第三章 圆锥曲线的方程（举一反三讲义·培优篇）高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义以圆锥曲线方程为核心，通过框架图系统梳理椭圆、双曲线、抛物线三大曲线的十五大压轴题型，按“焦点问题-距离最值-弦长中点-面积参数-向量定点-存在性”逻辑呈现知识脉络，突出各曲线内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层练习设计，每个题型含选择、填空、解答题，如椭圆焦点三角形面积计算、抛物线焦点弦长问题，通过题型归纳培养数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念）。基础题巩固方法，综合题提升能力，助力学生自主复习，教师可据此实施精准分层教学。

第三章 圆锥曲线的方程全章十五大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 椭圆中的焦点三角形问题 1．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【解题思路】结合勾股定理及椭圆的定义求出的值，进而据此求出的面积． 【解答过程】由题可知，，又， 解得，所以焦距， 因为P在椭圆上，所以， 又因为，所以， 所以， 所以的面积为． 故选：D． 2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的定义即可求得答案. 【解答过程】由椭圆方程知，，， 所以， 根据椭圆的定义可知，，又， 所以的周长为. 故选：D. 3．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由椭圆的定义及余弦定理进行求解． 【解答过程】在椭圆C中，，，所以. 由椭圆的定义，得. 在中，由余弦定理，得. 因为，所以， 即，所以. 所以的面积. 故选：D. 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）设椭圆的左右焦点为，直线过点且交椭圆于两点，则的周长为_________. 【答案】12 【解题思路】根据椭圆的定义可得. 【解答过程】 由椭圆可得， 由椭圆的定义可知， 故， 故答案为：12. 5．（25-26高二上·广东深圳·期中）椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）由（1）和结论，利用椭圆的定义、余弦定理、三角形的面积公式求解. 【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，，而， 解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，由（1）及椭圆的定义，得， 由余弦定理得， 因此， 所以的面积. 题型2 椭圆中的距离最值问题 1．（25-26高二上·广西柳州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【解题思路】利用椭圆的定义可得出，分析可知当点为射线与椭圆的交点时，取最小值，即可得解. 【解答过程】由椭圆方程可知， 且焦点在x轴上，则，    因为，可知点在椭圆内， 又因为，即， 则， 当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立， 所以的最小值为2． 故选：A． 2．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（   ） A． B．9 C．16 D．25 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义及基本不等式可求答案. 【解答过程】解：由题意，，， ，当且仅当时，等号成立， 的最大值是25． 故选：D． 3．（25-26高二上·山东枣庄·期中）设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据椭圆的定义可知，则，则求的最小值，即求的最小值，再结合点到直线的距离公式即可得解. 【解答过程】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 即定点到直线距离最小即可， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C. 4．（25-26高二上·广东·期中）已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为____________. 【答案】/ 【解题思路】设的下焦点为，由椭圆定义得出，则，当且仅当点为延长线与的交点时取等号，即可得解. 【解答过程】在椭圆中，，，则， 故是的上焦点，设的下焦点为， 由椭圆定义可得，故，如下图所示： 则， 当且仅当点为延长线与的交点时取等号. 故的最大值为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·湖南·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)，－ (2)10－ 【解题思路】（1）连接并延长交椭圆于点，结合平面几何结论可得是使取得最大值的点，由此可得的最大值，延长交椭圆于点，可得是使取得最小值的点，由此可得结论； （2）结合椭圆的定义可得，连接，并延长交椭圆于点，，结合平面几何结论可得是使取得最小值的点，由此可求结论． 【解答过程】（1）由椭圆可知，，， 则，， 如图所示，连接并延长交椭圆于点， 则是使取得最大值的点， 于是， 因为， 则求的最小值，即求的最大值， 延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点， 于是 所以的最大值与最小值分别为和；    （2）连接，由椭圆的定义知， 则， 所以， 如图，连接，并延长交椭圆于点，， 则是使取得最小值的点， 于是. 题型3 双曲线中的焦点三角形问题 1．（25-26高二上·宁夏固原·阶段检测）已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据双曲线的定义结合题干求出的长，再利用余弦定理求出，进而得到，最后通过面积公式即可求出. 【解答过程】点是双曲线左支上的点，， 又，设，，解得，， 又双曲线，，， ， ， . 故选：D. 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解. 【解答过程】如下图所示：    在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 3．（25-26高二上·北京丰台·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 【答案】A 【解题思路】结合双曲线定义可计算出、，再求出后可得，即可得解. 【解答过程】由双曲线定义可知， 又，则，则， 故，解得，则， 又，由，故， 则. 故选：A. 4．（2026高二上·广东广州·专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于，两点，若，则的周长为_____________. 【答案】12 【解题思路】根据双曲线的定义求的周长. 【解答过程】如图， 由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得 ，又 ， 所以 . 所以的周长为12． 故答案为：12. 5．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知双曲线的焦距为是的两个焦点. (1)若双曲线的离心率为，求的方程； (2)若双曲线的实轴长为，是上一点， 使得，求三角形的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由焦距及离心率定义计算即可得； （2）由双曲线定义结合勾股定理计算可得，再利用三角形面积公式计算即可得. 【解答过程】（1）由双曲线的焦距为，则，故， 由双曲线的离心率为，则，故， 则，故的方程为； （2）由双曲线的实轴长为，则，故， 由双曲线的焦距为，则， 由双曲线定义可知，又， 则， 即，则， 则三角形的面积. 题型4 双曲线中的距离最值问题 1．（25-26高二上·河北雄安·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】B 【解题思路】求出双曲线方程，利用双曲线的性质将转化即可求解. 【解答过程】由双曲线的虚半轴长为，有，可得， 可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4，    设双曲线的右焦点为， 由双曲线的性质有， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：B. 2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】D 【解题思路】结合已知条件，利用双曲线的定义推出，结合曲线与圆的位置关系推出，进而求出最大值． 【解答过程】双曲线方程为，则， ， ，， 又 、分别是圆和上的点， 即、在以为圆心，半径为的圆上， ， ． 故选：D． 3．（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】C 【解题思路】根据双曲线的定义，将与进行转化，再结合三角形三边关系求出的最小值． 【解答过程】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则． 设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即； 同理，点在双曲线的右支上，则，即． 所以． 根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立． 又，则，即． 所以的最小值为10． 故选：C． 4．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为__________. 【答案】9 【解题思路】由条件求出双曲线方程，利用双曲线的定义将转化即可求解. 【解答过程】由双曲线的虚半轴长为，有，可得， 可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4， 设双曲线的右焦点为，则， 由双曲线的性质有， 当且仅当点在线段上时等号成立， 故的最小值为9. 故答案为：9. 5．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知双曲线 的实轴长为 4，离心率等于 2 . (1)求双曲线的方程； (2)已知定点 ，若双曲线的左焦点为，为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)9 【解题思路】（1）利用待定系数法求双曲线方程； （2）首先利用双曲线的定义，结合数形结合，求距离和的最小值. 【解答过程】（1）由条件可知，，，得，， 所以双曲线方程为：； （2）∵是双曲线的左焦点， ∴，，，， 设双曲线的右焦点为，则， 由双曲线的定义可得，则， 所以 ，    当且仅当三点共线时，等号成立， 因此，的最小值为9. 题型5 抛物线中的距离最值问题 1．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知，为抛物线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【解题思路】根据平移关系，将问题化为已知为抛物线上的一动点，，求的最小值，结合抛物线的定义求最小值. 【解答过程】将抛物线向左平移1个单位长度，可得抛物线； 将 向左平移1个单位长度，可得点， 问题化为已知为抛物线上的一动点，， 求的最小值， 抛物线的焦点为，准线， 过作准线的垂线，垂足为， 过作准线的垂线，垂足为， 则=，当且仅当三点共线时， 取最小值为. 故选：C. 2．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为，为上的动点，为圆上的动点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解题思路】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义得，设圆的圆心为，半径为，当三点共线时，最小，即，进而得当三点共线时，最小，即可求解. 【解答过程】由题意有：抛物线的焦点为，准线方程为：， 过点作抛物线准线的垂线，垂足为， 所以， 设圆的圆心为，半径为，则， 当三点共线时，最小，此时， 所以， 所以当三点共线时，最小，所以， 所以. 故选：B.    3．（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据抛物线的定义得，从而转化为求的最小值，最后转化为计算点到直线的距离即可. 【解答过程】由题知的焦点，准线方程为．因为点在上，所以， 所以．联立方程组得， 则， 所以直线与无公共点， 如图所示，的最小值即为点到直线的距离， 所以最小值为，即的最小值为5． 故选：A． 4．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知是抛物线上的动点，是圆上的动点，若的焦点为，则的最小值为__________. 【答案】/ 【解题思路】根据抛物线定义和三角形三边关系可知当三点共线时，的值最小，利用抛物线方程和圆的方程计算即可得. 【解答过程】由题意知的准线为，设点到的距离为， 则由抛物线定义可得， 圆的圆心为，半径为，则到的距离， 则， 当且仅当都在直线上，且在下方时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，在曲线上是否存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值？若存在点，求出点的坐标以及的最小值. 【答案】(1) (2)存在，，的最小值为13 【解题思路】（1）根据椭圆的标准方程求解椭圆的右焦点，进而求得抛物线方程； （2）利用抛物线的定义进行转化，根据三点共线解点的坐标，以及的最小值. 【解答过程】（1）由题意知，椭圆的右焦点为，则，， 所以抛物线的方程为. （2）存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值，理由如下： 如图所示，根据抛物线的定义得， 所以当三点共线时，点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值， 此时点为直线与抛物线的交点，又直线的方程为， 联立，解得或（舍去），则点， 此时最小，且最小值为， 因此在曲线上存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值， 且的最小值为13. 题型6 椭圆的弦长与“中点弦”问题 1．（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】中点弦的问题，利用点差法求解即可. 【解答过程】易知点在椭圆内部，则弦所在直线与椭圆必然有两个交点， 设过点与椭圆相交于，两点， 则， 两式相减，得 ， 又，， 所以 ，即直线的斜率为. 所以直线的方程为：，即. 故选：A. 2．（25-26高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设直线方程，联立直线与椭圆，根据的面积求出，利用弦长公式求出弦长. 【解答过程】如图： 由题，不妨设，直线斜率存在， 设直线方程， 联立， ， ， 解得， 故， 故选：D. 3．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，并得到，利用点差法得到，由点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【解答过程】设， 若，则的中点在轴上，而的中点坐标为，显然不合要求，故， 则，两式相减得， 即， 由于弦的中点坐标为，故， 所以，即，故， 故直线的方程为，即. 故选：A. 4．（25-26高二上·上海·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是___________. 【答案】 【解题思路】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【解答过程】设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故答案为：. 5．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）已知椭圆离心率，且过点 (1)求椭圆的标准方程. (2)过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于、两点.求弦长； 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）将直线的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理和弦长公式可求得的值. 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 故椭圆的标准方程为. （2）由题意可知，椭圆的左焦点为， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，其方程为， 联立消去可得， ，设点、， 由韦达定理可得，， 由弦长公式可得. 题型7 双曲线的弦长与“中点弦”问题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】先表达出直线AB的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合韦达定理即可求解. 【解答过程】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为. 由得 . 设  ， 则，，所以 ＝3. 故选：B.    2．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用点差法求出直线斜率，再利用点斜式求出直线方程，再化为一般式即可求解． 【解答过程】设端点，，作图如下：    由，在双曲线上，则，两式做差可得， 即，又弦被点平分， 则，代入上式可得，则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（    ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解题思路】易知当直线轴时，满足题意的不存在；当不垂直轴时，结合双曲线的几何性质和弦长公式建立方程求出直线的斜率即可. 【解答过程】由题意知，，则. 若直线轴时，，代入方程， 解得，所以，此时直线不满足题意； 当直线不垂直轴时，若直线与双曲线的两个顶点相交时， 设，， ，消去得， 则， 所以 ， 又，所以，整理得， 得或，解得（舍去）或， 所以，此时直线与双曲线的右支相交且交点为，使得有2条. 综上，满足题意的直线有2条. 故选：C. 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则_____________． 【答案】 【解题思路】联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据弦长公式求解. 【解答过程】设双曲线与直线交于两点， 由消去整理得，则，解得，且， 所以． 由，解得，所以． 故答案为：. 5．（25-26高二上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程. (3)在（2）的条件下，求弦长. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据斜率乘积得到方程，化简即可； （2）利用点差即可得到直线的斜率，再写出点斜式化简即可； （3）联立直线与双曲线方程，再利用弦长公式即可得到答案. 【解答过程】（1）因为点，点，点， 所以，， 因为直线与直线的斜率之积是，所以， 化简得，又因为直线、的斜率存在，则. 故动点的轨迹的方程为. （2）设，由题意，显然， 则有，，两式作差可得， 即有，又为线段AB的中点， 则有，代入得， 所以，所以直线的方程为，即. 将代入双曲线方程得，， 整理得，此时， 所以直线与双曲线有两个不同的交点， 所以直线的方程为. （3）由（2）可得， 所以弦长 . 题型8 抛物线的弦长与焦点弦问题 1．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解题思路】设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，由题可得，利用向量的坐标运算、抛物线的定义及韦达定理即可求解. 【解答过程】由题可得， 设直线的方程为，， ，可得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以， ， . 故选：B. 2．（25-26高二上·广东江门·期末）已知斜率为1的直线经过抛物线：（）的焦点，且被抛物线截得的弦长为6，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设直线的方程为，与抛物线联立，根据抛物线的定义结合韦达定理即可求解. 【解答过程】由题意，设直线的方程为， 与抛物线交于 两点，设， 由消去可得：，则， 由抛物线的定义可知，所以. 故选：C. 3．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【解题思路】设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和焦点弦公式代入计算可求得. 【解答过程】如下图所示：    易知，不妨设； 设直线的方程为，与联立消去得， , 由韦达定理可知； 由可得；联立解得，即； 根据焦点弦公式可得； 代入计算可得. 故选：C. 4．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线l交抛物线于两点，则线段的长为____________. 【答案】13 【解题思路】求出抛物线的方程，利用弦长公式求解即可. 【解答过程】由抛物线 的焦点为 ，可得 ，即 ， 抛物线方程为 ， 过焦点 且斜率为 的直线 方程为 ， 联立抛物线方程与直线方程：， 得 ，整理得 ， 设 ， ，则 ， ， 弦长公式为： 故答案为：. 5．（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线的焦点是直线与轴的交点． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线交于两个不同点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）先求出抛物线的焦点坐标，根据抛物线的焦点即可写出方程； （2）设，联立方程组，利用抛物线定义，结合韦达定理求解. 【解答过程】（1）根据题意，直线与轴的交点为， 所以抛物线的焦点， 则抛物线的标准方程为； （2）设，， 当直线的斜率不存在时为，此时，不符合题意： 故设， 联立方程组，得， 则， 根据抛物线定义， 得，所以直线的方程为或. 题型9 圆锥曲线中的面积问题 1．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）已知椭圆方程，过其右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于和四点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解题思路】讨论直线的斜率，设联立椭圆，应用韦达定理、弦长公式及四边形面积公式得，求出对应面积，比较大小即可得. 【解答过程】当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为， 由，消去得，， ，，， 用代替可得，则， 令，故，则，当且仅当时取等号； 当直线的斜率不存在时，将代入椭圆得，则，，故， 同理，当直线的斜率为零时，，，故， 所以四边形面积的最小值为. 故选：C. 2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的关系求出直线斜率，结合直线过点求出直线方程，与双曲线渐近线联立求出交点坐标，再根据两点间距离公式、点到直线的距离公式及三角形面积公式求解即可. 【解答过程】双曲线的左焦点为，，，渐近线为. 直线的斜率为， 因为直线过点，所以直线方程为，即. 联立，解得，可设. 联立，解得，可设. 所以. 点到直线的距离为. 所以. 故选：D. 3．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）已知抛物线，为坐标原点，过点的直线与交于不同的两点，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题设直线的方程为，，进而结合向量关系，韦达定理得，再根据计算面积即可. 【解答过程】由题知直线的斜率不为，故设方程为，， 联立方程得 ， 所以， 因为，， 所以，即， 所以，，解得， 所以的面积为. 故选：C. 4．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为____________． 【答案】 【解题思路】记的面积为，由面积为面积的两倍可得，由直线与双曲线的渐近线交于两点，联立方程组消去可得，而利用韦达定理和弦长公式求得值，最后利用的取值范围求得取值范围. 【解答过程】由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点，与双曲线的右支交于两点. 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 又，则，所以. 故答案为：. 5．（25-26高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是，求的最小值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【解题思路】（1）结合代入法，焦点的坐标进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系，结合直线互相垂直斜率的关系进行求解即可； （3）根据三角形面积公式，结合基本不等式进行求解即可. 【解答过程】（1）椭圆的左右焦点分别为， 设，则， 因为点是椭圆上一点， 则 ， 所以，从而. 所以椭圆的方程为：. （2）证明：直线的斜率显然存在，设方程为. 由，整理得， 设，则， 由已知，所以的斜率分别为， ， 故，所以； （3）设直线，显然，由，解得或， ∴，则， 由上可知，直线， 则， 由，得，解得或， ，则， 由上可知，直线，， 由（2）知，， 则. ， 当且仅当时等号成立，即最小值为. 题型10 圆锥曲线中的参数范围及最值问题 1．（2026·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解题思路】设，且，联立方程组，根据，求得，得到，同理可得，结合和，两种情况求得原点到直线距离，即可求解. 【解答过程】由抛物线，可得焦点，准线方程为， 设， 由题意可知且的斜率存在且不为0，不妨设， 联立方程，整理得， 由直线与抛物线相切可得，解得，所以， 又因为在直线上，所以有，同理可得， 若，则，即的直线方程为，则到的距离为1； 若，则，两式联立消，可得，所以， 所以，整理得， 所以到直线距离， 综上可得，即原点到直线距离的最大值为. 故选：D. 2．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设点，联立直线与的方程求出，同理求出，代入并借助基本不等式求出最大值. 【解答过程】椭圆的焦点，设， 直线的方程为：，由消去， 得，则，同理， 因此. ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C. 3．（25-26高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意首先得点在双曲线上面运动，画出图形结合双曲线定义以及三角形三边关系分类讨论即可求解. 【解答过程】联立，化简并整理得， 由题意，化简得， 解得， 所以过点且与垂直的直线方程为， 在该直线方程中分别令，依次解得， 所以， 即点在双曲线上面运动，双曲线的图象如图所示：    若在右支上面，可以发现点为的右焦点，不妨设其左焦点为， 所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线右支的焦点， 若在左支上面，如图所示：    所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为线段与双曲线左支的焦点， 综上所述，点到两点距离之和的最小值为. 故选：A. 4．（2026·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据双曲线的渐近线方程与的关系即可得双曲线的方程； （2）根据直线与双曲线交点坐标关系，结合三角形几何性质以及可得的关系，从而可得实数的取值范围. 【解答过程】（1）渐近线方程为. 又， 双曲线的方程为. （2）直线与双曲线交于不同的两点， 由 ，得， ，且 ， ，且. 设，则， ， 线段的中点坐标为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 又在由点与构成的三角形中，， 点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上， ， 又， 且，解得，或， 实数的取值范围是. 5．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知椭圆，其中，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，且. (1)求椭圆的方程. (2)已知斜率分别为，的两条直线都过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，及，四点.若，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）联立方程组得到韦达定理，再应用面积公式计算求解参数即得椭圆方程；    （2）设直线再联立方程组，应用弦长公式计算，再结合基本不等式计算最大值. 【解答过程】（1）依题意知，即. 设，，         由消去后整理得， ， 即，由韦达定理知，.     ， ，解得，         ，即椭圆的方程为.      （2）设直线的方程为，，. 由得， ，，         ，同理得， ，     由，设，则，， ，，，     的最大值为，当且仅当时取得最大值.    题型11 圆锥曲线中的向量问题 1．（25-26高二上·陕西西安·期末）经过双曲线的右焦点作倾斜角为45°的直线，交双曲线于，两点，设为坐标原点，则等于（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【解题思路】先依题意写出直线的方程， 联立直线与双曲线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积运算计算即得结果. 【解答过程】由双曲线的方程可知，右焦点坐标为， 的直线方程可设为， 设，，则， 联立可得， ，， ， ． 故选：B． 2．（25-26高三·全国·二轮复习）已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设出直线方程并与抛物线联立，结合已知条件及根与系数的关系即可求解． 【解答过程】因为抛物线的焦点为， 故可设直线方程为，，， 与抛物线方程联立可得，所以， 由，可得，据此解得，即， 的面积为． 故选：B． 3．（25-26高二上·重庆·期中）椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】由椭圆方程可知点的坐标，根据向量可得，，将代入椭圆方程运算求解即可. 【解答过程】椭圆的右顶点，上顶点， 设，则， 由可得，解得，即， 又由，则， 将代入椭圆方程，得， 即，解得或（舍），所以. 故选：A. 4．（25-26高二上·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，且焦点在轴上． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于两点．若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据离心率可构造方程求得，进而得到椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理和向量相等的坐标表示可构造方程组求得结果. 【解答过程】（1）由题意知：，解得：，椭圆方程为. （2） 由题意知：直线斜率，可设，则， 设，， 由得：， ，， ，，且， ，即，，解得：. 5．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）根据双曲线的离心率的值可求出的值，结合的值，即可得出的值； （2）由题意可知直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，可得出，分、两种情况讨论，结合直线与双曲线只有一个公共点可得出关于的等式，即可求得的值； （3）分析可知直线的斜率不为零，可设直线的方程为，设点、，可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合平面向量数量积的坐标运算、韦达定理可得出，结合以及可求出的取值范围. 【解答过程】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，即当时，则，解得. 综上所述，或. （3）由题知、，当直线的斜率为时，此时，不合题意， 则直线的斜率不为，则设直线的方程为，设点、， 根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数，其中， 由韦达定理可得①，②， ，， 则， 因为、在直线上，则，， 即，即， 将①②代入有， 即  化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上，，. 题型12 椭圆中的定点、定值、定直线问题 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，直线l是否过定点？若存在定点，求出定点的坐标． 【答案】(1)； (2)过定点，定点坐标为. 【解题思路】（1）利用椭圆的性质计算参数即可； （2）设直线l方程及M，N坐标，先推导椭圆的第三定义，将斜率关系转化，再构造齐次化方程计算参数即可. 【解答过程】（1）设椭圆的焦距为，则， 当P为椭圆上顶点时，此时，所以， 即该椭圆方程为：； （2）过定点， 易知，由于直线l不过A点，可设， 设， 则， 所以，则， 椭圆方程可化为 ， 则， 易知，则是上述方程的两个根， 即，所以， 即，过定点. 2．（25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程． (2)过点且不过原点的直线与椭圆交于A，B（异于点）两点，分别记直线PA，PB的斜率为．证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】(1)将离心率和点代入计算即可； (2) 设直线方程为，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理表示直线PA，PB的斜率后计算证明. 【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为， 因为椭圆的离心率为，点在椭圆上， 所以， 解得， 则椭圆的标准方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在，设过点的直线方程为， 与椭圆方程联立方程组，整理得， 设交点的坐标分别为，则有， ， 因为，所以， 则 故为定值，定值为. 3．（25-26高三上·天津西青·期末）已知椭圆的离心率为，左顶点到右焦点的距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于，两点（异于点），且满足，试证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据离心率定义及条件，结合的关系，可得的值，即可得答案. （2）设，，将直线与椭圆方程联立，根据韦达定理，可得，表达式，进而可得表达式，根据条件，可得，根据数量积公式，化简整理，可得或，代入直线方程，分析检验，即可得答案. 【解答过程】（1）由题意： ，解得， 所以方程是 . （2）证明：设，，联立， 消可得， 由，得， ， ， 则， 因为，所以， 又因为，所以，， 所以，即， 所以，即， 解得或，均满足， 当时，，直线过点，与已知矛盾， 当时，，直线过点， 综上，直线过定点，定点坐标为. 4．（25-26高二上·湖南·期末）已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点． (1)点在椭圆上，若，求的面积； (2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在轴上存在定点，使得为定值． 【解题思路】（1）由椭圆定义、勾股定理、直角三角形面积公式求解即可； （2）设直线与椭圆联立，设定点，由韦达定理化简数量积，让含m的项系数为 0，即可求出定点的坐标. 【解答过程】（1）设，又，则， 由得，∴解得， 故． （2）由（1）知，左焦点． 因为直线斜率不为0，可设直线的方程为， 联立直线的方程与椭圆方程，得． 设，则， ． 设定点，则， 代入得：， 令此式与无关，则，则， 此时， 因此，在轴上存在定点，使得为定值． 5．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知椭圆其上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，，四边形是面积为8的正方形．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，求的值； (3)过点且平行于的直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1). (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用正方形对角线相等且面积为8计算出b，c，进而求出椭圆C的方程. （2）根据点设出直线斜截式后联立化简即可求解. （3）根据已知条件对和的关系进行先猜后证，再联立两直线方程后即可求解. 【解答过程】（1）由四边形是面积为8的正方形得：，解得， 由，解得. 综上，椭圆C的方程为：. （2）由直线MN过点，故设直线MN：，，，且有， 联立，化简得，其中， 由（1）得，则，， 则. 综上，的值为. （3）由（2）中韦达定理得，，，    根据形式先猜后证：，即，进而得，证明成立. 设过P平行于BM的直线方程为，直线AN的方程为， 联立，得，代入，得，代入直线AN的方程得. 综上，点Q在定直线上. 题型13 双曲线中的定点、定值、定直线问题 1．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）已知双曲线的左顶点为，离心率为，是上的两点． (1)求的标准方程； (2)若（不在直线上)，证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据离心率及的值，求出的值，代入双曲线方程即可. （2）设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理得到两根之和和两根之积，根据进行化简，进而求出定点坐标. 【解答过程】（1）因为，， 所以，故的标准方程为. （2）证明：设直线的方程为，，. 由，得， 则，，， 又，则，， 因为，所以， 即， 即， 即， 整理得，解得或， 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，则直线过定点. 综上，直线过定点． 2．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知双曲线，右焦点为，左、右顶点分别为，，过垂直于轴的弦长为6. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于，两点，直线，交于点，证明：在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意列方程，解方程即得答案； （2）设过 的直线方程为 ，联立直线与双曲线方程，利用韦达定理可得到，利用两点式写出直线，两式相除得到点横坐标与的关系式，再利用韦达定理，可解出点横坐标，即得答案. 【解答过程】（1）由双曲线 的右焦点为 ，得 ， 即 ， 过 垂直于 轴的弦长为 6， 可得点在双曲线上，即 ， 联立，解方程组得：， 故双曲线 的方程为 （2）由（1）知双曲线 ，右焦点 ， 左顶点 ，右顶点 ， 设过 的直线方程为 （）， 代入双曲线方程得 整理得 设 ，，则 是上述方程的两个实根， 且 直线 的方程为， 直线 的方程为， 两式相除得， 代入 ， 计算： 由韦达定理，，代入得 ， 利用 ，解得 ， 代入得：， 因此 ，解得 ， 即 ，. 故交点 的横坐标恒为 ，即 在定直线 上. 3．（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线C：的焦距为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线C上任意一点，且的最小值是. (1)求双曲线C的方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为，，直线：与C的右支交于M，N两点. （i）求实数m的取值范围； （ii）若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【解题思路】（1）运用向量点积与双曲线范围最值； （2）（i）将直线与双曲线方程联立，整理为关于的一元二次方程，再利用“直线与双曲线右支交于两点”的条件，解不等式组得到参数的取值范围； （ii）先直线的斜率，利用韦达定理代入的表达式化简，最终得到定值. 【解答过程】（1）设， 则， 所以， 因为在双曲线上，所以，所以， 所以， 又因为，所以当时，取得最小值为，所以， 因为，所以，又因为焦距为所以，即， 由，可得，所以双曲线的方程为. （2）（i）设， 由，得：， 由直线与双曲线的右支交于两点，可得． 解得，所以的取值范围是； （ii）双曲线的左右顶点，斜率， 故，代入， 得 由（i）可知，可得 代入，可得 即是定值． 4．（25-26高三上·陕西商洛·期末）已知双曲线：，，分别是C的左、右焦点，M，N分别是C的左、右顶点，点，是以为底边的等腰三角形，且. (1)求C的方程. (2)若C上两点P，Q关于点对称，求直线的方程. (3)设过点的动直线交C的右支于A，B两点，若直线，的斜率分别为，.试探究是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是，定值是. 【解题思路】（1）利用中点坐标公式可得，再利用两点间距离公式即可求解C的方程； （2）利用点差法来求中点弦斜率，即可得中点弦直线方程； （3）利用直线与双曲线联立方程组，由韦达定理来证明斜率比值为定值即可. 【解答过程】（1）设，因为是以为底边的等腰三角形，所以，即， 因为，所以， 又由，所以可得，则， 即， 所以C的方程为； （2）设，，则，两式相减得. 因为P，Q关于点对称，所以，，则， 所以直线的方程为，即. （3）如图，作出符合题意的图形， 设，，直线的方程为. 由，得到，则且， 由韦达定理得，， 则 ， 即为定值，定值是. 5．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． (1)求C的方程． (2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （i）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）由得，由点在C上求得，即可得到方程； （2）（i）设，，利用斜率公式证明； （ii）设直线MN的方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理与（i）中结论，可求出，进而可得结论． 【解答过程】（1）因为，所以，则双曲线， 又点在C上，所以，解得， 所以C的方程为． （2）证明：（i）易知，，设，， 则，，即， 而， 所以， 又，所以， 故，为定值． （ii）设直线的方程为，，，， 由，得， 所以． 由（ⅰ）可知，， 即， 即， 化简得，解得， 所以直线的方程为， 因此直线经过定点． 题型14 抛物线中的定点、定值、定直线问题 1．（25-26高二上·山东淄博·期末）已知点为坐标原点，直线经过抛物线的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）抛物线的焦点的坐标为，代入直线方程解得，进而得到抛物线方程； （2）设直线的方程并与抛物线方程联立，由韦达定理得，计算并利用条件求，确定直线过的定点. 【解答过程】（1）抛物线的焦点的坐标为， 因为直线经过焦点，将代入直线方程得：，解得， 所以抛物线的方程为； （2）证明：设直线的方程为，联立，消去得， 其判别式，即， 由韦达定理得， ， 代入得：， 因为，所以，即，解得， 此时恒成立，满足条件， 直线的方程为，所以直线过定点. 2．（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）由焦半径公式求出p即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理和弦长公式即可求出参数得解； （3）由两点间斜率公式结合（2）中的韦达定理进行转化计算即可求解. 【解答过程】（1）根据题意可得，解得．所以的方程为． （2）设，，直线的方程为． 由消去得， 所以即，，， 所以 ，解得， 所以直线的方程为； （3）证明：因为点在上，所以或（舍去），所以， 由（2）得，， 所以 ． 因为，， 所以，即为定值． 3．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为3. (1)求的方程； (2)已知点，不垂直于轴的直线与抛物线交于两点，若直线关于轴对称，求证：直线过定点并写出定点坐标. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据焦半径公式得，解出即可； （2）设直线方程，与抛物线方程联立方程组，设，两点坐标，利用直线，关于轴对称，结合斜率公式和韦达定理化简计算即可. 【解答过程】（1）由题意得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）证明：当直线方程为时，显然不合题意， 则可设直线的方程为，，， 由得，，即， 所以，. 因为直线，关于轴对称，所以， 即，化简，得， 所以，所以， 所以直线的方程为，恒过定点. 4．（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线，直线与相交于、两个不同点，在轴左侧，且． (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线焦点的直线与相交于、两个不同点（异于、两点），在轴左侧． ①若直线的斜率为，求的值； ②设直线与相交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)①； ②证明见解析 【解题思路】（1）根据题意得出点的坐标，将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）①设点、，可知，将直线的方程与抛物线的方程联立，求出、的值，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值； ②设点、，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理得出，求出直线、的方程，将这两直线的方程联立，求出点的坐标，即可得出结论. 【解答过程】（1）由题意可知，点、关于轴对称， 又因为，且在轴左侧，则， 将点的坐标代入抛物线的方程得，解得， 故抛物线的标准方程为. （2）①设点、，易知抛物线的焦点为， 因为直线的斜率为，故直线的方程为， 又因为在轴左侧，结合图形可知， 联立，消去可得，解得，， 故； ②证明：如图所示： 易知点、，设点、， 设直线的方程为，联立可得， ，由韦达定理可得，故， 因为与点不重合，故，即，同理可得， ，故直线的方程为①， 同理可知直线的方程为②， 由①②可得，即， 将代入上式得，解得， 故，解得，故点在定直线上. 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知动点P到点的距离比到直线的距离小1．设动点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)已知点，过点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交C于另一点M，N． ①设直线AB的斜率为，直线MN的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【解题思路】（1）由抛物线的定义得到轨迹方程； （2）①设出直线的方程为，直曲联立，得到，可得，再由斜率的定义，进而可得结论；②由点斜式写出直线的方程，得到过定点，再由三角形面积公式表达出面积，结合弦长公式和二次函数的值域确定最小值. 【解答过程】（1）由题可知，点P到点的距离与到的距离相等， 所以曲线C是以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为． （2）①设， 由题意可知的斜率不为0，设直线的方程为， 联立得，消去，得， 显然，所以， 直线的方程为，联立得， 消去，得，整理得， 则是方程的两根，， 所以，所以，同理可得， ， 因为，所以； ②由①知的方程为：，所以， 所以， 令，则， 所以过定点． 所以 ， 当且仅当时，面积最小，最小值为. 题型15 圆锥曲线中的存在性问题 1．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线C的渐近线方程为，点是双曲线C上一点． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，请问：是否存在常数，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【解题思路】（1）根据渐近线方程设双曲线方程为，代入A点求解即可； （2）设，，直线MN的方程，结合韦达定理求出及关于k的表达式，同时根据MN的方程求出及的值，再据此求出的表达式，结合韦达定理化简该表达式即可求解t的值． 【解答过程】（1）设双曲线方程为：， 因为点在双曲线上，所以，所以， 所以双曲线的方程为． （2）如图所示， 设，，直线MN的方程为， 与双曲线方程联立可得， 即，， 则，， 直线MA的方程为， 令可得， ， 同理可得， ， 所以存在满足． 2．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，从椭圆（）上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，为椭圆右顶点，为椭圆上顶点，且，，为椭圆右焦点，过的直线（不与重合）与椭圆交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)在轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)求的面积的取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【解题思路】（1）根据平行线的性质，结合代入法进行求解即可； （2）设出直线的方程与椭圆的方程联立，根据一元二次方程根的判别式、韦达定理，结合假设法、直线的斜率公式进行求解即可； （3）根据椭圆弦长公式，结合三角形面积公式、点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可. 【解答过程】（1）由题意得，所以， 因为∥，所以，所以， 又因为，， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，， 联立方程得， ， 由韦达定理得，， 假设存在点，使得， 则， 即， 即，所以， 所以，所以， 所以存在点，使得. （3）由（2）得 ， 因为点到直线的距离， 所以的面积， 令，则，， 因为当时，，当且仅当时，取等号， 所以，当且仅当，即时取最大值， 所以的面积的取值范围为. 3．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【解题思路】（1）根据双曲线方程和双曲线的性质，利用待定系数法，即可求解双曲线方程； （2）①首先求直线的方程，与双曲线方程联立，求弦长，并求点到直线的距离，再代入面积公式，即可求解；②当直线的斜率不为0时，设直线，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示，当直线的斜率为0时，分别求出点的坐标，再代入验证，即可求解. 【解答过程】（1）设双曲线的半焦距为． 因为点在双曲线上，得． 因为离心率为，所以， 又，解得， 所以双曲线的渐近线方程为． （2）由（1）知双曲线． ①直线斜率为，，故直线的方程为， 代入双曲线得， ，， 所以． 又点到的距离为， 故的面积为． ②设， 当直线斜率存在且不为0时，设， 代入双曲线得， ，，， 所以 ， 若为常数，则为常数， 设，为常数，则对任意的实数恒成立，， 所以，所以，此时． 当直线斜率为0时，，，对于， 则， 直线斜率不存在时，， 则，对于， 则， 所以在轴上存在定点，使得为定值． 4．（25-26高二下·江西九江·期末）如图，在直角坐标系xOy中，已知F是抛物线Γ：的焦点，过点F的直线交抛物线Γ于A，B两点，且满足． (1)求p的值； (2)已知点，直线AT，BT与抛物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N．抛物线Γ在C，D处的切线交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G． （ⅰ）求证：点P为定点； （ⅱ）记，的面积分别为，，是否存在实数λ使得成立，若存在，则求出λ，若不在，则说明理由． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析； （ⅱ）存在，. 【解题思路】（1）设，，，联立抛物线并应用韦达定理，结合已知求参数值； （2）（ⅰ）设，，，，联立抛物线并应用韦达定理及（1）结果，求得，即可证； （ⅱ）由分析得，则，进而得，应用导数几何意义求抛物线在点C处切线方程，进而得、，可证EG的中点为P，并求得，易得到直线的距离是到直线的距离和的一半，即可得. 【解答过程】（1）由题意，直线AB斜率必存在，设，，， 联立，得，， 所以，，解得或（舍）， 所以； （2）（ⅰ）证明：直线AC斜率必存在，设，，， 联立，得，， 所以，同理，又，所以， 直线CD斜率必存在，设， 联立，得，， 所以，解得，满足， 所以直线CD过定点，即P的坐标为； （ⅱ）由，且，，， 得， 所以直线CD的方程为，由直线CD与直线AB相交，可得， 联立，解得， 因为抛物线方程为，所以， 抛物线在点C处切线方程为， 所以，同理， 又，所以EG的中点为P， 联立，得， 由及，所以， 综上，在线段的同一侧，又是的中点， 所以到直线的距离是到直线的距离和的一半， 所以，即. 5．（2026·陕西榆林·二模）已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，且当 轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：为定值； (3)若点在轴上方，直线与圆交于两点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在. 【解题思路】（1）根据已知条件列出关于的方程，解方程； （2）联立直线与椭圆方程，求弦长，计算，根据数量关系证明； （3）与的面积之比用，表示，转化为点坐标求解. 【解答过程】（1）因为轴时，， 所以点在椭圆上，则， 又，联立解得， 所以椭圆的方程为：． （2）证明：当的斜率为零时，为椭圆长轴端点， ， 则， 当的斜率不为零时，设的方程为： ， 设， 由消去 得， ， 所以， 又， 则， 因此，即， 所以． （3）根据题意得，，， ， 则， 同理， 而，， 由（2）知， 于是，， 所以， 整理得，则 或（舍去）， 因为，而， 解得，即，所以存在点满足题意． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程全章十五大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版】 题型1 椭圆中的焦点三角形问题 1．（25-26高二上·福建泉州·阶段检测）已知，是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D．9 2．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 3．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·上海·阶段检测）设椭圆的左右焦点为，直线过点且交椭圆于两点，则的周长为_________. 5．（25-26高二上·广东深圳·期中）椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 题型2 椭圆中的距离最值问题 1．（25-26高二上·广西柳州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 2．（25-26高二上·湖南长沙·阶段检测）已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，则的最大值是（   ） A． B．9 C．16 D．25 3．（25-26高二上·山东枣庄·期中）设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 4．（25-26高二上·广东·期中）已知椭圆，点、，若点是上动点，则的最大值为____________. 5．（25-26高二上·湖南·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 题型3 双曲线中的焦点三角形问题 1．（25-26高二上·宁夏固原·阶段检测）已知点分别是双曲线的左､右焦点，若点是双曲线左支上的点，且的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·北京丰台·期中）设，分别是双曲线的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且，则的面积等于（    ） A．6 B．10 C．12 D．15 4．（2026高二上·广东广州·专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于，两点，若，则的周长为_____________. 5．（25-26高二上·上海·阶段检测）已知双曲线的焦距为是的两个焦点. (1)若双曲线的离心率为，求的方程； (2)若双曲线的实轴长为，是上一点， 使得，求三角形的面积. 题型4 双曲线中的距离最值问题 1．（25-26高二上·河北雄安·期中）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线C的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D．10 2．（25-26高二上·湖北·阶段检测）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D． 3．（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．10 D．14 4．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为__________. 5．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知双曲线 的实轴长为 4，离心率等于 2 . (1)求双曲线的方程； (2)已知定点 ，若双曲线的左焦点为，为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 题型5 抛物线中的距离最值问题 1．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知，为抛物线上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 2．（25-26高三上·云南昆明·期中）已知抛物线的焦点为，为上的动点，为圆上的动点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（25-26高二上·河南·期中）已知点是抛物线上的一点，设点到直线和的距离分别为，，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 4．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知是抛物线上的动点，是圆上的动点，若的焦点为，则的最小值为__________. 5．（25-26高二上·河北张家口·阶段检测）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，在曲线上是否存在一点，使点到点的距离与点到轴的距离之和取得最小值？若存在点，求出点的坐标以及的最小值. 题型6 椭圆的弦长与“中点弦”问题 1．（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知椭圆，直线与椭圆相交于两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·上海·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是___________. 5．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）已知椭圆离心率，且过点 (1)求椭圆的标准方程. (2)过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于、两点.求弦长； 题型7 双曲线的弦长与“中点弦”问题 1．（25-26高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）过双曲线右焦点作直线与双曲线交于，两点，若，则直线有（    ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 4．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则_____________． 5．（25-26高二上·贵州毕节·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，动点满足：直线与直线的斜率之积是. (1)求动点的轨迹的方程； (2)直线与（1）中轨迹相交于，两点，若为线段的中点，求直线的方程. (3)在（2）的条件下，求弦长. 题型8 抛物线的弦长与焦点弦问题 1．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）设抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于A，B两点，已知，则（   ） A． B． C． D．3 2．（25-26高二上·广东江门·期末）已知斜率为1的直线经过抛物线：（）的焦点，且被抛物线截得的弦长为6，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·四川绵阳·期中）已知抛物线的方程为 ，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，（    ） A． B．3 C． D．2 4．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线l交抛物线于两点，则线段的长为____________. 5．（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线的焦点是直线与轴的交点． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线交于两个不同点，且，求直线的方程. 题型9 圆锥曲线中的面积问题 1．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）已知椭圆方程，过其右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于和四点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山东济宁·阶段检测）已知抛物线，为坐标原点，过点的直线与交于不同的两点，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为____________． 5．（25-26高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是，求的最小值. 题型10 圆锥曲线中的参数范围及最值问题 1．（2026·黑龙江·三模）已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D．1 2．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·浙江金华·期末）已知直线与双曲线有唯一公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于两点，则当运动时，点到两点距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·甘肃白银·三模）已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围. 5．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）已知椭圆，其中，直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，且. (1)求椭圆的方程. (2)已知斜率分别为，的两条直线都过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，及，四点.若，求的最大值. 题型11 圆锥曲线中的向量问题 1．（25-26高二上·陕西西安·期末）经过双曲线的右焦点作倾斜角为45°的直线，交双曲线于，两点，设为坐标原点，则等于（    ） A． B．1 C．2 D． 2．（25-26高三·全国·二轮复习）已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·期中）椭圆的右顶点为A，上顶点为，，点为椭圆上一点且，则的值为（    ） A． B． C． D．2 4．（25-26高二上·云南昭通·期中）已知椭圆的离心率为，且焦点在轴上． (1)求椭圆的方程； (2)斜率为的直线过点，与轴交于点，与椭圆相交于两点．若，求的值． 5．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 题型12 椭圆中的定点、定值、定直线问题 1．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆，，分别是左、右焦点，P是椭圆C上一点，的最大值为3，当P为椭圆上顶点时，为等边三角形． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A，B分别是椭圆C的左、右顶点，若直线l与C交于点M，N，且，直线l是否过定点？若存在定点，求出定点的坐标． 2．（25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程． (2)过点且不过原点的直线与椭圆交于A，B（异于点）两点，分别记直线PA，PB的斜率为．证明：为定值． 3．（25-26高三上·天津西青·期末）已知椭圆的离心率为，左顶点到右焦点的距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，若直线与椭圆相交于，两点（异于点），且满足，试证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 4．（25-26高二上·湖南·期末）已知椭圆，设分别为椭圆的左、右焦点． (1)点在椭圆上，若，求的面积； (2)过点的直线（斜率不为0）交于两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由． 5．（25-26高二上·北京海淀·期末）已知椭圆其上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，，四边形是面积为8的正方形．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，求的值； (3)过点且平行于的直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 题型13 双曲线中的定点、定值、定直线问题 1．（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）已知双曲线的左顶点为，离心率为，是上的两点． (1)求的标准方程； (2)若（不在直线上)，证明：直线过定点． 2．（25-26高二上·山东潍坊·阶段检测）已知双曲线，右焦点为，左、右顶点分别为，，过垂直于轴的弦长为6. (1)求的方程； (2)过的直线与的右支交于，两点，直线，交于点，证明：在定直线上. 3．（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知双曲线C：的焦距为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线C上任意一点，且的最小值是. (1)求双曲线C的方程； (2)记双曲线C的左、右顶点分别为，，直线：与C的右支交于M，N两点. （i）求实数m的取值范围； （ii）若直线，的斜率分别为，，证明：是定值. 4．（25-26高三上·陕西商洛·期末）已知双曲线：，，分别是C的左、右焦点，M，N分别是C的左、右顶点，点，是以为底边的等腰三角形，且. (1)求C的方程. (2)若C上两点P，Q关于点对称，求直线的方程. (3)设过点的动直线交C的右支于A，B两点，若直线，的斜率分别为，.试探究是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 5．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）已知A，B是双曲线的左、右顶点，，点在C上． (1)求C的方程． (2)M是C左支上一点（异于点A），设直线交直线于点P，连接，直线与C的另一个交点为N，设直线，的斜率分别为，． （i）证明：为定值． （ii）证明：直线恒过定点． 题型14 抛物线中的定点、定值、定直线问题 1．（25-26高二上·山东淄博·期末）已知点为坐标原点，直线经过抛物线的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且，证明：直线过定点. 2．（25-26高三上·贵州·阶段检测）已知抛物线：（）的焦点为，点（）在上，，斜率为的直线与交于，两点． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线与的斜率分别为，，证明：为定值． 3．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为3. (1)求的方程； (2)已知点，不垂直于轴的直线与抛物线交于两点，若直线关于轴对称，求证：直线过定点并写出定点坐标. 4．（25-26高二上·山西太原·期末）已知抛物线，直线与相交于、两个不同点，在轴左侧，且． (1)求抛物线的方程； (2)过抛物线焦点的直线与相交于、两个不同点（异于、两点），在轴左侧． ①若直线的斜率为，求的值； ②设直线与相交于点，证明：点在定直线上． 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知动点P到点的距离比到直线的距离小1．设动点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)已知点，过点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，直线AF，BF分别交C于另一点M，N． ①设直线AB的斜率为，直线MN的斜率为，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； ②求面积的最小值． 题型15 圆锥曲线中的存在性问题 1．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线C的渐近线方程为，点是双曲线C上一点． (1)求双曲线C的方程； (2)过点的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q，请问：是否存在常数，使得，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．（25-26高二上·河南郑州·期末）如图，从椭圆（）上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，为椭圆右顶点，为椭圆上顶点，且，，为椭圆右焦点，过的直线（不与重合）与椭圆交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)在轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)求的面积的取值范围． 3．（25-26高二上·安徽蚌埠·阶段检测）已知O为坐标原点，双曲线过点，离心率为． (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)直线l过点，与双曲线C交于A、B两点． ①若直线，求的面积； ②在x轴上是否存在定点N，使得为定值？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26高二下·江西九江·期末）如图，在直角坐标系xOy中，已知F是抛物线Γ：的焦点，过点F的直线交抛物线Γ于A，B两点，且满足． (1)求p的值； (2)已知点，直线AT，BT与抛物线Γ的另一个交点分别为C，D，直线CD交y轴于点P，交直线AB于点N．抛物线Γ在C，D处的切线交于点K，过点P作平行于x轴的直线，分别交直线KD，KC于点E，G． （ⅰ）求证：点P为定点； （ⅱ）记，的面积分别为，，是否存在实数λ使得成立，若存在，则求出λ，若不在，则说明理由． 5．（2026·陕西榆林·二模）已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，且当 轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：为定值； (3)若点在轴上方，直线与圆交于两点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $