精品解析：广东广州市花都区秀全中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

秀全中学2025学年高二年级第二学期期中测试数学科试题 试卷说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名和考号填写在答题卡，并在答题卡上用2B铅笔将相应的信息点涂黑．不按要求填涂的，答卷无效． 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 3. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. 120 B. 80 C. 40 D. 5. 设，为两个事件，已知，，，则等于（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.7 6. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 7. 若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，且记，则（ ） A. 数列的首项为1 B. 数列的前10项和为512 C. 数列的前10项和为 D. 数列的前10项和为0 10. 设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 函数的值域是 C. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D. 若过点至少可以作曲线的两条切线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则的单调递减区间为________． 13. 已知、为随机事件，且，，若，则___________. 14. 已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ （2）唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ （3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 16. 已知函数． （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 17. 乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜，比赛结束.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球甲同学得分的概率为，且对以后的每一球，若甲同学在这一球中得分，则他在下一球的得分概率为，若甲同学在这一球中未得分，则他在下一球的得分概率为． （1）求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； （2）求再打两个球甲新增的得分X的分布列和期望． 18. 已知函数. （1）证明：当时，. （2）若恰有两个零点，求t的取值范围. 19. 已知函数，其中a为常数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，求证：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秀全中学2025学年高二年级第二学期期中测试数学科试题 试卷说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名和考号填写在答题卡，并在答题卡上用2B铅笔将相应的信息点涂黑．不按要求填涂的，答卷无效． 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以 2. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】D 【解析】 【分析】利用“元素相邻捆绑法”求解即可. 【详解】将甲和乙看作一个整体，有种方法， 将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法， 根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种． 3. 下列函数求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 4. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. 120 B. 80 C. 40 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理计算即可. 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为： . 令，可得，此时与相乘可得的系数为-80； 令，可得，此时与相乘可得的系数为40； 所以的系数为. 5. 设，为两个事件，已知，，，则等于（ ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.7 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件概率及条件概率的公式计算即可得解. 【详解】因为，所以， 因为， 所以，解得. 6. 某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 35 B. 36 C. 42 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 7. 若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，令，得到，得出在上单调递减，根据题意，转化为在存在零点，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得，其中， 令，可得， 所以在上为单调递减函数， 要使得函数在上有最大值，则函数在上有极大值， 则存在，使得在上单调递增，在上单调递减， 即有零点，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 8. 已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先构造函数比较出自变量的大小关系，将原不等式转化为函数单调性问题，再利用导数研究恒成立条件，分离参数后通过分析函数的最值得出参数范围. 【详解】设， 则， ∴在上单调递增，∴， ∴，， ∴， 又在上恒成立， ∴需要在上为增函数， 即对，恒成立， 即在上恒成立； 令，，则， 当时，，在上单调递减，故， ∴，解得或． 故选：D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数，且记，则（ ） A. 数列的首项为1 B. 数列的前10项和为512 C. 数列的前10项和为 D. 数列的前10项和为0 【答案】BD 【解析】 【详解】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当时，数列的第项是展开式中的系数. 令，则，故A错； 数列的前10项和等于，即展开式中所有项的系数之和， 令，则，故B正确； 数列的前10项和等于， 令，则，而， 则数列的前10项和为，故C错误； 数列的前10项和等于， 令，则， 因为，故D正确. 10. 设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解. 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线在处的切线方程为 B. 函数的值域是 C. 若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D. 若过点至少可以作曲线的两条切线，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合导数分析函数的单调性、极值，利用导数的几何意义求解切线方程与切线存在性，通过数形结合的思想，分析点到直线的距离最小值，逐一验证每个选项的正确性. 【详解】对A选项，对函数求导可得，令，得，又，故曲线在处的切线方程为，即,故A选项错误. 对B选项，令，则；令，则， 所以当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当，取得最大值， 当时，，，故， 故函数的值域是，所以B选项正确. 对C选项，当曲线在点P处的切线与直线平行时，点P到直线的距离最小， 设点，则，整理得， 令，则，故单调递增，代入，得， 因此唯一解，此时，点P到直线距离为.故C选项正确. 对D选项，设过点的切线切点为，切线斜率为，切线方程为， 将点代入切线方程，整理得，令， 若过点至少可以作曲线的两条切线，则函数和函数至少有两个交点. 对求导得，令得或， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，在处取得极小值，在处取得极大值， 所以的大致图象如图所示： 由图象可知，当时，函数和函数至少有两个交点， 此时过点至少可以作曲线的两条切线.故D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数，则的单调递减区间为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调递减区间即可. 【详解】函数，定义域为， 求导得， 令，则，解得， 又，则， 所以的单调递减区间为. 13. 已知、为随机事件，且，，若，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合条件概率公式可得，结合概率性质可得，即可得结果. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 且，所以. 14. 已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据不等式结合符号法计算，再构造函数令，再应用导函数正负得出函数单调性进而得出最值，最后分类讨论结合有且仅有两个整数列式计算求解. 【详解】因为不等式， 则或， 即得(1)或(2)， 令，， 所以当单调递增；当单调递减； 所以， 因为，且，所以时，， 当时，(1)无解，(2)有两个整数解1和2，所以满足题意； 当时，(1)有一个整数解3，(2)有两个整数解1和2，所以时有三个整数解不满足题意； 当时，(1)有一个整数解3，(2)有一个整数解1，所以满足题意； 当时，(1)至少有两个解3和4，(2)至少有一个整数解1，所以时有至少三个整数解不满足题意； 当时，(1)整数解无限，(2)无解，所以时有无数个整数解不满足题意； 综上，符合解集中有且仅有两个整数，则的范围是， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ （2）唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ （3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将三个舞蹈节目看成整体，先排剩下4个节目，再把三个舞蹈节目放入不含两端的3个空中，据此可得答案； （2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，然后把小品放入舞蹈歌曲整体排布产生的空中可得答案. （3）将新增两个节目放入7个节目排布产生的空中，分放入同一个空和放入两个不同的空两种情况，据此可得答案. 【小问1详解】 将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法．再将剩下4个节目全排列，有种排法．最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中，有3种排法，故共有种排法； 【小问2详解】 将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法．再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法．则共有种排法． 【小问3详解】 将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中．若两个节目放入同一个空，有种排法，若两个节目不放入同一个空，有种排法，故共有种排法． 16. 已知函数． （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，得到，，利用导数的几何意义，即可求解； （2）求得，分，和，三种情况讨论，进而求得函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，，可得， 则，，即切线的斜率为，切点为， 所以的图象在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由函数，可得其定义域为， 且． 令，可得或， 当时，，在上单调递增； 当时，令，可得或，令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得或，令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上可得，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 17. 乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜，比赛结束.在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平.已知下一球甲同学得分的概率为，且对以后的每一球，若甲同学在这一球中得分，则他在下一球的得分概率为，若甲同学在这一球中未得分，则他在下一球的得分概率为． （1）求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； （2）求再打两个球甲新增的得分X的分布列和期望． 【答案】（1） （2）X的分布列为： X 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）先判断两球结束比赛等价于甲或乙连胜两球，再分别计算甲连胜、乙连胜的概率，利用互斥事件加法求总概率，再依据条件概率公式，用乙连胜概率除以比赛结束概率，得到乙获胜的条件概率. （2）先确定甲新增得分的可能取值为，再按“两球都不得分、恰好得1分、两球都得分”分类计算对应概率，列出离散型随机变量的分布列，最后代入期望公式计算数学期望. 【小问1详解】 打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球， 设事件A为“打两球后结束”，事件B为“乙赢得比赛”， 则，， 故 【小问2详解】 依题意X的可能取值是， 所以(甲两次均不得分)， (甲第一次得分第二次失分或第一次失分第二次得分)， (甲两次均得分)， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以 18. 已知函数. （1）证明：当时，. （2）若恰有两个零点，求t的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）求导，通过分析单调性得出函数的最小值，进而证明； （2）令，得，设，求导，分析的取值范围，进而得到t的取值范围. 【小问1详解】 证明：当时，，. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，故. 【小问2详解】 解：由，得. 设，则. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，，当时，， 当时方程有两个解，故有两个零点， 即的取值范围为. 19. 已知函数，其中a为常数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意的，都有恒成立，求实数a的取值范围； （3）设，求证：当时，. 【答案】（1）函数的单调递增区间为，，单调递减区间为 （2） （3）证明：令， 则， 因为，，则，， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则， 因为，则，可得， 即，所以当时，. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的符号判断函数的单调区间； （2）根据题意分析可知，利用导数分析可知在内单调递减，结合恒成立问题运算求解即可； （3）令，利用导数分析的单调性可得，结合，可得，即可得结果. 【小问1详解】 当时，则的定义域为，且， 令，解得或；令，解得； 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为. 【小问2详解】 因为， 若，当趋近于时，趋近于，不合题意，所以， 因为， 且，则，，则， 可知在内单调递减，则， 可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $