中测试数学试卷

**基本信息** 吴川四中高二数学期中试卷以数列、导数、排列组合为核心，通过斐波那契数列文化素材、切线方程应用等设计，兼顾基础巩固与逻辑推理能力考查，适配高二学段知识进阶需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|等差数列通项、导数计算、组合数|第7题以斐波那契数列体现文化传承，第5题结合函数奇偶性与单调性考查直观想象| |多选题|3/18|等差等比综合、排列概念|第11题通过导函数图像辨析极值点，强化逻辑推理| |填空题|3/15|等差数列性质、数字排列|第14题融合切线方程与导数几何意义，考查数学建模| |解答题|5/77|计数原理应用、导数极值与恒成立|第19题分层设计极值求解与不等式恒成立，提升数学运算与创新意识|

吴川四中2025-2026学年度第二学期高二级 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知{}是首项为1，公差为3的等差数列，如果＝2023，则序号n等于（    ） A．667 B．668 C．669 D．675 2．已知函数，导函数为，那么等于（    ） A． B． C． D．1 3．已知，则（    ） A．20 B．30 C．42 D．56 4．等比数列中，，是方程的两根，则等于　　 A．8 B． C． D．以上都不对 5.函数f（x）=的部分图象大致为（　　） 6．从标号分别为1、2、3、4的四个红球和标号分别为1、2、3的三个黑球及标号分别为1、2的两个白球中取出不同颜色的两个小球，不同的取法种数共有（    ） A．24种 B．9种 C．10种 D．26种 7．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）： ，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足：，若，则等于（    ） A．14 B．13 C．89 D．14 8．函数（    ） A．在上单调递减 B．在和上单调递增 C．在上单调递增 D．在和上单调递减 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知公差为的等差数列满足，，成等比数列，则（   ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为100 D．的前10项和为 10．下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地；            ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；   ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算． A．① B．② C．③ D．④ 11．函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（ ） A．是函数的极值点 B．是函数的最小值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率小 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在等差数列中，若，则______. 13．用这六个数字，可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为______（用数字作答） 14．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______. 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法？ (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？ 16．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an. （1）求{an}的通项公式； （2）数列{bn}是等差数列，Sn为{bn}的前n项和，若b1＝a1＋a2＋a3，b3＝a3，求Sn. 17．已知曲线在点处的切线平行于直线，且点在第三象限． (1)求的坐标； (2)若直线，且l也过切点，求直线l的方程． 18．数列的前项和记为，，点在直线上，. （1）当实数为何值时，数列是等比数列？ （2）在（1）的结论下，设，，是数列的前项和，求. 19．已知函数在与处都取得极值 （1）求实数的值； （2）求函数的单调区间，并判断极大值点与极小值点； （3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围 吴川四中2025-2026学年度第二学期高二级 数学试卷参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知{}是首项为1，公差为3的等差数列，如果＝2023，则序号n等于（    ） A．667 B．668 C．669 D．675 【答案】D 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】依题意求出等差数列的通项公式，再解方程即可； 【详解】解：依题意 由，解得. 故选：D 2．已知函数，导函数为，那么等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】求某点处的导数值 【分析】先对函数求导，再将代入，即可得出结果. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 【点睛】本题主要求在某点处的导函数值，熟记导数计算公式即可，属于基础题型. 3．已知，则（    ） A．20 B．30 C．42 D．56 【答案】B 【知识点】组合数的计算、排列数的计算 【详解】由，可得，则. 4．等比数列中，，是方程的两根，则等于　　 A．8 B． C． D．以上都不对 【答案】A 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【详解】试题分析：由题意得 考点：1．二次方程根与系数的关系；2．等比数列 5.函数f（x）=的部分图象大致为（　　） 【答案】C　 【详解】［f(x)=，定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， ∵f(-x)=-=-f(x)， ∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；f(1)=<1，故排除A； ∵当x>0时，f'(x)=， 又当x>1时，f'(x)>0， ∴f(x)在(1，+∞)上单调递增，故排除D. 6．从标号分别为1、2、3、4的四个红球和标号分别为1、2、3的三个黑球及标号分别为1、2的两个白球中取出不同颜色的两个小球，不同的取法种数共有（    ） A．24种 B．9种 C．10种 D．26种 【答案】D 【知识点】分类加法计数原理 【分析】分三类讨论：红+黑、红+白、黑+白． 【详解】红球+黑球：种； 红球+白球：种； 黑球+白球：种； 故取出不同颜色的两个小球共有：种； 故选：D． 7．意大利数学家列昂那多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足：，若，则等于（    ） A．14 B．13 C．89 D．144 【答案】A 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质 【分析】根据题意，结合斐波那契数列的性质，逐项迭代，即可求解. 【详解】根据题意，若，即， 由斐波那契数列的性质，可得： ， 所以. 故选：A. 8．函数（    ） A．在上单调递减 B．在和上单调递增 C．在上单调递增 D．在和上单调递减 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，判断导数的正负，即可容易求得函数单调区间. 【详解】因为，故可得， 令，可得或， 故的单调增区间为和， 单调减区间为，. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，属基础题. 5、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．已知公差为的等差数列满足，，成等比数列，则（   ） A． B．的前项和为 C．的前100项和为100 D．的前10项和为 【答案】AD 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比中项的应用、裂项相消法求和 【分析】根据等比中项的性质求出，即可得到的通项公式，即可判断A，根据等差数列求和公式判断B，利用并项求和法判断C，利用裂项相消法判断D. 【详解】对于A：因为，，成等比数列，所以，即， 解得，所以，则，故A正确； 对于B：的前项和为，故B错误； 对于C：因为， 所以的前100项和为 ，故C错误； 对于D：因为， 所以的前10项和为，故D正确. 故选：AD 10．下列问题属于排列问题的是（    ） ①从10个人中选2人分别去种树和扫地；            ②从10个人中选2人去扫地； ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；   ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AD 【知识点】组合意义理解、排列的意义理解 【分析】根据题意，由排列、组合的定义分析选项，综合即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项： 对于①，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，故有顺序，是排列问题， 对于②，从10个人中选2人去扫地，选出的2人没有顺序，是组合问题， 对于③，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，选出的5人没有顺序，是组合问题， 对于④，从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题； 故选：． 11．函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（ ） A．是函数的极值点 B．是函数的最小值点 C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率小于零 【答案】AC 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系、函数极值点的辨析、函数与导函数图象之间的关系、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导函数的图象判断出的单调性、极值点、最值点、切线的斜率，由此得解. 【详解】根据导函数图象可知，当时，，在时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确； 所以是函数的极小值点，故A正确； ∵在上单调递增， ∴不是函数的最小值点，故B错误； ∵函数在处的导数大于0， ∴切线的斜率大于零，故D错误． 故选：AC. 6、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在等差数列中，若，则______. 【答案】 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的性质由可得：，再利用等差数列的通项公式可得，进而求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，由等差数列的性质可得：， 又，所以， 故答案为：. 13．用这六个数字，可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为______（用数字作答） 【答案】60 【知识点】数字排列问题、排列数的计算 【分析】直接由排列数即可求解. 【详解】最后一位数是偶数有：“2”，“4”，“6”，共3种选择， 然后从剩下的五个数中选两个数进行排列， 故所求为. 故答案为：60. 14．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______. 【答案】1 【知识点】利用导数研究函数的零点、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线方程，设切线与曲线的切点可得，再构造函数求导，根据导数判断函数的单调性及方程的解即可得. 【详解】由求导得，令得切线斜率， 由求导得， 设切线与的切点为， 根据题意可得，即， 又， 所以，即， 令，则， 所以在内单调递减，而，故在内存在唯一的，使得， 代入解得， 故答案为： 7、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法？ (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？ 【答案】(1)9 (2)24 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、分类加法计数原理 【分析】（1）利用分类相加计数原理即可得解； （2）利用分步相乘计数原理即可得解. 【详解】（1）从书架上任取1本书，有三类方案： 第1类，从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2类，从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3类，从第3层取1本体育书，有2种方法. 根据分类加法计数原理，不同取法的种数为. （2）从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三步完成： 第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法； 第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法； 第3步，从第3层取1本体育书，有2种方法. 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为. 16．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an. （1）求{an}的通项公式； （2）数列{bn}是等差数列，Sn为{bn}的前n项和，若b1＝a1＋a2＋a3，b3＝a3，求Sn. 解：（1）因为a1＝1，an＋1＝3an， 所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1 由（1）得，b1＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13，b3＝9， 则b3－b1＝2d＝－4，d＝－2， 所以Sn＝13n＋×（－2） ＝－n2＋14n. 17．已知曲线在点处的切线平行于直线，且点在第三象限． (1)求的坐标； (2)若直线，且l也过切点，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2). 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法、直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【分析】（1）设点，求出给定函数的导数，再利用导数的几何意义，列式计算作答. （2）求出直线l的斜率，由（1）的结论结合直线的点斜式方程求解作答. 【详解】（1）由求导得：，设切点，而点在第三象限，即， 依题意，，解得：，此时，，显然点不在直线上， 所以切点的坐标为. （2）直线，而的斜率为4，则直线l的斜率为， 又l过切点 ，于是得直线l的方程为，即， 所以直线l的方程为：. 18．数列的前项和记为，，点在直线上，. （1）当实数为何值时，数列是等比数列？ （2）在（1）的结论下，设，，是数列的前项和，求. 【答案】（1） （2） 【知识点】分组（并项）法求和、由递推关系证明等比数列 【分析】(1)由题意得点在直线上，可得到数列的前项和与的关系，根据这个关系可得到，，根据已知条件求出，代入即可求出实数的值； (2)把数列的通项代入可得到以及，再利用分组求和方法求出. 【详解】解：（1）∵点在直线上 ∴，， ，∴， ， ∴当时，，数列是等比数列. （2）在（1）的结论下，，， ， ， 【点睛】本题考查了已知数列的前项和与的关系判断等比数列以及利用分组求和方法求数列的前项和，属于一般题. 19．已知函数在与处都取得极值 （1）求实数的值； （2）求函数的单调区间，并判断极大值点与极小值点； （3）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围 【答案】（1）；（2）见解析；（3）或 【知识点】根据极值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出，由题可得：，，解方程组即可． （2）求得，列出的关系，即可求得函数的单调区间，并判断极大值点与极小值点. （3）将不等式恒成立，转化成：对，，利用导数即可求得，问题得解． 【详解】（1） ， 由＝， 得＝， （2）由（1）得， 列表如下： 极大值 极小值 所以函数的递增区间是与；递减区间是， 是极大值点，是极小值点 （3），， 当＝－时，＝＋为极大值，大于极小值 而，比较得为最大值 要使（）恒成立， 只需，解得：或 【点睛】本题主要考查了极值与导数的关系，还考查了利用导数判断函数的单调性及求极值点，还考查了利用导数求函数的最值，考查计算能力及转化能力，属于难题． 第7页（/共4页） 第8页/（共10页） 知人善教 培养品质 引发成长动力 学科网（北京）股份有限公司 $