第2讲：解一元二次方程（技法概要+8种题型精讲+培优小检测）2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义聚焦解一元二次方程核心知识点，系统梳理直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等基础解法，逐步过渡到十字相乘法、换元法、绝对值方程及降次化解高次方程等进阶技巧，构建从基础到培优的学习支架。 资料以题型精讲为特色，每种题型配备例题、方法指导及变式训练，注重转化与降次思想渗透，培养学生抽象能力与推理意识。培优小检测覆盖多样解法，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

9上培优第2讲：解一元二次方程 技法概要 题型精讲 题型1 直接开平方法 【例1】解下列方程： (1)x2＝81； (2)4x2－9＝0. 方法指导：一般地，对于方程x2＝p： (1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根x1＝－，x2＝； (2)当p＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝__0__； (3)当p＜0时，方程__无实数根__. 【变式1】解下列方程： (1)(x－)2＝1； (2)4x2－13＝12. 题型2 配方法 【例2】解方程： (1)x2－4x－1＝0； (2)－x2－5x＝2. 方法指导： 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法．可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 【变式2】解方程：2x2＋1＝3x. 题型3 公式法 【例3】用公式法解下列方程： (1)x2－3x－4＝0； (2)x2－2x＋2＝0； 方法指导： 1．用公式法解一元二次方程的步骤： ①化成一般式，确定a，b，c； ②计算Δ＝b2－4ac； ③当Δ≥0时，代入求根公式求解；当Δ＜0时，方程无实数根． 2．公式法也叫“万能法”，能解所有一元二次方程． 方程的根有三种类型： Δ＞0⇒x1≠x2；Δ＝0⇒x1＝x2＝－；Δ＜0⇒方程无实数根. 【变式3】用公式法解下列方程： (1)12x2＋x－1＝0； (2)3x2＋4x＝－2； 题型4 因式分解法 【例4】用因式分解法解方程： (1)(x－1)(x＋3)＝0； (2)x2＋4x＝0； (3)x(x＋1)－(x＋1)＝0. 方法指导： 用因式分解法解一元二次方程时，先分解因式，使其化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 【变式4】用因式分解法解方程： (1)y2＝2y； (2)x(2x－1)＝2(2x－1)； (3)(5x－4)2－x2＝0. 题型5 十字相乘法 【例5】(1)将x2－2x－3分解因式时，可依据口诀“首尾两项要分解，交叉之积的和在中央”，如图： 所以x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)． 我们把这种因式分解的方法叫作“十字相乘法”，用式子表示为x2－(a＋b)x＋ab＝(x－a)(x－b)． (2)根据乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0. 依照上面的方法和原理，解下列方程： (1)x2＋5x＋6＝0；(2)x2－7x＋10＝0；(3)x2－x－12＝0；(4)3x2－2x－1＝0. 题型6 换元法 【例6】阅读材料，解答问题： 解方程：； 解：设，则原方程可化为． 解得，． 当时，，；当时，，； 原方程有四个解：，，，． 以上方法叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料的解题思想与解题步骤，解下列方程，． 【变式6】解方程：． 题型7 绝对值方程 【例7】阅读理解以下内容，并解决问题： 解方程：x2＋|x|－2＝0. 解：①当x≥0时，原方程化为x2＋x－2＝0， 解得x1＝1，x2＝－2. ∵x≥0，∴x＝1； ②当x＜0时，原方程化为x2－x－2＝0， 解得x1＝2，x2＝－1. ∵x＜0，∴x＝－1. 综上所述，原方程的解是x1＝1，x2＝－1. 依照上述解法，解方程：x2－2|x－2|－4＝0. 【变式7】解方程：． 题型8 降次化解高次方程 【例8】阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：(x2－3)2－(x2－3)－2＝0. 分析：本题实际是一元四次方程．若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性．解高次方程的基本方法是“降次”，我们可以把x2－3视为一个整体，设成另外一个未知数，然后把原方程降次为一元二次方程继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫作换元法． 解：设x2－3＝m，则原方程换元为m2－m－2＝0. ∴(m－2)(m＋1)＝0，解得m1＝2，m2＝－1. ∴x2－3＝2或x2－3＝－1. 解得x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－. 请参考例题解法，解下列方程： (1)x4－2x2－3＝0； (2)x2＋2x－2－3＝0. 【变式8】解方程． 培优小检测 (时间：40分钟 满分：80分） 1、用适当方法解下列方程：（每小题3分，共60分） （1）； （2）； （3）； （4）； （5）， （6）， （7）． （8）； （9）； （10）． （11）， （12）． （13）． （14）． （15）． （16）； （17）， （18）， （19）， （20）； 2、（10分）解决下列问题： （1）已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）以下是小明在解方程时的解答过程． 解：原方程可化为， 两边同除以，得： 解得：． 小明的解答是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程． 3.（10分）如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接． （1）若，，求的长． （2）设，． ①线段的长是方程的一个根吗？说明理由． ②若，求的值． 参考答案 题型精讲 【例1】解：（1）x＝±9， x1＝9，x2＝－9. （2）4x2＝9， x2＝， x1＝，x2＝－. 【变式1】解：（1）x－＝±1， ∴x1＝，x2＝－. （2）4x2＝13＋12， 4x2＝25， x2＝， x1＝，x2＝－. 【例2】解：（1）x2－4x＝1， x2－4x＋4＝1＋4， 即(x－2)2＝5. ∴x－2＝±. ∴x1＝2＋，x2＝2－. （2）整理，得x2＋5x＋2＝0， x2＋5x＋＝， 即(x＋)2＝. ∴x＋＝±. ∴x1＝，x2＝. 【变式2】解：2x2－3x＝－1，即x2－x＝－. x2－x＋()2＝－＋()2， 即(x－)2＝. ∴x－＝±. ∴x1＝1，x2＝. 【例3】解：（1）∵a＝1，b＝－3，c＝－4， ∴Δ＝b2－4ac＝9－4×(－4)＝25>0. ∴x＝. ∴x1＝4，x2＝－1. （2）∵a＝1，b＝－2，c＝2， ∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×2＝0. ∴x＝ ∴x1＝x2＝. 【变式3】解：（1）∵a＝12，b＝1，c＝－1， ∴Δ＝b2－4ac＝1－4×12×(－1)＝49＞0. 即x1＝，x2＝－. （2）移项，得3x2＋4x＋2＝0， ∵a＝3，b＝4，c＝2， ∴Δ＝b2－4ac＝42－4×3×2＝－8＜0. ∴原方程无解. 【例4】解：（1）x－1＝0或x＋3＝0， ∴x1＝1，x2＝－3. （2）x(x＋4)＝0， ∴x＝0或x＋4＝0. ∴x1＝0，x2＝－4. (3)x(x＋1)－(x＋1)＝0. 解：(x＋1)(x－1)＝0， ∴x＋1＝0或x－1＝0. ∴x1＝－1，x2＝1. 【变式4】解：（1）y2－2y＝0，y(y－2)＝0， ∴y＝0或y－2＝0. ∴y1＝0，y2＝2. （2）x(2x－1)－2(2x－1)＝0， (x－2)(2x－1)＝0， ∴x－2＝0或2x－1＝0. ∴x1＝2，x2＝. (3)(5x－4)2－x2＝0. 解：(5x－4＋x)(5x－4－x)＝0， (6x－4)(4x－4)＝0， ∴6x－4＝0或4x－4＝0. ∴x1＝，x2＝1. 【例5】解：(1)(x＋2)(x＋3)＝0.∴x＋2＝0或x＋3＝0.∴x1＝－2，x2＝－3. (2)(x－5)(x－2)＝0.∴x－5＝0或x－2＝0.∴x1＝5，x2＝2. (3)(x－4)(x＋3)＝0.∴x－4＝0或x＋3＝0.∴x1＝4，x2＝－3. (4)(x－1)(3x＋1)＝0.∴x－1＝0，3x＋1＝0.∴x1＝1，x2＝－. 【例6】解：设，则， ，， 或， ，解得，， ，解得． ，或． 【变式6】解方程：． 解：设，则， ， 解得，， 当即时，解得， 当即时，解得， 原方程有四个根：，，，． 【例7】解：①当x－2≥0，即x≥2时， 原方程化为x2－2(x－2)－4＝0，即x2－2x＝0， 解得x1＝0，x2＝2. ∵x≥2，∴x2＝0舍去． ∴x＝2； ②当x－2＜0，即x＜2时， 原方程化为x2－2(2－x)－4＝0， 即x2＋2x－8＝0， 解得x1＝2，x2＝－4. ∵x＜2，∴x1＝2舍去． ∴x＝－4. 综上所述，原方程的解是x1＝2，x2＝－4. 【变式7】解：当即时， 原方程化为 解得（不合题意，舍去），； 当即时， 原方程化为 解得（不合题意，舍去），； 原方程的根为，． 【例8】解：(1)设x2＝t，则t2－2t－3＝0， ∴(t－3)(t＋1)＝0，解得t＝3或t＝－1(舍去)． ∴x2＝3，解得x1＝，x2＝－. (2)设＝a，则a≥0， 原方程转化为a2－2a－3＝0. ∴(a＋1)(a－3)＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝3. ∴x2＋2x－9＝0，解得x1＝－1－，x2＝－1＋. 【变式8】解：设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：，． 当时，，； 当时，，． 所以原方程有四个根：，，，． 培优小检测 1、 （1）解：， ， 则或， 所以，； （2）解：， ， ， 则或， 所以，； （3）解：， ， 或， 解得：，； （4）解：， ， 或， 所以，； （5）解：整理得：， 因式分解得：， 解得：，； （6）解：整理得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得：，． （7）解：， ， ， 或， ，． （8）解：原方程因式分解可得： ， 或， ，． （9）解：原方程移项可得： ， ， ， 或． （10）解：， ， ， 则， 所以． （11）解：整理得：， 因式分解得：， 即， 解得：，； （12）解：原方程移项可得： ， ， ，， ． （13）解：， ， ， ， 所以． （14）解：原方程整理得： ， ， 解得：或． （15）解：方程变形为， ，，， △， ， ，． （16）解：移项得：， ， ， ，， ，； （17）， 整理得：， ， ， 即； （18）， ， ，， ，． （19）解： ， ，． （20）解：当时，，解得，（舍去）； 当时，，解得，； 原方程的解为，，； 2、解：（1）关于的方程有两个不相等的实数根， △． 解得， 的取值范围是； （2）小明的解答有错误， 正确解答过程如下： 原方程可化为， 移项得， 提取公因式得， 因此或， 解得，． 3.解：（1）已知，，，由题中作图可知 由勾股定理得： 或 或（舍 的长为2． （2）①由勾股定理得： 解方程得， 线段的长是方程的一个根． ②， 由勾股定理得： ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $