3.2.1 配方法-第1课时 直接开平方法解方程 课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“直接开平方法解一元二次方程”，通过“油漆刷正方体盒子”实际问题导入，引导学生列出x²=25，从现实问题抽象数学模型，衔接平方根定义，为后续配方法学习搭建基础支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，通过问题链发展推理意识，分层练习提升运算能力。如导入问题抽象等量关系，巩固练习涵盖x²=p、(mx+n)²=p等形式，课堂小结系统归纳解的情况，帮助学生形成结构化知识，教师可直接用于分层教学，提升效率。

湘教版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月20日 3.2.1 配方法-第1课时 直接开平方法解方程 第3章 一元二次方程 湘教版九年级上册数学3.2.1配方法（第1课时）直接开平方法解方程 练习题 一、核心知识点梳理 直接开平方法是解一元二次方程最基础、最简便的方法，也是后续学习配方法的核心基础，适用于形如平方形式的特殊一元二次方程。1. 适用方程形式：可化为$$x^2=p$$或$$(mx+n)^2=p$$（$$m eq0$$）的一元二次方程。2. 解法依据：平方根的定义，若一个数的平方等于$$p$$，则这个数是$$p$$的平方根。3. 解的情况分类：当$$p>0$$时，方程有两个不相等的实数根；当$$p=0$$时，方程有两个相等的实数根；当$$p<0$$时，方程无实数根。4. 解题步骤：先将方程整理为完全平方等于常数的标准形式，再直接开平方，转化为一元一次方程，最后求解并整理根。 二、基础巩固练习题 选择题（每题5分，共30分） 1. 方程$$x^2=16$$的解是（） A. $$x=4$$ B. $$x=-4$$ C. $$x=\pm4$$ D. 无解 2. 方程$$(x-2)^2=0$$的根的情况是（） A. 两个不相等实数根 B. 两个相等实数根 C. 无实数根 D. 无法判断 3. 下列方程适合用直接开平方法求解的是（） A. $$x^2+2x=0$$ B. $$(x+1)^2=9$$ C. $$x^2-4x+1=0$$ D. $$x^2+3x-2=0$$ 4. 方程$$(2x+1)^2=-4$$的解为（） A. $$x=\frac{1}{2}$$ B. $$x=-\frac{3}{2}$$ C. $$x=\pm\frac{3}{2}$$ D. 无实数根 5. 若方程$$x^2=a$$有实数根，则$$a$$的取值范围是（） A.$$a>0$$ B. $$a\geq0$$ C. $$a<0$$ D. $$a\leq0$$ 6. 方程$$(x+3)^2=4$$的解是（） A. $$x=-1$$ B. $$x=-5$$ C. $$x_1=-1，x_2=-5$$ D. $$x_1=1，x_2=5$$ 填空题（每题6分，共30分） 1. 方程$$x^2-9=0$$的解为________。 2. 方程$$(3x-1)^2=0$$的实数根是________。 3. 若$$(x-5)^2=16$$，则$$x=$$________。 4. 方程$$2x^2=8$$化简后求解，根为________。 5. 已知方程$$(mx+2)^2=9$$可直接开平方求解，则$$m$$需满足________。 解答题（共40分） 1.（12分）用直接开平方法解下列简单一元二次方程： （1）$$x^2=25$$ （2）$$x^2-121=0$$ （3）$$3x^2=27$$ 2.（14分）用直接开平方法解下列复合平方形式方程： （1）$$(x-4)^2=36$$（2）$$(2x+3)^2=16$$ 3.（14分）用直接开平方法解需要简单整理的方程： （1）$$(x+1)^2-4=0$$ （2）$$4(x-2)^2-9=0$$ 三、参考答案与详细解析 选择题解析 1. C 解析：由$$x^2=16$$，根据平方根定义，$$x=\pm\sqrt{16}=\pm4$$。 2. B 解析：$$(x-2)^2=0$$，解得$$x_1=x_2=2$$，有两个相等实数根。 3. B 解析：只有B选项为完全平方等于常数的形式，符合直接开平方法适用条件。 4. D 解析：平方数具有非负性，$$(2x+1)^2\geq0$$，不可能等于负数，无实数根。 5. B 解析：负数没有平方根，只有$$a\geq0$$时，方程才有实数根。 6. C 解析：开平方得$$x+3=\pm2$$，分别解得$$x_1=-1，x_2=-5$$。 填空题答案 1. $$x_1=3，x_2=-3$$ 2. $$x_1=x_2=\frac{1}{3}$$ 3. 9或1 4. $$x_1=2，x_2=-2$$ 5. $$m eq0$$ 解答题解析 1. 解析：（1）直接开平方得$$x=\pm5$$，即$$x_1=5，x_2=-5$$；（2）移项得$$x^2=121$$，开方得$$x=\pm11$$，即$$x_1=11，x_2=-11$$；（3）系数化为1得$$x^2=9$$，解得$$x_1=3，x_2=-3$$。 2. 解析：（1）开平方得$$x-4=\pm6$$，当$$x-4=6$$时，$$x=10$$；当$$x-4=-6$$时，$$x=-2$$，即$$x_1=10，x_2=-2$$；（2）开平方得$$2x+3=\pm4$$，分别解得$$x_1=\frac{1}{2}，x_2=-\frac{7}{2}$$。 3. 解析：（1）移项得$$(x+1)^2=4$$，开方得$$x+1=\pm2$$，解得$$x_1=1，x_2=-3$$；（2）移项得$$4(x-2)^2=9$$，系数化为1得$$(x-2)^2=\frac{9}{4}$$，开方得$$x-2=\pm\frac{3}{2}$$，解得$$x_1=\frac{7}{2}，x_2=\frac{1}{2}$$。 四、易错点总结 1. 开平方时容易遗漏负根，大部分一元二次方程通过直接开平方法会得到两个实数根，不可只写正根；2. 忽略平方的非负性，当平方等于负数时，方程无实数根，无需强行求解；3. 方程整理不彻底，含系数的平方形式需先将平方项系数化为1，再开平方；4. 求解复合平方方程时，忘记整体思想，需将括号内式子看作整体，再拆分求解一元一次方程。本节课是配方法的基础，熟练掌握直接开平方法，能快速简化一元二次方程求解过程，为后续配方变形、复杂方程求解筑牢基础。 新课导入 导入课题 一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，求盒子的棱长. 问题1：本题的等量关系是什么？ 问题2：设正方体的棱长为xdm，请列出方程并化简. 相等 6x2×10=1500 化简为：x2=25 推进新课 知识点1 用直接开平方法解一元二次方程 问题1 根据平方根的意义解导入列出的方程： x2=25. 解：根据平方根的意义，得 x= ±5 即 x1=5，x2=-5 因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm. 巩固练习 根据平方根的意义解方程 x2=36； 2x2-4=0； 3x2-4=8. x=±6 x1=6，x2=-6 x2=4 x=±2 x1=2，x2=-2 当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根 . 当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0. 当p<0时，方程x2=p无实数根. 规律总结 知识点2 降次 你认为应怎样解方程(x+3)2=5? 由方程x2=25得x=±5. 以此类推： 由方程(x+3)2=5，可得 解方程 (x+3)2=5 ，实质上是把一个一元二次方程降次，转化为两个一元一次方程，再解两个一元一次方程即得原方程的解. 当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是 , 当p<0时，方程(mx+n)2=p . 无实数根 知识点1 一元二次方程的解（根） 1. [郴州期末] 已知方程的一个根是1，则 的值为( ) B A. 4 B. C. 3 D. 2. 若是关于的方程 的解， 则代数式 的值是____. 返回 中考考法 8 3. 已知一个一元二次方程有一个根是1，且它 的一次项系数是 ，写出一个符合要求的方程： _______________________________. 4. 下表是代数式 的值的情况，根据表格数据，可知 方程 的根是_______________. （答案不唯一） 0 1 2 3 4 12 6 2 0 0 2 6 12 , 返回 中考考法 9 巩固练习 (x+6)2－9=0 3(x－1)2－12=0 解：(x+6)2=9 x+6=+3 x1=－3, x2=－9 解：3(x－1)2=12 (x－1)2=4 x－1=+2 x1=3, x2=－1 随堂演练 一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程， 其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一 次方程是（ ） A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-4 2. 方程3x2+9=0的根为（ ） A. 3 B. －3 C. ±3 D. 无实数根 3. 若8x2-16=0，则x的值是 . D D   4. 解关于x的方程(x+m)2=n. 解：①当n>0时，此时方程两边直接开方.得 x+m=± ，方程的两根为x1= -m, x2=- -m. ②当n=0时，此时(x+m)2=0,直接开方得 x+m=0，方程的两根为x1=x2=-m. ③当n<0时，因为对任意实数x，都有 (x+m)2≥0，所以方程无实数根. 知识点2 解形如 的方程 5. 老师出示问题：解方程 .四名同学给出了以下答 案：甲：;乙：；丙： ；丁： ， .则( ) D A. 甲正确 B. 乙正确 C. 丙正确 D. 丁正确 6. 若一元二次方程的两根分别是 和 ，则 的值为___. 返回 中考考法 13 7. 用直接开平方法解下列方程： （1） ; 【解】原方程可化为.根据平方根的意义，得 或 ，因此，原方程的根为, . （2） . ，， ， ，所以， . 返回 中考考法 14 知识点3 解形如 的方程 8. 如果关于的方程无解，那么 的取值范 围是( ) C A. B. C. D. 9. 如图，它是计算机程序设计，若输出的值为36，则输入的 的值为_______. 7或 返回 中考考法 15 10. 用直接开平方法解下列方程： （1） ; 【解】因为.所以 所以 ，解得， . （2） . 开平方，得或 ， 解得, . 返回 中考考法 16 11. 在关于的方程中，,, 满足 和 ,则方程的根是( ) B A. 1,0 B. 1, C. 1, D. 无法确定 返回 中考考法 17 12. 若是方程 的一个根， 则 的值是( ) C A. B. C. D. 2 028 【点拨】因为是方程 的一个根，所以 ,,所以,所以原式 . 中考考法 18 一元二次方程 根的代数式 化简求值问题，常常不需要解方程，只需要对方程进行变形. 常见的变形方法有：, , , , .其中①②③④体现了“降次”代换的思 想，⑤是构造倒数关系作等值代换.例如本题先求出 的值再 代入代数式中求值比较困难，根据根的定义将 代入方程， 将方程变形可得 ，再将其整体代入待求式中 化简求值即可. . . . . . . 返回 中考考法 19 13. 若,则 ___. 7 本题易忽略 而致错. 返回 中考考法 20 14. 已知,则 的值为 _______. 2 026 中考考法 21 课堂小结 当p>0时，方程x2=p有两个不等的实数根 . 当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根 x1=x2=0. 当p<0时，方程x2=p无实数根. 当p≥0时，方程(mx+n)2=p的解是 , 当p<0时，方程(mx+n)2=p . 无实数根 $