广东湛江市廉江市实验学校2025-2026学年高二第二学期期中考试数学试卷（普通班）

**基本信息** 廉江市实验学校2025-2026学年高二数学期中试卷，以文化传承（杨辉三角）、科技前沿（OpenClaw工具）、社会热点（NBA数据分析）为情境，通过分层设计考查函数、数列、概率统计等核心知识，体现数学眼光、思维与语言的素养融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、杨辉三角、导数、数列、排列组合、立体几何、概率|第3题杨辉三角渗透数学文化，第8题NBA数据考查全概率公式应用| |多选题|3/18|概率分布、数列性质、函数单调性与极值|第10题结合Sn与an关系，辨析等差等比数列特征| |填空题|3/15|回归分析、二项式定理、导数单调性|第14题导数含参单调性，考查逻辑推理| |解答题|5/77|独立性检验、概率分布、双曲线、数列综合、导数应用|第15题OpenClaw工具调查体现科技情境，第19题导数综合考查分类讨论与恒成立，层次分明|

廉江市实验学校2025-2026学年度第二学期期中考试试题 高二数学试卷 分值：150分；时间：120分钟；命题人：宜学良；审核人：温杰 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。） 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是，当时展开式的二项式系数表示形式． 借助上面的表示形式，判断与的值分别是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 5．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 6．某民俗文化景区，在即将到来的五一假期，预计需要增派6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣传民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（    ） A．360 B．450 C．540 D．1020 7．如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 8．深受广大球迷喜爱的NBA某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员担当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（    ） A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．下列结论正确的有（    ） A．若随机变量服从两点分布，，则 B．若随机变量的方差，则 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服正态分布，，则 10．记为数列的前项和，若，，则（    ） A． B．为等比数列 C． D．为等差数列 11．已知函数，则（ ） A．在上单调递减 B．的极大值为1 C．的图象关于对称 D．若方程的解为，则=1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．若根据样本数据得到的回归直线方程为，且，，则______． 13．的展开式中常数项为160，则它展开式的第5项为________． 14．若在上单调递增，则a的最大值为_________. 四、解答题（本题共5小题，共77分。） 15．OpenClaw（俗称“龙虾”）是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执行层工具.某单位为了解员工是否喜欢使用OpenClaw，对不同年龄段的100名员工进行了调查统计，得到如下列联表： 年龄 是否喜欢使用OpenClaw 合计 是 否 不超过45岁 40 60 超过45岁 30 合计 100 (1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联； (2)若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过45岁和不超过45岁的员工中各随机抽取1人，求这两人中至少有1人喜欢使用OpenClaw的概率. 参考公式：，其中. 16．李华参加一次招聘考试，已知共有8道题目，他只能答对其中5道. 若随机抽取3道让李华回答，规定至少要答对其中2道才能通过考试. (1)记为李华答对的题目数，求的分布列及数学期望； (2)求李华能通过考试的概率. 17．已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 18．在数列中，已知． (1)若数列是等差数列，求数列的通项公式及前项和； (2)若数列是等比数列，求数列的通项公式及前项和； (3)若数列的前项和，求数列的通项公式． 19．已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. (1)当时，求在处的切线方程; (2)若在区间上不是单调函数，求的取值范围； (3)若当时，恒成立，求的取值范围. 廉江市实验学校2025-2026学年度第二学期期中考试试题 高二数学试卷参考答案 分值：150分；时间：120分钟；命题人：宜学良；审核人：温杰 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。） 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算 【详解】由可得， 所以集合， 故. 2．已知复数z满足，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】根据复数的除法运算结合复数的概念求解即可. 【详解】由，得. 所以的虚部是. 3．杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是，当时展开式的二项式系数表示形式． 借助上面的表示形式，判断与的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】杨辉三角 【分析】利用“杨辉三角”中的数的特点求解即可. 【详解】观察分析出“杨辉三角”中的数的特点： 1.每一行有个数字，每一行两端的数字均为1， 2.从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应（即两肩上）的两个数字的和， 所以. 故选：D. 4．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求某点处的导数值、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式 【分析】先根据导数的运算法则求出，再将代入，进而即可求出． 【详解】因为，则， 所以，解得． 5．已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 6．某民俗文化景区，在即将到来的五一假期，预计需要增派6名工作人员去三个不同的民族景点辅助宣传民俗文化，每个景点至少安排1人，则不同的安排方法种数是（    ） A．360 B．450 C．540 D．1020 【答案】C 【知识点】分组分配问题、分类加法计数原理 【详解】将6名工作人员按1、2、3或1、1、4或2、2、2分成3组安排到三个不同的景点. 按1、2、3分组，则有种安排方法； 按1、1、4分组，则有种安排方法； 按2、2、2分组，则有种安排方法； 则不同的安排方法种数为. 7．如图，在正方体中，平面与平面的夹角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】面面角的向量求法 【分析】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 因为平面， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 ，令， 则，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因为为锐角，所以， 所以， 所以平面与平面的夹角的正切值为. 故选：A 【点睛】 8．深受广大球迷喜爱的NBA某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员担当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（    ） A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率、计算条件概率、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】利用全概率公式、对立事件的概率计算公式即可得出结论. 【详解】设表示“甲球员担当大前锋”，表示“甲球员担当小前锋”， 表示“甲球员担当组织后卫”， 表示“甲球员担当得分后卫”，B表示“当甲球员参加比赛时，球队输球”. 根据题意，则 ． 所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为：. 故选：C． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9．下列结论正确的有（    ） A．若随机变量服从两点分布，，则 B．若随机变量的方差，则 C．若随机变量服从二项分布，则 D．若随机变量服正态分布，，则 【答案】ABD 【知识点】指定区间的概率、两点分布的方差、方差的性质、独立重复试验的概率问题 【分析】由两点分布定义直接计算可得A正确，利用方差性质计算可得B正确，由二项分布公式计算可得C错误，结合正态分布对称性计算可得D正确. 【详解】对于A，若随机变量服从两点分布，，可得， 则，故A正确； 对于B，若随机变量的方差，则，故B正确； 对于C，若随机变量服从二项分布，则，故C错误； 对于D，若随机变量服正态分布，，则， 所以，故D正确， 故选：ABD. 10．记为数列的前项和，若，，则（    ） A． B．为等比数列 C． D．为等差数列 【答案】ACD 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】先利用与作差，推导出从第二项起数列是公比为2的等比数列，再据此逐一验证选项即可. 【详解】由题意可知，当时，；当时，， 所以， 所以()，， 从开始，数列是公比为2的等比数列：，，，； 同时可推得前项和的通项公式：，即 . 因此A选项：，由上面的推导，，正确； B选项：为等比数列，等比数列要求从首项起公比恒定，而，，公比不唯一，不满足等比数列定义，错误； C选项：，， 也可由直接得，正确； D选项：为等差数列，先求：，，，，， ，，，，可以看到，，是公差为1的等差数列，正确. 故选：ACD. 11．已知函数，则（ ） A．在上单调递减 B．的极大值为1 C．的图象关于对称 D．若方程的解为，则=1 【答案】ABD 【知识点】函数对称性的应用、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】选项A，求出的解集得递减区间；选项B，利用导数求出的极大值；选项C，求出，得到，则不是奇函数，从而的图象不关于对称；选项D，由，得到，通过因式分解得到， 解出，的值，从而得到的值. 【详解】选项A，，， 当时，，，故选项A正确； 选项B，当时，，在上单调递减； 当或时，，在和上是增函数. 则在处，取极大值，且极大值为，故选项B正确； 选项C，，，不是奇函数，的图象不关于对称，故选项C不正确； 选项D，，又，，， ，， ，，， 或，，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．若根据样本数据得到的回归直线方程为，且，，则______． 【答案】 【知识点】计算样本的中心点、根据样本中心点求参数 【详解】由题意得， 则， 则样本中心点为，将其代入到， 即，解得. 13．的展开式中常数项为160，则它展开式的第5项为________． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用二项式展开式的通项公式求解即可. 【详解】由题意可知的展开式的常数项为，则，所以展开式的第5项为． 14．若在上单调递增，则a的最大值为_________. 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据可导函数在上单调递增的充要条件是导函数非负恒成立，将问题转化为求参数小于等于构造的新函数的最小值，进而求新函数的最小值即为的最大值. 【详解】已知在上单调递增，故对任意，都有恒成立， 对求导得， 因此不等式对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，只需满足即可，又， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此是的极小值点，也是最小值点， 代入得，即的最大值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分。） 15．OpenClaw（俗称“龙虾”）是一个以龙虾为图标的开源智能体平台、一种能操作电脑的执行层工具.某单位为了解员工是否喜欢使用OpenClaw，对不同年龄段的100名员工进行了调查统计，得到如下列联表： 年龄 是否喜欢使用OpenClaw 合计 是 否 不超过45岁 40 60 超过45岁 30 合计 100 (1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联； (2)若以本次调查的频率估计概率，从该单位所有超过45岁和不超过45岁的员工中各随机抽取1人，求这两人中至少有1人喜欢使用OpenClaw的概率. 参考公式：，其中. 【答案】(1)列联表见解析，认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联． (2) 【知识点】完善列联表、卡方的计算、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）通过列联表数据补全表格，再利用卡方检验公式计算统计量，通过与临界值对比，判断出“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄存在显著关联，核心是卡方独立性检验的步骤应用． （2）以调查频率估计概率，先分别算出不同年龄段员工喜欢使用OpenClaw的概率，再利用对立事件的概率公式，求出两人中至少有 1 人喜欢使用的概率，关键是对立事件思想的运用． 【详解】（1） 年龄 是否喜欢使用OpenClaw 合计 是 否 不超过45岁 40 20 60 超过45岁 10 30 40 合计 50 50 100 根据卡方检验公式 ，代入： ， 由于 ，故拒绝原假设，认为“是否喜欢使用OpenClaw”与年龄有关联． （2）设从不超过45岁员工中抽到喜欢使用者的概率为 ，从超过45岁员工中抽到喜欢使用者的概率为 ， 则两人中至少有1人喜欢使用的概率为：． 16．李华参加一次招聘考试，已知共有8道题目，他只能答对其中5道. 若随机抽取3道让李华回答，规定至少要答对其中2道才能通过考试. (1)记为李华答对的题目数，求的分布列及数学期望； (2)求李华能通过考试的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列的求法及期望公式求解即可； （2）利用互斥事件和的概率公式求解. 【详解】（1）由已知可得的所有可能取值为0，1，2，3. ，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以的数学期望为. （2）因为至少答对其中2道才能通过考试， 所以通过考试包括答对2道题和答对3道题两种情况， 这两种情况是互斥的， 由（1）知， ，， 所以.   所以李华能通过考试的概率为. 17．已知中心是坐标原点的双曲线的两个焦点为，且的离心率为3. (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求双曲线中的弦长、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）设双曲线方程为，即可求出、，从而求出； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元，列出韦达定理，利用弦长公式得到方程，解得即可. 【详解】（1）依题意设双曲线方程为， 所以，解得，则， 所以双曲线方程为； （2）设，， 由，消去整理得， 所以，解得或， 又，， 所以， 即，解得（满足）， 所以. 18．在数列中，已知． (1)若数列是等差数列，求数列的通项公式及前项和； (2)若数列是等比数列，求数列的通项公式及前项和； (3)若数列的前项和，求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2)或，或 (3) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和、求等差数列前n项和 【分析】（1）根据已知条件求得首项和公差，由此求得数列的通项公式及前项和； （2）根据已知条件求得首项和公比，由此求得数列的通项公式及前项和； （3）利用求得数列的通项公式． 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则， 解得． 所以． . （2）设等比数列的首项为，公比为，则， 解得，或， 所以或， 或. （3）由已知得； 当时， 有， 又因为， 所以． 19．已知函数，其中为自然对数的底数，为函数的导函数. (1)当时，求在处的切线方程; (2)若在区间上不是单调函数，求的取值范围； (3)若当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由函数在区间上的单调性求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）当时，求得，得到，进而得到切线方程； （2）求得，令，得到，分和，两种情况讨论，结合函数在区间上不单调，得出不等式，即可求得的取值范围； （3）根据题意，转化为在区间上恒成立，令，求得，令，得到，得到，得到的单调性和最小值，进而求得的取值范围. 【详解】（1）解：当时，函数，可得， 则， 所以 在 处的切线方程为，即. （2）解：由函数，可得， 令，则， 若，可得恒成立，则在上单调递增，不符合题意； 若，令，可得， 要使得函数在区间上不单调，则满足， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以实数的取值范围为. （3）解：当时，由恒成立，即， 即恒成立，即在上恒成立， 令， 可得， 令，则且， 所以， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即实数的取值范围为 第7页（/共4页） 第8页/（共34页） 知人善教 培养品质 引发成长动力 学科网（北京）股份有限公司 $