2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考测试卷

**基本信息** 本试卷聚焦一元二次方程与二次函数核心内容，通过流感传染、手办销售、消防演练等真实情境题，考查运算能力、模型意识与应用意识，适配九年级月考对基础巩固与能力提升的双重需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|一元二次方程定义、二次函数图像变换|第6题以流感传染为背景，考查方程应用，体现数学思维| |填空题|6/18|根与系数关系、利润问题|第14题结合手办销售，通过利润计算强化模型意识| |解答题|8/72|二次函数图像与性质、综合应用|第24题消防水流抛物线问题，综合考查图像分析与最值求解，凸显问题设计层次性|

2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考测试卷（解析版） 测试范围：第二十五章一元二次方程~第二十六章二次函数 一、单选题（每题3分，共30分） 1.下列方程是一元二次方程的是（) A.x2-5x=1 B.3x+2y=1 c.x2-1-1 D.ax+bx+c=0 2.一元二次方程2x2-x+3=0的一次项系数、常数项分别是() A.2、-3 B.2、3 C.1、-3 D.-1、3 3.方程x2=3x的解是() A5=5=3 B.=5=0 C.=3,=0 D.=-3,5=0 4.若函数y=(m-2列+是关于x的二次函数，则m为《) A.2 B.+2 C.-2 D.0 5.在平面直角坐标系中，将函数》=(x-+4。 的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长 度，所得抛物线对应的函数表达式为() A.y=(x+1)2+5 B.y=(x+1)2+3 C.y=(x-3)}2+3 D.y=(x-3)}+5 6.有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为 () A.10 B.11 C.12 D.15 A(-3,a）B(1,b) 7.若点 都在抛物线'=2x 上，则“与的大小关系是() A.a>b B.a=b C.a<b D.无法确定 8,已知二次函数'=-7x- 的图象和轴有交点，则的取值范围是() 试卷第1页（共3页） A.k>_7 、7 4 B.k>-4且k+0 。.k2-子 7 D.k2-4且k+0 9.已知关于x的一元二次方程x2+bx+1=0的两根之差为2，则代数式12a-b2的最大值为() A.-8 B.-2 C.4 D.10 10.如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为y= ,当水面离桥顶的高度为兮m时，水面 16 3 的宽度为()米. yA A.7 B.8 C.9 D.10 二、填空题（每题3分，共18分） 11.一元二次方程x2-4x-2=0的两根为a,b,则a2-4a+ab的值为一· 12.若关于x的一元二次方程 m-2)x2-2x+1=0 有实根，则m的取值范围是 3x227 13.方程x-3x-3的根是 14.承龙马精神，赴崭新征程.某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5元个，在销售中发现，当 这种手办的价格定为7元个时，每天可卖出160个，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20个， 若该网店一天销售这种手办所获得的利润是420元，为了让顾客得到优惠，价格应定为 一元个 15.将抛物线少=+2x+2 绕原点旋转180 所得到的抛物线的解析式为」 16.如图所示，是一个长16m、宽9m的矩形花园，根据需要将它的长缩短m、宽增加xm,要想使修改 后的花园面积达到最大，则x= m. 试卷第2页（共3页） 三、解答题（每题9分，共72分） 17.已知关于x的一元二次方程3xm3-2m-1=0. (1)求m的值： (②设这个方程的两个根是5，与：且+号-9 ,求n的值. 18.解方程 ①(x-2)=x-2 a3x-4}=(4x-3} 19.己知关于×的一元二次方程-2x+m-1=0有两个实数根，5 (I)求m的取值范围 ②当+号=6时，求m的值. 20.一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发 现，价格每涨5元，就少卖50个. (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱？ (2)因商场改变销售策略，在不改变(1)的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484 个，求这两周的平均增长率. 21.如图，二次函数-2x-3 的图象与轴交于A,B两点. 试卷第3页（共3页） B (1)求A,B两点的坐标. ②抛物线上点P的坐标为a,12) ,求0的值. M(m,n) (3)若 是抛物线上一点，且0≤m≤4，求”的取值范围. y=ax2+bx+c 22.如图，二次函数 的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,其中A点坐标为 (-1,0),M(2,9) 为二次函数图象的顶点. (I)求二次函数的表达式. (2)求△MCB的面积. 23.如图，抛物线)=-r++c交轴于1-10），8两点，交'轴于C03),点P在抛物线上，横坐 标为m YA B (1)求抛物线的解析式。 试卷第4页（共3页） (2)当点P在x轴上方时，求出m的取值范围. (3)若抛物线在点P右侧部分（含点P)的最高点的纵坐标为-1-m,求m的值. 24.某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行 了一次消防演练.如图所示，打开云梯后，消防车喷水口A离地面的高度为OA,水流落地点为点B，喷 出的水流呈抛物线型.以OB所在直线为x轴，OA所在直线为'轴，建立平面直角坐标系，（喷水装置 和水流粗细忽略不计)已知0A=21m,0B=7m,从4处喷出的水流高度m)与水平距离(m)之间的 关系为y=-3r2+bx+c VA BC (1)求b,c的值： (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点C在点B正前方1米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在C处的水流高度达到36米，则消 防车从O点沿OB方向应至少前进多少米？ 试卷第5页（共3页） 2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考测试卷（解析版） 测试范围：第二十五章一元二次方程第二十六章二次函数 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 2．一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（    ） A．2、 B．2、3 C．1、 D．、3 【答案】D 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中为一次项系数，为常数项，对应题目方程即可得到结果． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是、． 3．方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ∴或， 解得，． 4．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 5．在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 6．有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合“新增120人患病”得到总人数的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， 又∵经过两轮传染后新增120人患病，总患病人数为， ∴列方程得 ， ∵人数为正数，， ∴， 解得， 故选：A． 7．若点，都在抛物线上，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 8．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 9．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 10．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（        ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，求出抛物线当时的值即可得解． 【详解】解：根据题意，当时，得：， 解得：或． ∴水面宽度为：（米）． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．一元二次方程 的两根为，则 的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到及的值，代入所求代数式计算即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， ∴． 12．若关于的一元二次方程有实根，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，结合方程有实根可得根的判别式，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， 二次项系数，解得， 方程有实根， ， 解得， 综上，的取值范围是且． 13．方程的根是___________． 【答案】 【分析】本题考查可以转化为一元二次方程的分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，并要验根．方程两边分母相同，均为，需满足分母不为零，即．通过消去分母求解，并检验增根． 【详解】解：原方程为 ， 两边同乘，得． 两边同除以3，得， 解得 或 ． 检验：当时，分母 ，无意义，为增根； 当时，分母，代入原方程成立． 故答案为：． 14．承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5元/个，在销售中发现，当这种手办的价格定为7元/个时，每天可卖出160个，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20个，若该网店一天销售这种手办所获得的利润是420元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个． 【答案】8 【分析】先设出价格提高的金额，分别表示出单个手办的利润和每天的销售量，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出一元二次方程，求解后根据“让顾客得到优惠”的条件选取符合要求的解即可． 【详解】解：设每个手办的单价提高元，则定价为元/个，单个手办的利润为元，每天的销售量为个， 根据题意，可得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：，， 当时，定价为元/个， 当时，定价为元/个， 因为要让顾客得到优惠，因此选择较低的定价元/个． 15．将抛物线绕原点旋转所得到的抛物线的解析式为__________． 【答案】 【分析】先将原抛物线配方化为顶点式，确定原抛物线的顶点坐标，根据关于原点对称的点的坐标特征得到旋转后抛物线的顶点坐标，结合旋转后二次项系数变为原系数的相反数，利用顶点式写出旋转后抛物线的解析式，整理为一般式即可． 【详解】解：对原抛物线配方得， 可得原抛物线的顶点坐标为， 抛物线绕原点旋转后，顶点关于原点中心对称，开口方向相反，二次项系数变为原系数的相反数， 根据关于原点对称的点的坐标特征，可得旋转后抛物线的顶点坐标为，二次项系数为， 因此旋转后抛物线的顶点式为， 整理为一般式． 16．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【答案】 【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求m的值； (2)设这个方程的两个根是，，且，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由（1）知，则原方程变为， 设这个方程的两个根是，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得． 18．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 移项，得：， 提取公因式，得：， ∴或， 解得：，； （2）解：， 根据平方根的性质，得：， ∴或， 解得：，． 19．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 20．一商场以20元的进价购进纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨5元，就少卖50个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度地让利消费者，售价应定为多少钱? (2)因商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了484个，求这两周的平均增长率． 【答案】(1)40元 (2) 【分析】（1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，利用总利润为8000元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个40元时，销量为400个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设售价应定为元，则每个利润为元， 由题意得， 解得：，， ∵更大程度让利消费者， ∴， 答：商场计划一周的利润达到8000元，并且更大程度让利消费者，售价应定为40元； （2）解：由（1）得：当售价为40元时，销量为400个， 设这两周的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两周的平均增长率为． 21．如图，二次函数的图象与轴交于，两点． (1)求，两点的坐标． (2)抛物线上点的坐标为，求的值． (3)若是抛物线上一点，且，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的结合、二次函数上点的坐标特征以及二次函数在给定区间内的最值问题，关键是掌握二次函数的图象性质与方程的结合． （1）求二次函数与轴的交点，只需令，解一元二次方程即可； （2）点在抛物线上，将点的坐标代入函数解析式，得到关于的一元二次方程，解方程即可； （3）先将二次函数化为顶点式，确定其开口方向与顶点坐标，再结合给定的的范围，分析的最值，从而确定取值范围． 【详解】（1）解：令，则， 因式分解得，解得，， 由图象可知点在轴负半轴，点在轴正半轴， 故，； （2）解：∵点在抛物线上， ∴将代入解析式得， 解得或． 故或； （3）解：， ∵抛物线开口向上，顶点坐标为， 又∵， ∴当时，取得最小值； 当时，； 当时，； 比较可得，当时，的最大值为，最小值为， 故的取值范围为． 22．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 23．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于，点在抛物线上，横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当点在轴上方时，求出的取值范围． (3)若抛物线在点右侧部分（含点）的最高点的纵坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或4 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点B坐标，再结合图象可得答案； （3）先求得抛物线的对称轴为直线，然后分和两种情况，利用二次函数的性质，结合一元二次方程的解法求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，令，则，即， 解得，， ， ∴结合图象可知，当点在轴上方时，； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． 若，则点右侧部分（含点）的最高点为抛物线顶点， ∴当时，，解得； 若，则点右侧部分（含点）的最高点为点P， 当时，，解得（舍去），． 综上所述，的值为或4． 24．某市消防中队引进一种新型用于高层消防的举高喷射消防车，为了熟练掌握其性能，在某广场进行了一次消防演练．如图所示，打开云梯后，消防车喷水口离地面的高度为，水流落地点为点，喷出的水流呈抛物线型．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（喷水装置和水流粗细忽略不计）已知，，从处喷出的水流高度与水平距离之间的关系为． (1)求，的值； (2)在水压和喷口方向不变的情况下，此时水流高度能达到的最大高度是多少米？ (3)点在点正前方米处，在水压和喷口方向不变的情况下，要求在处的水流高度达到米，则消防车从点沿方向应至少前进多少米？ 【答案】(1)， (2)水流高度能达到的最大高度是米 (3)消防车从点沿方向应至少前进米 【分析】（1）根据已知数据确定点、，再利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线表达式转化为顶点式，即可得到答案； （3）先求出当时，，，再由平移即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 将和代入中，得， 解得； （2）解：由（1）知抛物线的表达式为：， 将表达式转化为顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水流高度能达到的最大高度是米； （3）解：令，即，整理得：， 解得：，， ∵点在点正前方米处， ∴， ∴至少需前进（米）， ∴消防车从点沿方向应至少前进米. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $