第三章 函数的概念与性质单元试卷（能力提升）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学函数概念与性质单元复习能力提升卷，精选阶段检测、新教材精创及近三年高考真题与模拟题，覆盖定义域、奇偶性、单调性等核心知识点，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|定义域（第1题）、奇偶性（第2题）、单调性（第3题）|结合2025年高考真题（第3、7、8题），考查抽象能力| |多选|3/18|充分必要条件（第9题）、函数最值（第11题）|分层设选项，培养推理意识| |填空|3/15|函数性质综合（第12题）、单调性应用（第13题）|创设抽象情境，发展数学眼光| |解答|5/77|幂函数（第15题）、应用题（第16题）、创新定义（第19题）|融入“活水围网”养殖模型（第16题）体现模型意识，第19题创新定义考查逻辑推理|

第3章 函数的概念与性质（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）函数的定义域是，则函数上的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，从而可求出函数的定义域 【详解】因为的定义域是， 所以，即， 解得， 所以函数的定义域为， 故选：A 2．（[新教材精创]2.4.1函数的奇偶性练习（2）-北师大版高中数学必修第一册）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数的奇偶性，排除两选项，然后利用函数值的正负或取特殊值计算出函数值再排除一个，是正确选项． 【详解】函数是偶函数，图象关于轴对称，排出选项A、C；再取特殊值和，可得函数的大致图象为D， 故选：D. 【点睛】本题考查由函数解析式先把函数图象，解题方法是排除法，可先研究函数的性质，排除一些选项，再求特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势等排除一些，最后可得正确选项． 3．（2025·全国·高考真题）设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（    ） ①若单调递增，单调递增，则单调递增； ②若单调递增，单调递减，则单调递增； ③若单调递减，单调递增，则单调递减； ④若单调递减，单调递减，则单调递减. A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】利用函数单调性定义证明②③正确，举反例说明①④错误. 【详解】对于命题①，令，均为增函数，而为减函数，①错误； 对于命题②，设，则，，∴，∴，故单调递增，命题②正确； 对于命题③，设，则，， ∴，∴，故单调递减，命题③正确. 对于命题④，令，均为减函数，而为增函数，故④错误. 故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性，属于基础题. 4．（2026·上海闵行·模拟预测）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在R上为减函数，且，不等式等价于，则在上恒成立，可求实数的取值范围. 【详解】函数，由二次函数的图像和性质可知， 当时，为减函数，且；当时，为减函数，且， 所以在R上为减函数， 当时，；当时，， 所以，不等式等价于， 则在上恒成立，即在上恒成立， 得，解得. 故选：B 5．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）已知偶函数的定义域为，且在上是减函数，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数为偶函数，判断出函数在上的单调性，利用单调性和对称性列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】∵为偶函数，且在上是减函数，∴在上是增函数. 可化为， ∵为偶函数，∴即为. 又在上为减函数，∴ 解得. 故选C. 【点睛】本小题主要考查偶函数的单调性和对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 6．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）设集合,,函数,若,且,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据以及,可以求出的表达式,再根据求出的取值范围. 【详解】∵,∴, ∴ ∴,∴,∴，又∵,∴. 故选C 【点睛】本题考查了复合函数与分段函数的综合应用,考查了数学运算能力. 7．（2025·湖北·高考真题）已知符号函数 是上的增函数，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：本题是选择题，可以用特殊法，符号函数，是上的增函数，，不妨令，则，，所以A不正确，B正确，，C不正确，D正确； 对于D，令，则， ，所以D不正确；故选B． 考点：函数与方程的综合应用 【思路点睛】符号函数或者说函数的新定义问题是高考中一类常考题目，此类题目一般难度不是很大，但想做出来也是很复杂的．所以做此类题目一定要弄清楚新定义函数的意思，然后根据函数的意义及性质，逐步进行解题．此题中新定义的函数，是分段函数的形式，且给了我们另一个函数以及与的关系，利用函数的性质代入即可得到所求答案． 8．（2025·天津·高考真题）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图象及直线，借助图象分析． 【详解】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方， 或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求． 即，即， 或者，得，，即，得， 所以的取值范围是． 故选D． 【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高一上·福建莆田·期中）“函数在上是增函数”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】首先求出命题的充要条件，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】若函数在上是增函数，则，解得， 因为，， 所以“函数在上是增函数”的一个必要不充分条件可以是，. 故选：AD 10．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知函数，若对任意的[t，t+1]，不等式恒成立，则整数t的取值可以是（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】CD 【分析】首先判断在上为增函数，将不等式转化为，即对任意的[t，t+1]恒成立，利用一次函数的单调性，解不等式可得所求范围. 【详解】， 当时，，在递增， 当时，，在上递增， 且，为连续函数， 所以在上为增函数，且， 由对任意的[t，t+1]，不等式恒成立， 即， 即，所以对任意的[t，t+1]恒成立， 由在[t，t+1]上递增， 可得的最大值为， 即，解得. 故选：CD 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的单调性的判断以及应用，解不等式以及不等式恒成立问题的解法，解题的关键是将不等式转化为对任意的[t，t+1]恒成立，考查了转化思想和运算求解能力. 11．（[新教材精创]第五章函数概念与性质练习-苏教版高中数学必修第一册）函数，若是的最小值，则实数a可能的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】AB 【分析】由题意结合基本不等式可得当时，，按照、分类，结合二次函数的性质求得时的最小值，解不等式即可得解. 【详解】因为当时，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，； 当、时，，此时最小值， 因为是的最小值，所以即，解得； 当、时，，此时最小值， 因为是的最小值，所以即， 解得或（舍去）； 所以满足题意的a的取值可为或. 故选：A、B. 【点睛】本题考查了分段函数最值的应用及基本不等式求函数最值、二次函数图象与性质的应用，考查了分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高一上·山东淄博·期中）定义在上的函数f（x）满足＜1，且f（2）＝4，则不等式f（x）＞1的解集为 _____． 【答案】 【分析】不妨设，即可将原式化为，从而说明函数在上单调递减，然后结合已知条件即可解决问题． 【详解】 解：由已知，令，则化为，令，所以该函数在上单调递减，又，故，不等式可化为，故该不等式的解集为， 即不等式的解集为． 故答案为： 13．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数，若任意、且，都有，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题首先可令，将转化为，然后令，通过函数单调性的定义得出函数在上是增函数，最后分为、两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为任意、且，都有， 所以令，即，， 令，则函数在上是增函数， 若，则，显然不成立； 若，则，解得， 综合所述，实数a的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数的性质求参数，主要考查函数单调性的定义以及二次函数性质，要注意这种情况，考查推理能力，是中档题. 14．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数，，则___________. 【答案】9； 【解析】得出即可 【详解】因为 所以 ， 所以. 故答案为：9 【点睛】若是奇函数，则的图象关于对称，满足. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 【分析】（1）根据幂函数的定义及性质计算可得； （2）先将不等式转化为，再分类讨论可得不等式的解集. 【详解】（1）因为函数为幂函数，所以， 即，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，因此. （2）由（1）知，所以， 所以不等式转化为，即. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 16．（25-26高一上·山东济南·自主招生）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值及等号条件． 【答案】(1) (2)当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求出函数解析式. （2）由（1）求出年生长量函数，再分段求出最大值并比较大小即可. 【详解】（1）依题意，当时，关于的函数解析式为； 当时，设关于的函数解析式为， 将代入，得，解得 当时，关于的函数解析式为， 所以函数关于的函数解析式为. （2）设年生长量为， 依题意，， 当时，，随的增大而增大， 因此当时，取得最大值，最大值； 当时，， 当且仅当时取等号，而，即的最大值为， 所以当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米. 17．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数，． (1)求证：在上单调递增； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明：令，则 ， 因为，，，所以， 所以，即, 则在上单调递增. (2)是奇函数，证明：的定义域为，关于原点对称，且， 所以是奇函数. (3) 【详解】（1）略. （2）略. （3）由是奇函数，得， 因为在上单调递增， 所以解得. 故实数的取值范围是. 18．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据计算； （2）分、、三种情况讨论； （3）根据分段函数的单调性求最值. 【详解】（1）由题意得，对恒成立， 则，得， 故的取值范围为； （2）对称轴为，且开口朝上， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，， 则； （3）由（2）可知，当时，； 当时，； 当时，， 故的最大值为. 19．（2026·全国·模拟预测）设函数的定义域为．对于任意正实数，定义，． (1)若，对任意给定正实数，求集合与． (2)设函数满足：对于任意正实数，，均有． （ⅰ）若，且，，证明：对于任意，有； （ⅱ）若对于任意正实数，，还有，且，均为非空集合，证明：存在唯一的实数，使得或． 【答案】(1)，． (2)（ⅰ）依题意，，所以， 因为对任意都成立，所以取， 则有，即①， 同理，因为对任意都成立，所以取， 则有，即②， 由①②得， 取，所以，所以. （ⅱ）定义， 于是，对每个，均有． 又因为， 所以，所以由（ⅰ）可知，若，且，对于任意，有， 下面证明中只有一个元素， 任取，所以对每个，有． 所以函数图像关于直线对称， 假设中存在两个不同的元素，，不妨设，函数图像既关于对称，也关于对称． 所以对任意，． 故是函数的一个周期． 由周期性，对任意和，有． 因此．③ 任取．由③，对于任意整数，均有． 由（ⅰ）知，， 对每个整数都成立．这些区间的并集为整个，故． 此时，矛盾，所以中不可能有两个不同的元素． 又因为，故存在唯一实数，使得， 下面证明或， 因为，所以， 所以不可能同时包含小于的点和大于的点，否则由（ⅰ）知，有，矛盾 若中存在大于的元素，则． 于是每个小于的实数均属于． 若还存在某个且，则因为，必有． 任取，则，并且． 由（ⅰ）知，必有，与矛盾． 因此每个都属于，从而． 同理，若中存在小于的元素，则． 【分析】（1）由集合与的定义和的性质求解； （2）（ⅰ）由已知可得，取，有，可证得结论； （ⅱ）由（ⅰ）可知，是实数集上的连通开集，，证明不可能同时包含小于的点和大于的点，且大于的实数均属于或小于的实数均属于． 【详解】（1）的函数值只取决于，当增大时，函数值严格增大．所以 因此，对于任意，均有 ，． （2）（ⅰ）略 （ⅱ）略 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 函数的概念与性质（能力提升卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（25-26高一上·江西宜春·阶段检测）函数的定义域是，则函数上的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（[新教材精创]2.4.1函数的奇偶性练习（2）-北师大版高中数学必修第一册）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国·高考真题）设，都是上的单调函数，有如下四个命题，正确的是（    ） ①若单调递增，单调递增，则单调递增； ②若单调递增，单调递减，则单调递增； ③若单调递减，单调递增，则单调递减； ④若单调递减，单调递减，则单调递减. A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．（2026·上海闵行·模拟预测）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）已知偶函数的定义域为，且在上是减函数，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·四川绵阳·阶段检测）设集合,,函数,若,且,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2025·湖北·高考真题）已知符号函数 是上的增函数，，则 A． B． C． D． 8．（2025·天津·高考真题）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为 A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（25-26高一上·福建莆田·期中）“函数在上是增函数”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知函数，若对任意的[t，t+1]，不等式恒成立，则整数t的取值可以是（    ） A． B．1 C．3 D．5 11．（[新教材精创]第五章函数概念与性质练习-苏教版高中数学必修第一册）函数，若是的最小值，则实数a可能的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（25-26高一上·山东淄博·期中）定义在上的函数f（x）满足＜1，且f（2）＝4，则不等式f（x）＞1的解集为 _____． 13．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数，若任意、且，都有，则实数a的取值范围是___________． 14．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数，，则___________. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)求关于的不等式的解集（其中）. 16．（25-26高一上·山东济南·自主招生）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值及等号条件． 17．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数，． (1)求证：在上单调递增； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求实数的取值范围． 18．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 19．（2026·全国·模拟预测）设函数的定义域为．对于任意正实数，定义，． (1)若，对任意给定正实数，求集合与． (2)设函数满足：对于任意正实数，，均有． （ⅰ）若，且，，证明：对于任意，有； （ⅱ）若对于任意正实数，，还有，且，均为非空集合，证明：存在唯一的实数，使得或． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $