精品解析：山东青岛市第三十九中学2026-2027学年度第一学期期初质量检测九年级数学试卷

2026-2027学年度第一学期期初质量检测 九年级数学试卷 （满分：120分 时间：90分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 关于的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 每一条对角线都平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A，菱形、正方形满足每一条对角线都平分一组对角，矩形不满足，不合题意； B，正方形、矩形满足对角线相等，菱形不满足，不合题意； C，菱形、正方形满足对角线互相垂直，矩形不满足，不合题意； D，矩形、菱形、正方形都满足对角线互相平分，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查特殊平行四边形，解题的关键是掌握矩形、菱形、正方形的性质． 3. 如图，已知正方形对角线上有一点，连接，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因为四边形是正方形，所以先根据正方形对角线的性质，得到、、的度数，因为平分，所以根据角平分线的定义，计算出的度数，因为，所以代入对应角度即可得到结果． 【详解】在正方形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 4. 如图，四边形是平行四边形，与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意； B、，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得到平行四边形为菱形，不符合题意； C、，根据对角线相等的平行四边形可以得到矩形，但不是菱形，符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不符合题意； 综上，故选C． 5. 如图，已知菱形的面积为，对角线与相交于点，对角线的长为，于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用菱形的面积公式可计算出，结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可计算出． 【详解】解：∵菱形的面积为，且， ∴， 在菱形中，点为的中点， 又∵， ∴． 6. 如图，在中，再添加一个条件，不能判定是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逐一分析各个选项，证明的对角线相等或有一个角为即可判断是矩形． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴得到的一组邻边相等，无法判定是矩形．故本选项符合题意． B、∵四边形是平行四边形， ∵，， ∵， ∴， ∴是矩形．故本选项不合题意． C、∵， ∴， ∴是矩形．故本选项不合题意． D、∵， ∴是矩形．故本选项不合题意． 7. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，，点E在上，连接，垂直平分，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形的性质得到，，由垂直平分线的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线相交于点O， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 关于x的方程的解为 C. 直线上有两点，，若时，则 D. 关于x的不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、∵直线经过一、二、四象限， ∴，，故正确，不符合题意； B、∵直线与直线交于点P，点P的横坐标为3， ∴关于x的方程的解为，故正确，不符合题意； C、根据函数图像得到：直线上，y随x的增大而增大， ∵直线上有两点，，， ∴．故正确，不符合题意； D、根据函数图像得到：关于x的不等式的解集为，即不等式的解集为，故选项错误，符合题意． 9. 如图，的对角线交于点O，的平分线与交于点E，与交于点F，连接，，，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证是等边三角形，，，可求，由勾股定理可求的长，即可求，由三角形中位线定理可求，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，，，， ，又， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ，故A正确，不符合题意； ， ，， ， ，故选项B不符合题意； ，， ， ，故选项C不符合题意； ，， ，故选项D符合题意． 10. 如图，菱形中，对角线 与 相交于点O， ， ，点P为线段 上的一个动点（不与端点重合），过点P作 于点M， 于点N，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形性质和已知条件可证四边形为矩形，所以，则的最小值为最小值，因为点P为线段 上的一个动点，所以时，最小，根据面积法求出最小值即可． 【详解】解：连接， ∵在菱形中， ∴，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， 则的最小值为最小值， ∵点P为线段 上的一个动点， ∴时，最小， 此时， ∵， ∴， ∴的最小值为． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a为_____． 【答案】2． 【解析】 【分析】把x=0代入已知方程，列出关于a的新方程，再根据一元二次方程的定义可知a+2≠0，由此求解即可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0， ∴a2﹣4=0且a+2≠0， 解得 a=2， 故答案为：2． 【点睛】本题综合考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意：一元二次方程的二次项系数不等于零． 12. 已知矩形的对角线长为6，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理得到所得四边形各边与原矩形对角线的数量关系，再结合矩形对角线相等计算所得四边形的周长． 【详解】解：设原矩形为，矩形对角线相等，故，，，，分别为，，，的中点， 根据三角形中位线定理，可得： ， ， ， ， 因此所得四边形的周长为． 13. 正方形的一条对角线长为6，则正方形的面积是________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据正方形的面积=对角线的乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵正方形的对角线互相垂直且相等， ∴正方形的面积=对角线的乘积的一半， 故答案为：18． 【点睛】本题考查正方形的性质，记住正方形的面积=边长的平方=对角线乘积的一半． 14. 已知菱形的周长为40，一条对角线的长为16，则另一对角线的长___． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，先求解菱形的边长，证明，，，再进一步求解即可. 【详解】解：菱形的周长等于40， ∴边长，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 15. 在平面上，基本图形经过旋转、平移等图形变化可以得到丰富的图案．如图1，在菱形中剪去一个菱形得到如图2的基本图形，图2经过旋转、拼接得到图3，图3经过平移、拼接得到图4．若，点E，F分别为，的中点，则图1中阴影部分的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质及所拼图形，可求得，进而可求得两个菱形的高，用大菱形的面积减去小菱形的面积即可． 【详解】解：由图3可得， ， 在菱形中，， ， 作于，交于， 四边形是菱形， ， ， ，， ∴, 中，，， 点，分别为，的中点， ， 同理：， ． 16. 如图，在四边形纸片ABCD中，ADBC，AB＝10，∠B＝60°，将纸片折叠，使点B落在AD边上的点G处，折痕为EF，若∠BFE＝45°，则BF的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质知，，再由∠BFE＝45°得到，过点A作于点H，在中求出的长度，再证明四边形是矩形，从而得出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点A作于点H， 由折叠的性质知，， ， ， 在中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质，根据已知角度和折叠的性质得出是解题的关键． 17. 如图，矩形中，．平分交于点，是上一动点，连接于点，若，且，下列说法正确的有_________．（只填序号） ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用线段垂直平分线性质判定，即可判断说法①；利用矩形性质和角平分线定义判定为等腰直角三角形，得出长度，即可判断说法②；设，通过勾股定理建立关于x的方程求出的长，进而解得的长度，即可判断说法④；证明为等腰直角三角形，即可判断说法③． 【详解】解：∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴，故①正确； ∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴，故②正确； 设，则， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∵M在上， ∴， 在中，， ∵F是中点， ∴，即， ∴， 在中，， 即，整理可得， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④错误； ∵， 在中，， ∴， ∴，即，故③正确． 综上所述，正确的有①②③． 18. 如图，在平面直角坐标系中，长为4的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，已知点，连接，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，将线段向左平移到的位置，作点A关于x轴的对称点，连接，，求出的最小值为，即可求得答案． 【详解】解：如图，将线段向左平移到的位置，作点A关于x轴的对称点，连接，． ∵点，， 则，，， ， ∴的最小值为． 三、尺规作图（用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写做法） 19. 已知：和一边上的点B 求作：，满足是它的一个内角，且对角线． 【答案】 解：如图，即为所求． ． 【解析】 【分析】本题考查了作垂线、作平行四边形，熟练掌握尺规作图和平行四边形的判定是解题关键． 先过点作另一边的垂线，使得，再分别以点、为圆心，、为半径画弧，两弧在的内部交于点，连接，可得，则四边形是平行四边形，由此即可得． 【详解】略 四、解答题（共60分） 20. 解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴， ∴， 解得； 【小问4详解】 解：， ， ， 整理得，即或， 解得． 21. 如图，在中，平分，点E是线段的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由． （3）要使四边形是正方形，需要给添加什么条件？直接写出你的答案． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴； 在和中， ， ∴； （2）解：四边形是矩形，理由如下： ∵在中，平分， ∴， ∴； 由（1）得， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形； （3）解：当是直角三角形即时，四边形是正方形，理由如下： ∵在中，，又， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）得四边形是矩形， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，由线段中点的定义可得，即可证得结论； （2）由三线合一定理得到，可得，结合全等三角形的性质可得，由已知可得，可得四边形是平行四边形，结合矩形的判定即可求解； （3）当时，四边形是正方形，利用直角三角形的性质结合正方形的判定定理即可得到四边形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 汝南特产五香大头菜是河南酱菜非遗技艺的代表性腌渍食品，汝南五香鸡汁豆腐干是源于唐代的河南驻马店传统名吃．某商家计划从汝南购进五香大头菜和鸡汁豆腐干两种特产．已知每箱鸡汁豆腐干的价格比每箱五香大头菜的价格贵8元，用1200元购买鸡汁豆腐干的数量恰好与用1000元购买五香大头菜的数量相同． （1）求五香大头菜和鸡汁豆腐干每箱的价格． （2）该商家计划购买这两种特产共60箱．为推广汝南农产品，供应商对两种特产进行了优惠：鸡汁豆腐干每箱降价5元，五香大头菜每箱打九折．若要求鸡汁豆腐干的数量不得少于五香大头菜数量的一半，则购买这批特产最少需要花费多少元？ 【答案】（1）五香大头菜每箱的价格为40元，鸡汁豆腐干每箱的价格为48元 （2）购买这批特产最少需要花费2300元 【解析】 【分析】（1）设五香大头菜每箱的价格为x元，则鸡汁豆腐干每箱的价格为元，根据“用1200元购买鸡汁豆腐干的数量恰好与用1000元购买五香大头菜的数量相同”列出分式方程，解方程即可； （2）设购买这批特产花费w元，其中购买鸡汁豆腐干m箱，则购买五香大头菜箱，由鸡汁豆腐干的数量不得少于五香大头菜数量的一半，可得，由题意得，由一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：设五香大头菜每箱的价格为x元，则鸡汁豆腐干每箱的价格为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合实际， ∴， ∴五香大头菜每箱的价格为40元，鸡汁豆腐干每箱的价格为48元； 【小问2详解】 解：设购买这批特产花费w元，其中购买鸡汁豆腐干m箱，则购买五香大头菜箱， 由题意得：， 由题意得：， 解得：， ∴且m为整数， ∵， ∴w随着m的增大而增大， ∴当时，w取最小值，最小值为2300， ∴购买这批特产最少需要花费2300元． 23. 小明同学在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为他积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是他尝试着给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索． 特殊四边形（筝形）的探究学习单 观察猜想： 定义：四边形中，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）任务一：小明在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形有一组对角应该是相等的．进一步观察后，发现这类“筝形”应该还具有其它性质；请再猜想一条筝形的性质（除定义外）：________________________________________． 推理验证： （2）任务二：根据数学探究的步骤，我们需要对小明的猜想进行推理验证：如图1，筝形中，，求证：． 性质应用： （3）任务三：如图2，箏形中，，则箏形的面积为_________． （4）任务四：如图3，在中，，点分别是边上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数为_________． 【答案】（1）筝形的对角线互相垂直 （2）证明：如图，连接， ，， ， ； （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）连接，推出垂直平分，得到筝形的对角线互相垂直； （2）连接，证明，得到； （3）设相交于点，由题得到，，，推出是等边三角形，求出，得到，得到； （4）分两种情况：当，；当，，分别计算即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ， 垂直平分， 筝形的对角线互相垂直； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，设相交于点 ，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 垂直平分， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：， ， 当四边形为筝形时 如图， 当，， 则， ； 如图， 当，， 则， 综上所述，的度数为或． 24. 如图，在四边形中，，从A出发，以的速度向D运动，同时Q从C出发，以的速度向B运动．当一个点到达终点时两个点都停止运动，设运动时间为t秒． （1）t为何值时，四边形为平行四边形？ （2）为何值时，点P恰好在的角平分线上？ （3）t为何值时，点C恰好在的垂直平分线上？ （4）是否存在t值，使得是等腰三角形？直接写出t值． 【答案】（1） （2） （3） （4）存在，或6或 【解析】 【分析】（1）当运动t秒时，，，，．当时，四边形是平行四边形，据此列出方程，求解即可； （2）过点C作，交的延长线于点E，得到四边形是矩形，因此，，，根据勾股定理求出．当点P在的角平分线上时，，结合，可得，因此，据此列出方程，求解即可； （3）根据勾股定理求出，当点C恰好在的垂直平分线上时，，据此列出方程，求解即可； （4）分三种情况讨论：①，②，③，分别列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：当运动t秒时，，， ∴，． ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得， ∴时，四边形为平行四边形． 【小问2详解】 解：过点C作，交的延长线于点E，则， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴在中，． 当点P在的角平分线上时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得． ∴时，点P恰好在的角平分线上． 【小问3详解】 解：由（2）可得， ∴， ∴在中，． 当点C恰好在的垂直平分线上时，， ∴，解得， ∴时，点C恰好在的垂直平分线上． 【小问4详解】 解：存在，分以下三种情况讨论： ①如图，若，则是等腰三角形， ∴，解得． ②如图，若，则是等腰三角形， 过点D作于点F，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得． ③如图，若，则是等腰三角形， 由②可得，，， ∴， ， ∵， ∴，解得． 综上所述，当或6或时，是等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期初质量检测 九年级数学试卷 （满分：120分 时间：90分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 关于的一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 2. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 每一条对角线都平分一组对角 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分 3. 如图，已知正方形对角线上有一点，连接，平分，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形是平行四边形，与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知菱形的面积为，对角线与相交于点，对角线的长为，于点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，再添加一个条件，不能判定是矩形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，，点E在上，连接，垂直平分，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 如图，直线与直线交于点P，下列结论错误的是（ ） A. ， B. 关于x的方程的解为 C. 直线上有两点，，若时，则 D. 关于x的不等式的解集为 9. 如图，的对角线交于点O，的平分线与交于点E，与交于点F，连接，，，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形中，对角线 与 相交于点O， ， ，点P为线段 上的一个动点（不与端点重合），过点P作 于点M， 于点N，连接，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a为_____． 12. 已知矩形的对角线长为6，顺次连接该矩形四边中点所得四边形的周长为___________． 13. 正方形的一条对角线长为6，则正方形的面积是________． 14. 已知菱形的周长为40，一条对角线的长为16，则另一对角线的长___． 15. 在平面上，基本图形经过旋转、平移等图形变化可以得到丰富的图案．如图1，在菱形中剪去一个菱形得到如图2的基本图形，图2经过旋转、拼接得到图3，图3经过平移、拼接得到图4．若，点E，F分别为，的中点，则图1中阴影部分的面积是_________． 16. 如图，在四边形纸片ABCD中，ADBC，AB＝10，∠B＝60°，将纸片折叠，使点B落在AD边上的点G处，折痕为EF，若∠BFE＝45°，则BF的长为______． 17. 如图，矩形中，．平分交于点，是上一动点，连接于点，若，且，下列说法正确的有_________．（只填序号） ①；②；③；④． 18. 如图，在平面直角坐标系中，长为4的线段（点D在点C右侧）在x轴上移动，已知点，连接，则的最小值为_________． 三、尺规作图（用圆规和无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不写做法） 19. 已知：和一边上的点B 求作：，满足是它的一个内角，且对角线． 四、解答题（共60分） 20. 解方程： （1）（直接开平方法） （2）（配方法） （3）（公式法） （4）（因式分解法） 21. 如图，在中，平分，点E是线段的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由． （3）要使四边形是正方形，需要给添加什么条件？直接写出你的答案． 22. 汝南特产五香大头菜是河南酱菜非遗技艺的代表性腌渍食品，汝南五香鸡汁豆腐干是源于唐代的河南驻马店传统名吃．某商家计划从汝南购进五香大头菜和鸡汁豆腐干两种特产．已知每箱鸡汁豆腐干的价格比每箱五香大头菜的价格贵8元，用1200元购买鸡汁豆腐干的数量恰好与用1000元购买五香大头菜的数量相同． （1）求五香大头菜和鸡汁豆腐干每箱的价格． （2）该商家计划购买这两种特产共60箱．为推广汝南农产品，供应商对两种特产进行了优惠：鸡汁豆腐干每箱降价5元，五香大头菜每箱打九折．若要求鸡汁豆腐干的数量不得少于五香大头菜数量的一半，则购买这批特产最少需要花费多少元？ 23. 小明同学在生活中观察发现：风筝的外形设计中也可以抽象出一类很有特点的四边形，学习平行四边形的知识为他积累了不少研究几何图形的思路和经验，于是他尝试着给出定义，并计划运用观察、实验、归纳、类比、猜想、证明等方法，对新图形的性质和判定方法等进行探索． 特殊四边形（筝形）的探究学习单 观察猜想： 定义：四边形中，，像这样两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）任务一：小明在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝形有一组对角应该是相等的．进一步观察后，发现这类“筝形”应该还具有其它性质；请再猜想一条筝形的性质（除定义外）：________________________________________． 推理验证： （2）任务二：根据数学探究的步骤，我们需要对小明的猜想进行推理验证：如图1，筝形中，，求证：． 性质应用： （3）任务三：如图2，箏形中，，则箏形的面积为_________． （4）任务四：如图3，在中，，点分别是边上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数为_________． 24. 如图，在四边形中，，从A出发，以的速度向D运动，同时Q从C出发，以的速度向B运动．当一个点到达终点时两个点都停止运动，设运动时间为t秒． （1）t为何值时，四边形为平行四边形？ （2）为何值时，点P恰好在的角平分线上？ （3）t为何值时，点C恰好在的垂直平分线上？ （4）是否存在t值，使得是等腰三角形？直接写出t值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $