专题16 将军饮马模型（含勾股）（几何模型讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题16 将军饮马模型（含勾股） 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 10 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 16 20 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 （2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 例1（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（　　）． A．4 B．5 C．6 D． 例2为了解决 A、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边 修建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，则水管线最短要 km(结果保留根号）． 例3（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点． (1)在图（1）中，的长是：__________； (2)在图（2）中，画一个面积为17的格点正方形； (3)在图（3）中，直线l上方有格点A和B，请在直线l上找点P，使P点到A，B两点的距离和最小，并直接写出的最小值． 例4（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．用尺规作图（不写作法．保留作图痕迹）并计算：        (1)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．在图1中作出点P的位置，并求得点P距点C的距离 km； (2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路边建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄A、B的距离之和最小．在图2中作出点M的位置，并求得距离之和的最小值为 km． 例5（24-25八年级上·辽宁大连·期中）人教版八年级上册课本第85页中有下面这道题： 问题1．如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，可使所走的路径最短？      问题解决： 如图3，作出点B关于l的对称点，利用轴对称的性质，问题就转化为：当点C在直线l的什么位置时，与的和最小？ 如图4，在连接A，两点的线中，线段与直线l的交点C的位置即为所求．    数学思考： 有很多问题都可用类似的方法去思考解决． (1)如图5，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，求周长的最小值； (2)如图6，在中，，是边上的中线，点E是上一动点，P为上一动点，，则的最小值为 ． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 例1（24-25七年级下·山东青岛·期末）转化是数学的重要策略，线段最值问题中“线段和最小”与“线段差（绝对值）最大”经常借助轴对称进行转化，再根据“两点之间，线段最短”予以解决． 【模型建立】 （1）如图①，点、在直线同侧，请在直线上作一点，使得最小；（请用直尺和圆规作出点） （2）如图②，在网格中，点、在直线异侧，请在直线上作一点，使得最大；（请用直尺作出点） 【模型应用】 （3）如图③，在中，，射线在内部，，点是射线上一点，连接和，则的最大值为_____． （4）如图④，在中，，，，点为中点，点为上一点，连接和，求的最小值． 例2（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线对称的； (2)在直线上画一点，使得的值最大； (3)请判断的形状并求出边上的高线的长度． 例3（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点、、都在格点上．    (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找出一点，使得的值最大，该最大值为 （保留作图痕迹并标上字母） (3)在正方形网格中存在 个格点，使得该格点与，两点构成以为底边的等腰三角形． 例4（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，中，，，，点在直线的左侧且． (1)求证：是直角三角形； (2)若在边上，求的长； (3)若直线的右侧存在一点，且平分，，当最大时，求的长． 例5（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，每一个小正方形的边长为． (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点，使最小； (3)在上画出点，使最大； (4)求点到所在直线的距离． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）几何模型： 条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小（不必证明）． 模型应用： (1)如图1，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接，由正方形对称性可知，B与D关于直线对称．连接交于P，则的最小值是 ； (2)在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在AD上找一点P，使的最小值为 (3)如图2，，P是内一点，，Q、R分别是上的动点，求周长的最小值． （提示：分别作点P关于和的对称点，连接） 例2（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（   ） A．8 B． C．16 D． 例3（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，点是内部一点，且，分别在边，上各取一点，，分别连接，，三点组成三角形，则最小周长为 ． 例4（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，点A是内部一点，且cm，分别是边两个动点，则最小周长为 cm． 例5（24-25八年级·浙江嘉兴·期末）如图，内有一定点P，且，在上有一动点Q，上有一动点R，若周长最小，则最小周长是 ． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1．（24-25八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 例2（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 例3（24-25八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ． 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（    ） A．2 B． C． D． 3、（24-25九年级下·广东江门·阶段练习）在四边形中，，，，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值为 4．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在五边形中，，在上分别找一点M，N，使的周长最小，则的最小周长为 ． 5．（24-25八年级上·天津津南·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是高． （1）若AB=8，则AD的长为 ； （2）若M，N分别是CA，CB上的动点，点E在斜边AB上，请在图中画出点M，N，使DM+MN+NE最小（不写作法，保留作图痕迹）． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，点A是∠MON=45°内部一点，且OA=4cm，分别在边OM，ON上各取一点B，C，分别连接A，B，C三点组成三角形，则△ABC最小周长为 . 7．如图，在五边形中，已知，，，在上分别找一点M、N，若要使的周长最小时，则的最小周长为 ． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上． (1)请你直接写出的度数是________；的面积是________； (2)画出格点关于直线对称的； (3)请你在直线上画出一个点P，使周长最小，并求最小值．（保留作图痕迹） 9．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，点，，均在小正方形的顶点上． (1)的形状是______； (2)在图中画出与关于直线成轴对称的； (3)结合所画图形，在直线上画出点，使最小； (4)根据图形，求的面积． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）如图1，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的． ①的面积是____________； ②利用网格线画，使它与关于直线l对称； ③求作一格点P，使点P到的距离相等，且点P到点A和点B的距离相等，在图中用没有刻度的直尺作出点P（不写作法，保留作图痕迹）； ④在l上找一点Q，使的周长最小． （2）如图2所示，已知，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图：在边上确定一点P，使得．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） 11．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）在四边形中，，， ，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值．    12．（24-25八年级上·江西萍乡·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知，设． (1)用含x的代数式表示的值； (2)探究：当点C满足什么条件时，的值最小？最小值是多少？ 13．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图是边长为1的小正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)直接写出图中格点的面积为______； (2)若格点满足，，请在图中画出符合条件的； (3)在直线上找点，使最小，则的最小值是______（保留作图痕迹）． 14．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，将线段放在单位长为1的小正方形网格内，点，均落在格点上． (1)按下列要求画图（保留必要的画图痕迹，不必写画法） ①请在线段上画出点，使得的和最小； ②请在线段上画出点，使得的和最小； (2)请观察、测量或计算按（1）中要求所画的图形． ①的和最小的依据是 　　； ②　　（直接写出答案）． 15．（2022八年级上·全国·专题练习）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x． (1)用含x的代数式表示AC＋CE的值； (2)探究：当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式的最小值． 16．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）【教材重现】教材第69页“数学活动”栏目的主题是“折纸与证明”，该栏目强调：“折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法”．例如，在中，（如图1）．求证：． 我们可以通过折叠来证明．将沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处（如图2），于是，由，，可得． 小明在学习完这一段内容，对该内容中的结论和方法分别作如下反思和应用． 【反思应用1】小明类比“等边对等角”，将上面的结论概括为“大边对大角”，请你和小明一起利用这一结论解答下面这个问题： （1）如图3，在四边形中，四边都不相等，且边最大，边最小．求证：； 【反思应用2】小明觉得折纸活动其实就是翻折变换，应用翻折变换确实可以将试题中的信息进行重新组合，进而易于找到问题解决的突破口，请解决下面的问题： （2）如图4，在中，，，，． ①求的长； ②点M、N分别是边、上的动点，连接、，请直接写出的最小值． 17．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为2．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线对称的；（要求∶A与，B与，C与相对应） (2)若有一格点P到点B、C的距离相等，则网格中满足条件的点P共有______个； (3)在直线l上找一点Q，使的值最小，并直接写出此时的最小值的平方______． 18．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作A点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： (1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为　　； (2)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由． 19．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）在等腰中，是射线上的动点，过点作（始终在上方），且，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若D，E为线段上的两个动点，且，连接，求的长． (3)如图3，若M为中点，连接，在点的运动过程中，当______时，的长最小，最小值是______． 20．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在的网格中（每个小正方形的边长为1），的三个顶点都在格点上，且直线m、n互相垂直 ①作关于直线m的对称图形； ②若网格上的每个小正方形的边长为1，则的面积为______． ③在直线n上找一点Q，使的值最小，并求出最小值为________（结果保留根号） 21．（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）问题提出 (1)如图①，在中，，，．若点是边上一点，则的最小值为 ； 问题探究 (2)如图②，在中，，，点是的中点．若点是边上一点，试求的最小值； 问题解决 (3)某市一湿地公园内有一条四边形型环湖路，如图③所示．已知米，米，，，．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由连接而成的步行景观道，其中，点分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时，的长．（路面宽度忽略不计） 22．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）回顾旧知 （1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点，作点A关于l的对称点，与直线l相交于点C．连接，易知 ，从而有．这样，在中，根据“ ”可知与l的交点P即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，E，F为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，点D，E分别为上的动点，且，请直接写出的最小值．                               23．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．        (1)为方便村民出行，计划在公路l上新建一个公交站点 P，要求该站到村庄、的距离相等，在图1中用直尺和圆规作出点 P （不写作法． 保留作图痕迹）； (2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路l上建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄、的距离之和最小． ①在图2中作出点 ； ②该垃圾中转站建成后， ． 24．（24-25九年级上·重庆大渡口·开学考试）如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，等边三角形，顶点从点出发，沿以每秒单位的速度在射线上运动，且点不与点重合，设运动时间为，连接． (1)如图，当时，求证：； (2)如图，当时，此时的周长是否存在最小值？若存在，求出 的最小周长，若不存在，请说明理由． 25．（24-25八年级上·山东聊城·期中）（1）如图1，直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小，请作出示意图，在直线上画出点（要有必要的画图痕迹，不用写画法）：      （2）如图2，中，，，，是的中点，是边上的一动点，画出点，使得的值最小，并直接写出的最小值； （3）如图3，点在内部，点，分别在射线，上，若周长最小，画出示意图，标出点，点． 26．（24-25八年级上·广东深圳·期末）【项目式学习】阅读并完成以下任务： 如图①，若A，E两点在直线同侧，分别过点A，E作，C为线段上一动点，连接，．已知，设． 【任务一】 （1）用含x的代数式表示为： ； （2）请问点C满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【任务二】 由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 27．（2025·山东滨州·模拟预测）（1）如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．若，，要使这三家农户所得土地的形状、大小相同，请你试着分一分．用两种不同的作图方法作出来．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在，，，，在、上各有一个动点，，要使的值最小，请画出示意图（画图工具不限）确定，的位置，并直接写出的最小值． 28．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，小河的同一侧有A、B两个村庄，它们到小河所在直线的距离分别为，，．要在小河上之间修建一座小型发电站P，使得拉到A、B两个村庄的电线长之和最小，最小值为多少？ 29．（24-25八年级下·山西晋中·期中）唐代诗人李欣《古从军行》里有这样一句诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．由此引申出一系列有趣的数学问题，后来人们通常称之为“将军饮马”问题． 【经典再现】如图，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 某课题组在探究这一问题时把这一情境抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为的长． 【数学思考】学习了三角形之后，我们发现有很多问题都可用类似的方法去思考解决． 任务一：如图，在等边三角形中，是边上的高，为的中点，为上一动点，若，求周长的最小值； 任务二：如图，在中，，是中线，点是上一动点，为上一动点，若的面积等于，则的最小值为_______． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 将军饮马模型（含勾股） 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 10 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 16 20 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，，∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴，∴轴，∵，，∴， ∴在中，，故答案为：5 （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【详解】解：∵A、C两点关于直线EF对称，∴， ∵的周长是18，，∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵A、C两点关于直线EF对称，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故选：B． （2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴周长为，当四点共线时取得最小值， ∵是关于的对称点，∴， 又∵∴∴是等腰直角三角形， ∴∴当时，取得最小值，即周长最小。 又∵，，∴。 ∴周长最小为 故答案为：． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 例1（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，高速公路上有A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，．于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（　　）． A．4 B．5 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据C、D两村庄到E站的距离相等，可得到，则由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵C、D两村庄到E站的距离相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 例2为了解决 A、B 两个村的村民饮水难，计划在笔直的河边 修建一个水泵站，为节约经费，该水泵站与两村的水管线总长力求做到最短，已知 A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km，则水管线最短要 km(结果保留根号）． 【答案】 【分析】作点A关于直线的对称点A′，连接BA′与直线交于点P，此时PA+PB最小，先在Rt△ABM中利用勾股定理求出线段AM的长，再在Rt△A′BN中利用勾股定理求出线段A′B即可． 【详解】如图， 作点A关于直线的对称点A′，连接BA′与直线交于点P，此时PA+PB最小． 作A′N∥，AM∥，BN⊥与AM、A′N分别交于点M、N， ∵A 村到河边的距离为 1km，B 村到河边的距离为 2km，AB=4km， ∴Rt△ABM中，BM=1km，AB=4km， ∴AM=(km)， 在Rt△A′BN中，∵A′N= AM=(km)，BN=1+2=3(km)， ∴A′B=(km)， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、勾股定理的应用等知识，利用对称找到点P的位置是解题的关键，属于中考常考题型． 例3（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点． (1)在图（1）中，的长是：__________； (2)在图（2）中，画一个面积为17的格点正方形； (3)在图（3）中，直线l上方有格点A和B，请在直线l上找点P，使P点到A，B两点的距离和最小，并直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析，的最小值为5 【分析】本题考查了勾股定理与网格，轴对称的性质． （1）根据勾股定理即可求解； （2）作一个边长为的正方形即可； （3）过直线l作点A的对称点，连接交直线l于点P，则点P即为所求，的最小值即为的长度，再根据勾股定理即可求得的最小值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：如图所示， （3）解：如图，点P即为所求， 则． 例4（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．用尺规作图（不写作法．保留作图痕迹）并计算：        (1)为方便村民出行，计划在公路边新建一个公交站点P，要求该站到村庄A、B的距离相等．在图1中作出点P的位置，并求得点P距点C的距离 km； (2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路边建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄A、B的距离之和最小．在图2中作出点M的位置，并求得距离之和的最小值为 km． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析；5 【分析】本题考查作图应用与设计作图，设计勾股定理及应用，一元一次方程的应用等． （1）连接，作的垂直平分线交于，点即为所求；设，可得，即可解得的长； （2）作关于直线的对称点，连接交直线于，此时，因，，共线，故最小，点即为所求；过作交延长线于，求出，，得，用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于，如图： 点即为所求； 设，则， ， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：作关于直线的对称点，连接交直线于，此时，因，，共线，故最小，如图： 点即为所求； 过作交延长线于，则四边形是矩形， ，，， ， ， 的最小值为， 故答案为：5． 例5（24-25八年级上·辽宁大连·期中）人教版八年级上册课本第85页中有下面这道题： 问题1．如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，可使所走的路径最短？      问题解决： 如图3，作出点B关于l的对称点，利用轴对称的性质，问题就转化为：当点C在直线l的什么位置时，与的和最小？ 如图4，在连接A，两点的线中，线段与直线l的交点C的位置即为所求．    数学思考： 有很多问题都可用类似的方法去思考解决． (1)如图5，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，求周长的最小值； (2)如图6，在中，，是边上的中线，点E是上一动点，P为上一动点，，则的最小值为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，则的长度即为与的和的最小值，再求出的长度，得到，即可得到答案； （2）作于E，交于点P，则的长度即为与和的最小值． 【详解】（1）解：如图5，连接交于点P，此时最小，    ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴，， 即就是的最小值， ∵，E为的中点，， ∴． ∴的最小值是12． ∵， ∴， 解得， ∴ ∴的最小值是，即周长的最小值是． （2）作于E，交于点P，则的长度即为与和的最小值，    ∵，， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴是边上的高线，即垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短、等边三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 例1（24-25七年级下·山东青岛·期末）转化是数学的重要策略，线段最值问题中“线段和最小”与“线段差（绝对值）最大”经常借助轴对称进行转化，再根据“两点之间，线段最短”予以解决． 【模型建立】 （1）如图①，点、在直线同侧，请在直线上作一点，使得最小；（请用直尺和圆规作出点） （2）如图②，在网格中，点、在直线异侧，请在直线上作一点，使得最大；（请用直尺作出点） 【模型应用】 （3）如图③，在中，，射线在内部，，点是射线上一点，连接和，则的最大值为_____． （4）如图④，在中，，，，点为中点，点为上一点，连接和，求的最小值． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）4（4）3 【分析】本题考查的是轴对称的应用，根据轴对称的性质解决问题是解题关键， （1）作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，则点P即为所求作； （2）作点A关于直线的对称点，连接并延长交直线于点P，则，则点P即为所求作； （3）作点A关于射线的对称点，连接并延长交射线于点P，则，则点P即为所求，求出最大值即可； （4）作点B关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求，求出的最小值即可． 【详解】解：（1）如下图点即为所求作； （2）如下图点即为所求作； （3）作点A关于射线的对称点，连接并延长交射线于点P，则点P即为所求； 在中，，， 由对称性可知，， 则， 是等边三角形， ； 则的最大值为4； （4）作点B关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求， 连接， 在中，，，， 是等边三角形，， ， ， 点为中点， ， ， 则的最小值为3． 例2（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线对称的； (2)在直线上画一点，使得的值最大； (3)请判断的形状并求出边上的高线的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形， 【分析】本题考查作图--轴对称变换，勾股定理及其逆定理，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可在网格中画出关于直线对称的； （2）延长交直线于点，根据两点之间线段最短可使得的值最大； （3）根据网格利用勾股定理逆定理即可判断的形状并求出边上的高线的长度． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下∶ ∵ ，，， ， ， 边上的高线． 例3（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点、、都在格点上．    (1)在图中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找出一点，使得的值最大，该最大值为 （保留作图痕迹并标上字母） (3)在正方形网格中存在 个格点，使得该格点与，两点构成以为底边的等腰三角形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析，5 (3)4 【分析】本题主要考查作图——轴对称变换，掌握轴对称变换的特点，结合格点作图是解题的关键． （1）分别作出的顶点关于直线的对称点，顺次连接可得； （2）作射线，与直线l的交点即为点P； （3）利用格点作线段的中垂线，从而得出符合条件的格点． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：如上图所示，点即为所求．的值最大，最大值为线段的长，， 故答案为：5； （3）解：如上图所示，在正方形网格中存在4个格点、与两点构成以为底边的等腰三角形， 故答案为：4． 例4（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，中，，，，点在直线的左侧且． (1)求证：是直角三角形； (2)若在边上，求的长； (3)若直线的右侧存在一点，且平分，，当最大时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理判断出是直角三角形， （2）根据三角形的面积，求出的长即可． （3）画出图像，证明，当A，B，三点共线时，最大，代入求值即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：如图，过点作交于点， 在中，∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图，过点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当A，B，三点共线时，最大， 由（2）知：，， ∴， ∵， ∴． 例5（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，每一个小正方形的边长为． (1)画出格点关于直线的对称的； (2)在上画出点，使最小； (3)在上画出点，使最大； (4)求点到所在直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点即可； （2）连接交于点，连接，点即为所求； （3）延长交于点，点即为所求； （4）利用面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）如图，点即为所求； （4）过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴点到的距离为． 【点睛】本题主要考查了作图—轴对称变换、最短路径、三角形三边关系、网格中求三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）几何模型： 条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小（不必证明）． 模型应用： (1)如图1，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接，由正方形对称性可知，B与D关于直线对称．连接交于P，则的最小值是 ； (2)在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在AD上找一点P，使的最小值为 (3)如图2，，P是内一点，，Q、R分别是上的动点，求周长的最小值． （提示：分别作点P关于和的对称点，连接） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确作出辅助线和熟知轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质可得，则可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）连接，可证明垂直平分，得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）分别作点P关于和的对称点，连接，，可推出当四点共线时， 有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长；证明，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵B与D关于直线对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； ∵为的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为； （2）解：如图所示，连接， ∵是等边三角形，是高， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，分别作点P关于和的对称点，连接，， ∴，， ， ∴的周长， ∴当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长； ∵， ∴， ∴的周长的最小值为． 例2（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=8．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（   ） A．8 B． C．16 D． 【答案】B 【分析】如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，根据轴对称的性质可得PQ＝P1Q，PR＝P2R，从而得到△PQR的周长＝P1P2并且此时有最小值，连接P1O、P2O，根据轴对称的性质和已知条件可得△P1OP2为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，则PQ＝P1Q，PR＝P2R， 所以△PQR的周长＝PQ+QR+PR＝P1Q+QR+P2R＝P1P2， 由两点之间线段最短可得：此时△PQR周长最小， 连接P1O、P2O，则∠AOP＝∠AOP1，OP1＝OP，∠BOP＝∠BOP2，OP2＝OP， 所以OP1＝OP2＝OP＝8，∠P1OP2＝2∠AOB＝2×45°＝90°， 所以△P1OP2为等腰直角三角形， 所以P1P2＝OP1＝8， 即△PQR最小周长是8． 故选：B． 【点睛】本题考查了由轴对称确定最短路线问题、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，难点在于作辅助线得到与△PQR周长相等的线段． 例3（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，点是内部一点，且，分别在边，上各取一点，，分别连接，，三点组成三角形，则最小周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、，由轴对称的性质可得，，，，，从而可得当、、、在同一直线上时，的周长最小，为，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、， 由轴对称的性质可得：，，，，， ∴的周长， ∴当、、、在同一直线上时，的周长最小，为， ∵， ∴， ∴， ∴最小周长为， 故答案为：． 例4（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，点A是内部一点，且cm，分别是边两个动点，则最小周长为 cm． 【答案】 【分析】分别作点关于的对称点，连接，分别交于于点，连接，利用轴对称的性质和等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：分别作点关于的对称点，连接，分别交于于点，连接， 由轴对称的性质得，，，，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴最小周长为． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了轴对称−最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点． 例5（24-25八年级·浙江嘉兴·期末）如图，内有一定点P，且，在上有一动点Q，上有一动点R，若周长最小，则最小周长是 ． 【答案】 【分析】作点P关于OA的对称点，关于OB的对称点，连接与OA、OB分别相交于点Q、R，根据轴对称的性质可得，，从而得到△PQR的周长，并且此时有最小值，连接，再求出为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点，关于OB的对称点， 连接与OA、OB分别相交于点Q、R， 所以，，， 所以，的周长， 由两点之间线段最短得，此时周长最小， 连接， 则 所以， 所以，为等腰直角三角， 所以，， 即最小周长是． 故答案为． 【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于作辅助线得到与周长相等的线段． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1．（24-25八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：如图，过点P作的对称点，过点Q作的对称点，连接，交于点A，交于点B，则， ∴为最小值， ∵点P与点关于对称，点Q与点关于对称， ∴ ∵，∴， ∴， ∴，即的最小值为10，故选：D． 例2（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接， 则，，的最小值为， 由轴对称的性质得，，，， ，∵，为等边三角形， ，即的值最小为3；故答案为：3． 例3（24-25八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，则， 作点关于的对称点，则，∴ 当四点共线时，最小，连接， ∵则, ∴∵, 过作垂直的延长线交于点，∴ 在中，，根据角所对的直角边是斜边的一半可知， 则，∴ 即的最小值为．故答案为：． 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知两村分别距公路的距离，且．在公路上建一中转站使最小，则的最小值为（   ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及最短路径问题，作点关于的对称点，连接，作，可推出，得出的最小值为线段的长度；求出，，即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，作，如图所示： 则， ∴的最小值为线段的长度； 由题意得：四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，中，，点D，E分别是，的中点，在上找一点P，使最小，则这个最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，取中点，连接，由题意知，，证明，则，，可知当三点共线时，最小，最小为，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，取中点，连接，   ∵，，点D是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，最小为， 由勾股定理得，， 故选：C． 3、（24-25九年级下·广东江门·阶段练习）在四边形中，，，，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值为 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与、分别交于点、，由轴对称的性质可得，，，表示出的周长，由两点之间线段最短，此时的周长最小，为，过点作，交的延长线于点，则为等腰三角形，结合勾股定理可得，求出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，与、分别交于点、，则此时的周长最小， ， 由轴对称的性质可得，，， ∴的周长， ∵两点之间线段最短， ∴此时的周长最小，为， 过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在五边形中，，在上分别找一点M，N，使的周长最小，则的最小周长为 ． 【答案】 【分析】利用点的对称，让的三边在同一直线上，即作出A关于和的对称点，即可得出最短路线，再利用勾股定理，求出即可． 【详解】解：作A关于和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值，过作延长线的垂线，垂足为H， ∵， ∴， 则中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最短路径问题，作出A关于和的对称点，将的三边转化在同一直线上是解题的关键． 5．（24-25八年级上·天津津南·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是高． （1）若AB=8，则AD的长为 ； （2）若M，N分别是CA，CB上的动点，点E在斜边AB上，请在图中画出点M，N，使DM+MN+NE最小（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1）；（2）作图见解析 【分析】（1）先利用含的直角三角形的性质求解 再利用勾股定理求解 再利用求解，再利用勾股定理求解即可； （2）作点关于的对称点 作关于的对称点，连接 交于 交于 则此时的值最小，即为线段的长. 【详解】解：（1） ∠ACB=90°，∠B=30°，AB=8， 故答案为： （2）如图，即为所求作的点， 【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，利用轴对称的性质确定线段和取最小值时点的位置，掌握“轴对称的性质”是解本题的关键. 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，点A是∠MON=45°内部一点，且OA=4cm，分别在边OM，ON上各取一点B，C，分别连接A，B，C三点组成三角形，则△ABC最小周长为 . 【答案】4 【分析】作A关于OM的对称点A´，A关于ON的对称点A´´，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得AB=A´B，AC=A´´C，OA=OA´=OA´´=4，再由勾股定理求得A´A´´长，由三角形周长公式结合等量代换即可求得答案． 【详解】作A关于OM的对称点A´，A关于ON的对称点A´´，如图， ∴AB=A´B，AC=A´´C，OA=OA´=OA´´=4， ∵∠MON=45° ∴∠AOA´´=90° ∴A´A´´==4（cm） ∴△ABC 周长=AB+AC+BC=A´B+A´´C+BC=A´A´´=4（cm） 即△ABC的周长最小值为4 故答案为：4． 【点睛】本题考查了轴对称、垂直平分线、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、垂直平分线、勾股定理的性质，从而完成求解． 7．如图，在五边形中，已知，，，在上分别找一点M、N，若要使的周长最小时，则的最小周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题. 作出A关于和的对称点，将的三边转化在同一直线上是解题的关键.利用点的对称，让的三边在同一直线上，即作出A关于和的对称点，即可得出最短路线，再利用勾股定理，求出即可． 【详解】解：作A关于和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值． 过作延长线的垂线，垂足为H， ∵， ∴， 则中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知的顶点均在格点上． (1)请你直接写出的度数是________；的面积是________； (2)画出格点关于直线对称的； (3)请你在直线上画出一个点P，使周长最小，并求最小值．（保留作图痕迹） 【答案】(1)；5 (2)见解析 (3)图见解析，周长最小值为． 【分析】（1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形即可求解； （2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可求解； （3）连接交直线于点P，连接，点P即为所求，再利用网格和勾股定理求出周长即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ． 故答案为：；5． （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点P即为所求． ∵点B与点关于直线对称， ∴ ∴， 根据两点之间线段最短，此时，最小值为， ∵，， ∴的周长最小值． 【点睛】本题考查网格与勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，作图-轴对称变换，轴对称最短路径问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 9．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在边长为的小正方形组成的网格中，点，，均在小正方形的顶点上． (1)的形状是______； (2)在图中画出与关于直线成轴对称的； (3)结合所画图形，在直线上画出点，使最小； (4)根据图形，求的面积． 【答案】(1)直角三角形 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、作图—轴对称变换、割补法求三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理求出、、的长，再由勾股定理逆定理计算即可得出答案； （2）根据轴对称的性质作出即可； （3）连接交直线于点，点即为所作； （4）利用割补法求三角形面积即可． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：，，， ∴， ∴的形状是直角三角形； （2）解：如图，即为所作， ； （3）解：如图，点即为所作； （4）解：的面积． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）如图1，在边长为1的小正方形组成的方格纸中，有一个以格点为顶点的． ①的面积是____________； ②利用网格线画，使它与关于直线l对称； ③求作一格点P，使点P到的距离相等，且点P到点A和点B的距离相等，在图中用没有刻度的直尺作出点P（不写作法，保留作图痕迹）； ④在l上找一点Q，使的周长最小． （2）如图2所示，已知，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图：在边上确定一点P，使得．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】（1）①；②见解析；③见解析；④见解析；（2）见解析 【分析】1）①由勾股定理和勾股定理逆定理得出为直角三角形，，再由三角形面积公式计算即可得解；②根据轴对称的性质作图即可得解；③画的平分线和的垂直平分线，交点即为点；④连接交直线于，点即为所求； （2）作的垂直平分线交于点，连接，则． 【详解】解：（1）①由勾股定理得：，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴的面积是； ②如图，即为所作， ； ③如图：点即为所求， ； ④如图，点即为所作， ； （2）作出图如图所示： ． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、作图—轴对称变换、尺规作图—基本作图等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 11．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）在四边形中，，， ，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，求周长的最小值．    【答案】 【分析】本题考查对称的性质和勾股定理，根据两点间线段最短找到的周长最小的情况是本题解题的关键．作关于的对称点，关于的对称点，连接、，与、分别交于、，找到的周长最小的情况．再过作延长线的垂线，交延长线于点，利用勾股定理求出，即的周长的最小值． 【详解】如图所示，作关于的对称点，关于的对称点，连接、，与、分别交于、，则此时的周长最小．    证明如下：作关于的对称点，关于的对称点， ，， ， 两点之间线段最短 的周长最小，． 作延长线的垂线，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 12．（24-25八年级上·江西萍乡·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B，D作，连接．已知，设． (1)用含x的代数式表示的值； (2)探究：当点C满足什么条件时，的值最小？最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值是5 【分析】（1）根据线段的和差，可得的长，根据勾股定理，可得答案； （2）根据两点之间线段最短，可得线段的最小值为的长，根据勾股定理，可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴都是直角三角形， ∵，， ∴， 在中， ∴， ， ∴； （2）解：当A、C、E三点共线时，的值最小，最小值为的长， 过A作交的延长线于F， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是5． 【点睛】本题考查轴对称——最短路线问题和勾股定理，解题的关键是掌握轴对称——最短路线问题和勾股定理． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图是边长为1的小正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点． (1)直接写出图中格点的面积为______； (2)若格点满足，，请在图中画出符合条件的； (3)在直线上找点，使最小，则的最小值是______（保留作图痕迹）． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）通过长方形的面积减去三角形的面积即可得到答案； （2）根据，，即可找出D点； （3）过点A作直线的对称点，连接交直线与点P，点P即所求点． 【详解】（1）解：由图可得长方形的面积为：， 故答案为：； （2）解：由题意可得，， ∴符合条件的如下图所示： （3）解：如下图所示，过点A作直线的对称点，连接交直线与点P，点P即所求点， ∴的最小值等于， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的知识． 14．（24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，将线段放在单位长为1的小正方形网格内，点，均落在格点上． (1)按下列要求画图（保留必要的画图痕迹，不必写画法） ①请在线段上画出点，使得的和最小； ②请在线段上画出点，使得的和最小； (2)请观察、测量或计算按（1）中要求所画的图形． ①的和最小的依据是 　　； ②　　（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析 (2)①两点之间，线段最短；② 【分析】（1）根据轴对称的性质作出图形； ①作点B关于CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点P，使得的和最小，点P就是所求的点； ②作点A关于CD的对称点A'，连接A'B，交CD于点Q，使得的和最小，点Q就是所求的点； （2）①根据两点之间线段最短解答即可； ②根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）如图所示： （2）①根据轴对称的性质可知：的和最小的依据是两点之间，线段最短， 故答案为：两点之间，线段最短； ②根据轴对称的性质可知：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图，轴对称的性质-最短路径问题，掌握轴对称的性质、勾股定理等知识是解题的关键． 15．（2022八年级上·全国·专题练习）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝4，设CD＝x． (1)用含x的代数式表示AC＋CE的值； (2)探究：当点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？最小值是多少？ (3)根据（2）中的结论，请构造图形求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)5 (3)13 【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得； （2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小； （3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值． 【详解】（1）解：∵AB⊥BD，ED⊥BD 在中， ∴AC＝＝， CE＝＝， ∴AC+CE＝； （2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小， 过A作AF⊥DE交ED的延长线于F， ∴DF＝AB＝2， ∴AE＝＝5， ∴AC+CE的最小值是5； （3）如图2所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C， 设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值． 过点A作AFBD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF， 则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5， 所以AE＝＝＝13， 即的最小值为13． 【点睛】本题考查了最短路线问题，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式的值的方法，利用两点之间线段最短是解决问题的关键． 16．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）【教材重现】教材第69页“数学活动”栏目的主题是“折纸与证明”，该栏目强调：“折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法”．例如，在中，（如图1）．求证：． 我们可以通过折叠来证明．将沿的平分线翻折，因为，所以点C落在上的点处（如图2），于是，由，，可得． 小明在学习完这一段内容，对该内容中的结论和方法分别作如下反思和应用． 【反思应用1】小明类比“等边对等角”，将上面的结论概括为“大边对大角”，请你和小明一起利用这一结论解答下面这个问题： （1）如图3，在四边形中，四边都不相等，且边最大，边最小．求证：； 【反思应用2】小明觉得折纸活动其实就是翻折变换，应用翻折变换确实可以将试题中的信息进行重新组合，进而易于找到问题解决的突破口，请解决下面的问题： （2）如图4，在中，，，，． ①求的长； ②点M、N分别是边、上的动点，连接、，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）① ② 【分析】（1）连接，在中，利用大边对大角得出，在中，利用大边对大角得出，即可得出结论． （2）①将沿翻折，得到，点B落在上的点E处，过点E作于F，利用角平分线的性质得，利用勾股定理与三角形面积公式求解即可； ②将沿翻折，得到，则点C落在的延长线上的点E处，过点E作于N，交于M，根据垂线段最短，可得此时最小，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接． 因为边是四边形中的最大边， 所以在中，．所以． 因为边是四边形中的最小边， 所以在中，．所以． 所以．即． （2）①如图4，将沿翻折，得到， ∴，， ∵， ∴点B落在上的点E处， 由勾股定理得． ∵，， ∴， ∴平分． 过点E作于F，则，设，则． 由，得， ∴， ∴； ②如图，将沿AD翻折，得到， ∴，， ∵， ∴点C落在的延长线上的点E处， 过点E作于N，交于M， 此时最小， 由①知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形边角的不等关系，翻折的性质的应用，线段垂直平分线，角平分线的性质，垂线段最短．熟练掌握利用轴对称求最短距离问题是解题的关键． 17．（24-25七年级上·山东烟台·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为2．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．    (1)在图中作出关于直线对称的；（要求∶A与，B与，C与相对应） (2)若有一格点P到点B、C的距离相等，则网格中满足条件的点P共有______个； (3)在直线l上找一点Q，使的值最小，并直接写出此时的最小值的平方______． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)图见解析， 【分析】本题考查了作轴对称图形，垂直平分线的性质以及最短距离： （1）根据轴对称图形的特征，画出点，，，再依次连接即可； （2）根据垂直平分线的性质：到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可作图解答； （3）在（1）的作图上，连接，与直线相交于一点，即为点，因为对称，所以，再根据勾股定理即可作答； 正确掌握轴对称图形的性质以及两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：如图所示：    依题意，因为有一格点P到点B、C的距离相等， 故作的垂直平分线与网格相交，交点正落在格点上，即为点的位置 即为图中的，，，， 满足条件的点P有4个； （3）解：在（1）的图形中，连接，与直线相交于一点，即为点，连接，如图所示：    因为关于直线对称的， 则 所以， 因为每个小正方形的边长都为2 所以． 18．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线同旁有两个定点A、B，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作A点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为． 请利用上述模型解决下列问题： (1)几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为　　； (2)几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由． 【答案】(1) (2)，图和理由见解析 【分析】（1）作点A关于的对称点，连接交于P，此时的值最小．连接，先根据勾股定理求出的长，再判断出，根据勾股定理即可得出结论； （2）作点C关于直线的对称点，作于N，交于M，连接，根据等边三角形的性质解答． 【详解】（1）解：如图2所示，作点A关于的对称点，连接交于P，此时的值最小．连接， 由勾股定理得， ， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故答案为：； （2）解：如图3，作点C关于直线的对称点，作于N，交于M，连接， 则，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段． 19．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）在等腰中，是射线上的动点，过点作（始终在上方），且，连接． (1)如图1，当点D在线段上时，判断的形状，并说明理由． (2)如图2，若D，E为线段上的两个动点，且，连接，求的长． (3)如图3，若M为中点，连接，在点的运动过程中，当______时，的长最小，最小值是______． 【答案】(1)当点在线段上时，是直角三角形，理由见解析 (2)5 (3)9，3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，由全等三角形的性质得到，再由得到，即，由此可得出结论； （2）证明得到，利用勾股定理求出，进而得到，由（1）得，，设，则在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）如图所示，当点D在延长线上时，证明，推出，则当点D在射线上运动时，点F在过点B且与垂直的射线上运动，则由垂线段最短可知，当时，线段最短，证明为等腰直角三角形，求出，由（1）知：，，此时，则当时，的长最小，最小值是3． 【详解】（1）解：当点在线段上时，是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴，即， 又，， ， ， ∵， ∴， ， 是直角三角形； （2）解：∵，， ， ， ， ， ， ∵， ∴ 由（1）可知， 设，则 在中，由勾股定理得， ， 解得， ； （3）解：如图所示，当点D在延长线上时， ∵， ∴， ∴，即， 又，， ， ， ∵， ∴， ； ∴当点D在射线上运动时，点F在过点B且与垂直的射线上运动， ∴由垂线段最短可知，当时，线段最短，如图所示 ∵， ∴ ∵， ∴ 为等腰直角三角形， ， 由（1）知：， ，此时， ∴当时，的长最小，最小值是3． 故答案为：9，3． 20．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在的网格中（每个小正方形的边长为1），的三个顶点都在格点上，且直线m、n互相垂直 ①作关于直线m的对称图形； ②若网格上的每个小正方形的边长为1，则的面积为______． ③在直线n上找一点Q，使的值最小，并求出最小值为________（结果保留根号） 【答案】①见解析；②；③ 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路径问题，三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质准确作出点N． 根据轴对称的性质即可作出； 根据网格即可求的面积； ③连接，交直线n于点Q，此时的值最小． 【详解】解： ①关于直线m的对称图形如图所示， ②的面积 ③作点关于直线n的对称点N，连接， ∵点和点N关于直线n的对称， ∴ ∴的最小值为， 故的最小值为 21．（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）问题提出 (1)如图①，在中，，，．若点是边上一点，则的最小值为 ； 问题探究 (2)如图②，在中，，，点是的中点．若点是边上一点，试求的最小值； 问题解决 (3)某市一湿地公园内有一条四边形型环湖路，如图③所示．已知米，米，，，．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由连接而成的步行景观道，其中，点分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时，的长．（路面宽度忽略不计） 【答案】(1) (2)的最小值为 (3)的长为200米，的长为400米 【分析】（1）过作于，由垂线段最短可知，时，的值最小，由面积法可得； （2）作关于直线的对称点，连接交于，由关于直线对称，可知，而共线，故此时最小，最小值为的长度，根据，点是的中点，可得，再用勾股定理可得答案； （3）作关于的对称点，连接，交于，作关于的对称点，连接，延长交于，连接，连接交于，交于，由关于对称，关于对称，，又，共线，知此时最小，根据，可得，即得米，米，米，由，知是等边三角形，从而米，同理可得米，，即得米，米，故米，知，在中，米，在中，米，即得米． 【详解】（1）解：过作于，如图： 由垂线段最短可知，时，的值最小， 故答案为：； （2）作关于直线的对称点，连接交于，如图： ∵关于直线对称， 共线， ∴此时最小，最小值为的长度， ∵点是的中点， ∵关于直线对称， 在中， ∴的最小值为； （3）作关于的对称点，连接，交于，作关于的对称点，连接，延长交于，连接，连接交于，交于，如图： ∵关于对称，关于对称， ∴， ∴， ∵共线， ∴此时最小， ∵， ∴， ∵关于对称， ∴米， ∴， ∴米，米， ∴米， ∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∵关于对称，， ∴共线，米，， 米米， 米 在中，米， 在中，米， 米， 答：的长为200米，的长为400米． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及等腰直角三角形，含角的直角三角形三边的关系，解题的关键是作对称，根据两点之间线段最短解决问题． 22．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）回顾旧知 （1）如图①，已知点A，B和直线l，如何在直线l上确定一点P，使最小？将下面解决问题的思路补充完整． 解决问题的思路 可以构造全等三角形，将两条线段集中到一个三角形中，据此，在l上任取一点，作点A关于l的对称点，与直线l相交于点C．连接，易知 ，从而有．这样，在中，根据“ ”可知与l的交点P即为所求． 解决问题 （2）如图②，在中，，E，F为上的两个动点，且，求的最小值． 变式研究 （3）如图③，在中，，点D，E分别为上的动点，且，请直接写出的最小值．                               【答案】（1）；两点之间，线段最短；（2）；（3） 【分析】（1）根据对称的性质，三角形三边关系即可求解； （2）作，使得，连接交于点，连接，通过全等三角形的判定与性质结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出的长，故，据此即可求解； （3）作，使得，作，连接，证得，推出，即可求解． 【详解】解：（1）由对称可知：， 在中，根据两点之间，线段最短可知与的交点即为所求， 故答案为：；两点之间，线段最短； （2）作，使得，连接交于点，连接，如图所示； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的最小值为； （3）作，使得，作于点G，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值． 【点睛】本题考查了全等三角形综合、勾股定理以及三角形的三边关系，直角三角形的性质，通过全等将目标线段集中在同一个三角形中是解题关键． 23．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，、是公路同侧的两个村庄，村到公路的距离，村到公路的距离，且．        (1)为方便村民出行，计划在公路l上新建一个公交站点 P，要求该站到村庄、的距离相等，在图1中用直尺和圆规作出点 P （不写作法． 保留作图痕迹）； (2)为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路l上建一个垃圾中转站M，要求该垃圾中转站到村庄、的距离之和最小． ①在图2中作出点 ； ②该垃圾中转站建成后， ． 【答案】(1)图见解析； (2)①图见解析；②5 【分析】本题考查作图应用与设计作图，设计勾股定理及应用． （1）连接，作的垂直平分线交于，点即为所求； （2）①作关于直线的对称点，连接交直线于，此时，因，，共线，故最小，点即为所求； ②过作交延长线于，求出，，得，用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于，如图： 点即为所求； （2）解：①作关于直线的对称点，连接交直线于，此时，因，，共线，故最小，如图： 点即为所求； ②过作交延长线于，则四边形是矩形， ，，， ， ， 的最小值为， 24．（24-25九年级上·重庆大渡口·开学考试）如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，等边三角形，顶点从点出发，沿以每秒单位的速度在射线上运动，且点不与点重合，设运动时间为，连接． (1)如图，当时，求证：； (2)如图，当时，此时的周长是否存在最小值？若存在，求出 的最小周长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)的最小周长． 【分析】（）根据证明三角形全等即可； （）当时，先证明得到，于是得到周长，根据等边三角形的性质得到，由垂线段最短得到当时，的周长最小，于是得到结论； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：当时，点在上， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）解：存在，当时， ∵由（）得：， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴周长， ∵是等边三角形， ∴， ∴周长， 由垂线段最短可知，当时，的周长最小， 此时由勾股定理得：， ∴的最小周长． 25．（24-25八年级上·山东聊城·期中）（1）如图1，直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小，请作出示意图，在直线上画出点（要有必要的画图痕迹，不用写画法）：      （2）如图2，中，，，，是的中点，是边上的一动点，画出点，使得的值最小，并直接写出的最小值； （3）如图3，点在内部，点，分别在射线，上，若周长最小，画出示意图，标出点，点． 【答案】（1）见详解；（2）6；（3）见详解 【分析】（1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求； （2）作点E关于直线BC的对称点，连接，交于P，点P即为所求；． （3）分别作Q关于的对称点，连接，交于，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：（1）如图，点即为所求作的点．    （2）作点E关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为P，且的最小值为，作交的延长线于F，如图，    在中，， ， ，， 因为点E是的中点，由对称性可得， ， 的最小值E′A的值为：． （3）作法：（Ⅰ）作Q关于的对称点C， （Ⅱ）作点Q关于的对称点D， （Ⅲ）连接，分别交于点M，交于N， 则的周长最小．    【点睛】本题考查了轴对称的应用-最短距离问题，直角三角形的性质及勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． 26．（24-25八年级上·广东深圳·期末）【项目式学习】阅读并完成以下任务： 如图①，若A，E两点在直线同侧，分别过点A，E作，C为线段上一动点，连接，．已知，设． 【任务一】 （1）用含x的代数式表示为： ； （2）请问点C满足什么条件时，的值最小，并求出最小值； 【任务二】 由可得代数式的几何意义；如图②，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1）；（2）当A、C、E'三点共线时，取得最小值17；（3） 【分析】（1）根据，，得出； （2）作点E关于的对称点，得，根据题意，得，故当A、C、三点共线时，的值最小，以为一边构造矩形，得到利用勾股定理计算即可； （3）由可得代数式的几何意义：建立平面直角坐标系，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．在坐标系中画出图形，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵在直角三角形和直角三角形中，由勾股定理得： ，， ∴， 作点E关于的对称点，得，根据题意，得， 故当A、C、三点共线时，的值最小，如图， 以为一边构造矩形，得到 ∴在中，由勾股定理得： ， ∴当A、C、三点共线时，的值最小，且最值为17； （3）解：由可得代数式的几何意义：建立平面直角坐标系，建立平面直角坐标系，点是x轴上一点，则可以看成点P与点的距离，可以看成点P与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． 作点B关于的对称点，得，且， 根据题意，得， 故当A、P、三点共线时，的值最小，且最小值为， 根据两点间距离公式，得 ， ∴代数式的最小值是． 【点睛】本题考查了轴对称求最短路线，两点之间线段最短，两点间距离公式，以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，求形如的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解． 27．（2025·山东滨州·模拟预测）（1）如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户．若，，要使这三家农户所得土地的形状、大小相同，请你试着分一分．用两种不同的作图方法作出来．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在，，，，在、上各有一个动点，，要使的值最小，请画出示意图（画图工具不限）确定，的位置，并直接写出的最小值． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解，的最小值为 【分析】（1）作的角平分线，再过点作的垂线，根据角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质即可求解； （2）根据（1）的作图及证明方法可得点是的角平分线，，则，所以，所以的最小值即为的值，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴先作的角平分线，交于点，再过点作的垂线，如图所示， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴这三家农户所得土地的形状、大小相同； （2）如图所示， 根据（1）的作图及证明方法可得点是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小 值即为的值， 在中，，，， ∴，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查尺规作角平分线，作垂线，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握尺规作图的方法，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 28．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图，小河的同一侧有A、B两个村庄，它们到小河所在直线的距离分别为，，．要在小河上之间修建一座小型发电站P，使得拉到A、B两个村庄的电线长之和最小，最小值为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，过A作A点关于的对称点，连接交于点P，则，易知P点即为到A，B距离之和最短的点，过作于点，然后根据勾股定理即可得结果． 【详解】解：求最小电线长之和，即求发电站P到A、B距离的最小值． 作点A关于直线的对称点，则，． 连接交于点P，则最短，这个最短距离为的长． 过作于点，则， 又，是直角三角形， 根据勾股定理，得． 因此，这个电线长之和最小值为． 29．（24-25八年级下·山西晋中·期中）唐代诗人李欣《古从军行》里有这样一句诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．由此引申出一系列有趣的数学问题，后来人们通常称之为“将军饮马”问题． 【经典再现】如图，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 某课题组在探究这一问题时把这一情境抽象出数学模型：直线同旁有两个定点，，在直线上存在点，使得的值最小． 解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为的长． 【数学思考】学习了三角形之后，我们发现有很多问题都可用类似的方法去思考解决． 任务一：如图，在等边三角形中，是边上的高，为的中点，为上一动点，若，求周长的最小值； 任务二：如图，在中，，是中线，点是上一动点，为上一动点，若的面积等于，则的最小值为_______． 【答案】任务一：；任务二： 【分析】任务一：连接，则的长度即为的最小值，再加上的长即可求得周长的最小值； 任务二：作于，交于点，由的面积等于，求得，由等腰三角形的性质得，由点到直线的距离垂线段最短知：的最小值为，即可求解． 【详解】解：任务一：如图，连接，与交于点，此时最小， 是等边三角形，， ， ，即就是的最小值， ，为的中点，是等边三角形， ，，， ， 周长的最小值为：； 任务二：作于，交于点，如图， ，， ， ， 是中线，， 是边上的高线，即垂直平分， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称—最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $