3.1 一元二次方程的概念 课件 2026--2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及建模应用，通过雕像设计、矩形挖圆等实际问题导入，引导学生对比一元一次方程发现新方程特点，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，通过概念辨析和推理发展数学思维，用小路面积等建模问题强化数学语言。典例与练习结合，小结构建脉络，助学生系统掌握知识，教师使用可高效落实教学目标。

教学课件 2026 湘教版 · 九年级上册 · 新教材 3.1 一元二次方程的概念 第三章 一元二次方程 ／ 3.1 一元二次方程的概念 数学 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 1 第三章 一元二次方程 3.1 一元二次方程的概念 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 本节导航 导 新课导入 讲 讲授新课 练 当堂练习 结 课堂小结 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 3 新课导入 教学目标 教学重点 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 4 1.理解一元二次方程的概念.（难点） 2.能将一元二次方程化为一般形式，并确定各项系数. 3.能够根据实际问题列出一元二次方程，建立数学模型.(重点） 学习目标 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示），要求雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？ 【思考】上述所列的方程与我们以前学习的方程一样吗？这种方程与以前学习的方程有哪些联系？ A B C 2m 设雕像下部高x m，依题意得方程 x2=2(2-x) 整理，得 x2+2x-4=0 新课导入 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 6 讲 讲授新课 典例精讲 · 归纳总结 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 问题1：如图所示，已知一矩形的长为200 cm，宽为150 cm. 现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的 . 求挖去的圆的半径 x cm 应满足的方程（其中 取3）. 一元二次方程的概念 1 讲授新课 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 【分析】 问题涉及的等量关系是： 原矩形的面积 - 挖去的圆面积 = 原矩形的面积 . 解答 由于圆的半径为 x cm，则它的面积为 3x2 cm2. 根据等量关系，可以列出方程 移项，整理得 讲授新课 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 问题2： 据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆 . 求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程 . 【分析】 问题涉及的等量关系是： 两年后的汽车拥有量 = 前年的汽车拥有量 ×（1+年平均增长率）2 . 解答 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x . 根据等量关系，可以列出方程 整理得 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 【思考】3x2-7500=0和25x2+50x-11=0这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 区别 特点 （1）这两个方程的两边都是整式； （2）都只含一个未知数x； （3）经过整理后它们的未知数的最高次数都是 2 . 未知数最高次数为2 讲授新课 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 如果一个方程只含有一个未知数(一元)，经过整理后含未知数的项的最高次数是2，那么这样的方程称为一元二次方程. 一元二次方程的概念 讲授新课 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成x2-3x+2=0 少了限制条件a≠0 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 典例精析 例1 讲授新课 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋ ＝2；③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0； ⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元二次方程的有(　　) A．1个　　B. 2个　　C．3个　　D．4个 导引： ①含有两个未知数； ②不是整式方程； ④未知数的最高次数不是2 ⑤整理后未知数的最高次数不是2 ③符合一元二次方程的“三要素” 练一练 A 讲授新课 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 例2 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 方程(2a-4)x2－2bx+a=0. （1）在什么条件下此方程为一元二次方程？ （2）在什么条件下此方程为一元一次方程？ 解：（1）当 2a－4≠0，即a ≠2 时是一元二次方程 （2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程 练一练 讲授新课 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 二次项系数 一次项系数 常数项 二次项 一次项 一般地，关于x的一元二次方程通过整理可以使右边为0，它的一般形式是a x 2 + b x + c = 0（a，b，c是常数，a ≠ 0）. 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 方程3x(1-x)+10=2(x+2)是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 解： 将原方程去括号，得 3x-3x2+10=2x+4. 移项、合并同类项，得 -3x2+x+6=0. 这是一元二次方程，其中二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6. 注意：系数要包含前面的符号. 例3 一般形式也可以写为3x2-x-6=0 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，c的值分别是(　　) A．1，－3，10 B．1，7，－10 C．1，－5，12 D．1，3，2 A 练一练 讲授新课 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a≠0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 总结：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 20 列一元二次方程 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？ 32 20 x 2 例4 （1）若设小路的宽是xm，那么横向小路的面积是______m2，纵向小路的面积是 m2,两者重叠的面积是 m2. 32x （2）由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？ 整理以上方程可得： 2×20x 32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=570 2x2 x2-36x＋35=0 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 今年某市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地它的宽为60 m，若将宽增加到与长相等(长不变)，使扩大后的绿地为正方形，则扩大后的绿地面积比原来加1 600 m2.设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是( ) A．x(x－60)＝1 600　　　　　B．x(x＋60)＝1 600 C．60(x＋60)＝1 600 D．60(x－60)＝1 600 A 练一练 讲授新课 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 练 当堂练习 当堂反馈 · 即学即用 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 23 当堂练习 知识点1 一元二次方程的概念 1.下列方程中，是一元二次方程的是( ) 答案　A 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 2.已知关于的方程是一元二次方程，则 的 取值范围是( ) A. B. C. D. 答案　D 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 当堂练习 知识点2 一元二次方程的一般形式 答案　A 3.方程 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( ) A. 1，， B. 1，6，1 C. 0，，1 D. 0，6， 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 当堂练习 知识点3 列一元二次方程 答案　x(x-2)=48 4.（教材习题变式）两个连续偶数的积为48，设较大的偶数为 ，则得 到关于 的方程是______________. 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 5.如图所示，在宽为,长为 的矩形场地上，修筑同样宽的两 条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为 .设路宽为 ，列出方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. 解：根据题意，得 .整理，得 . 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 易错点 忽略二次项系数不为0 6.若方程是关于的一元二次方程，则 的 值为( ) B A. 2 B. C. 2或 D. 0 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 结 课堂小结 构建脉络 · 归纳总结 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 30 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2. ax2+bx+c=0 (a ≠0) 其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件； 根据实际问题建立数学模型. 一元二次方程 概念 一般形式 列一元二次方程 课堂小结 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 31 THANKS FOR WATCHING 感谢观看 湘教版 · 初中数学 第三章 一元二次方程 ／ 3.1 一元二次方程的概念 湘教版 · 初中数学 3.1 一元二次方程的概念 32 $