广东广州市花都区秀全中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高二数学期中测试覆盖函数导数、排列组合、概率等核心知识，通过节目单排列、乒乓球比赛等真实情境设计，考查数学思维与应用能力，解答题分层设置，兼顾基础巩固与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|函数导数、排列组合、概率基础|单选多选结合，考查概念辨析与逻辑推理| |填空题|3题15分|单调区间、概率计算|注重数学语言表达，如含参不等式整数解问题| |解答题|5题77分|排列组合应用、函数单调性、概率分布列、零点证明|情境真实（节目单、乒乓球比赛），分层设计，压轴题考查数学证明与创新意识|

秀全中学2025学年高二年级第二学期期中测试数学科试题 试卷说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班级、姓名和考号填写在答题卡，并在答题卡上用2B铅笔将相应的信息点涂黑．不按要求填涂的，答卷无效． 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数满足，则（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 2．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（ ） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 3．下列函数求导正确的是（ ） A． B． C． D． 4．在的展开式中，的系数为（ ） A． B． C． D． 5．设，为两个事件，已知，，，则等于（ ） A．0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.7 6．某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A．35 B．36 C．42 D．50 7．若函数在上有最大值，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设函数，且记，则（ ） A．数列的首项为1 B．数列的前10项和为512 C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0 10．设A，B是一个试验中的两个事件，且，，，则下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．曲线在处的切线方程为 B．函数的值域是 C．若点P是曲线上的动点，则点P到直线距离的最小值为 D．若过点至少可以作曲线的两条切线，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若函数，则的单调递减区间为__________． 13．已知A、B为随机事件，且，，若，则_______． 14．已知，若不等式的解集中有且仅有两个整数，则a的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15．（13分）某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ （2）唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？ （3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 16．（15分）已知函数． （1）当时，求函数的图象在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性． 17．（15分）乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜，比赛结束．在某校组织的乒乓球比赛中，甲、乙两名同学已经打成了10平．已知下一球甲同学得分的概率为，且对以后的每一球，若甲同学在这一球中得分，则他在下一球的得分概率为，若甲同学在这一球中未得分，则他在下一球的得分概率为． （1）求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率； （2）求再打两个球甲新增的得分的分布列和期望． 18．（17分）已知函数． （1）证明：当时，． （2）若恰有两个零点，求的取值范围． 19．（17分）已知函数，其中为常数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围； （3）设，求证：当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $