3.1 一元二次方程的概念-课件-2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程概念及一般形式，通过“动脑筋”环节的矩形挖圆、汽车增长率等实际问题导入，引导学生从整式方程过渡到二次方程，以问题分析为支架构建知识脉络。 其亮点在于结合数学眼光（抽象能力、模型意识）和数学思维（推理意识），设计基础巩固、易错点总结及真实情境应用题（如旅发大会游客增长），采用分层练习与解题支架教学。学生能深化概念理解，教师可高效开展教学。

湘教版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月20日 3.1 一元二次方程的概念 第3章 一元二次方程 湘教版九年级上册数学3.1一元二次方程的概念 练习题 一、核心知识点梳理 一元二次方程是初中数学核心方程模型，需掌握严格定义与基础形式，是后续解方程、应用题的基础。1. 定义：等号两边为整式，只含一个未知数，且未知数最高次数为2的方程。判定三要素：整式方程、唯一未知数、最高次数为2且二次项系数不为0。2. 一般形式：$$ax^2+bx+c=0$$（$$a、b、c$$为常数，$$a eq0$$），其中$$ax^2$$是二次项，$$a$$是二次项系数；$$bx$$是一次项，$$b$$是一次项系数；$$c$$是常数项。3. 方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值。 二、基础巩固练习题 选择题（每题5分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（） A. $$2x+1=0$$ B. $$x^2+3x=0$$ C. $$x^2+y=1$$ D. $$\frac{1}{x}+x^2=2$$ 2. 方程$$3x^2-5x+2=0$$的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（） A. 3、-5、2 B. 3、5、2 C. -3、-5、2 D. 3、-5、-2 3. 若方程$$(m-2)x^2+3x+1=0$$是一元二次方程，则$$m$$的取值范围是（） A. $$m eq0$$ B. $$m eq2$$ C. $$m=2$$ D. $$m>2$$ 4. 下列关于$$x$$的方程一定是一元二次方程的是（） A. $$ax^2+bx+c=0$$ B. $$x^2-2=(x+3)^2$$ C. $$x^2+x-1=0$$ D. $$x^3+2x=0$$ 5. 已知$$x=1$$是方程$$x^2+kx-3=0$$的一个根，则$$k$$的值为（） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 6. 将方程$$2x(x-1)=3$$化为一般形式后，常数项是（） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 填空题（每题6分，共30分） 1. 方程$$x^2-4x=0$$的一次项系数是________，常数项是________。 2. 若方程$$(k+1)x^2-2x+5=0$$是一元二次方程，则$$k$$的取值范围是________。 3. 把方程$$(x+2)(x-3)=1$$化成一元二次方程的一般形式为________。 4. 已知$$x=2$$是方程$$ax^2-x-2=0$$的根，则$$a=$$________。 5. 若一元二次方程的二次项系数为2，一次项系数为-1，常数项为5，则该方程为________。 解答题（共40分） 1.（12分）判断下列方程是否为一元二次方程，说明理由。 （1）$$5x^2=0$$ （2）$$x^2+2y=3$$ （3）$$\sqrt{x^2+1}=2$$ （4）$$3x^2-\frac{1}{x}=0$$ 2.（14分）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出各项系数。 （1）$$4x^2=1-2x$$ （2）$$(x-1)^2=4x$$ 3.（14分）已知方程$$(m-3)x^{|m|-1}+2x-1=0$$是一元二次方程，求$$m$$的值。 三、参考答案与详细解析 选择题解析 1. B 解析：A是一元一次方程，C含两个未知数，D是分式方程，均不符合定义；B满足一元二次方程三要素。 2. A 解析：根据一般形式，直接对应各项系数即可。 3. B 解析：二次项系数不为0，即$$m-2 eq0$$，故$$m eq2$$。 4. C 解析：A未说明$$a eq0$$，B化简后无二次项，D最高次数为3，均排除。 5. A 解析：将$$x=1$$代入方程，$$1+k-3=0$$，解得$$k=2$$。 6. A 解析：化简得$$2x^2-2x-3=0$$，常数项为-3。 填空题答案 1. -4、0 2. $$k eq-1$$ 3. $$x^2-x-7=0$$ 4. 1 5. $$2x^2-x+5=0$$ 解答题解析 1. （1）是，整式方程、单未知数、最高次数2；（2）不是，含两个未知数；（3）不是，不是整式方程；（4）不是，分母含未知数，为分式方程。 2. （1）一般形式：$$4x^2+2x-1=0$$，二次项系数4，一次项系数2，常数项-1；（2）一般形式：$$x^2-6x+1=0$$，二次项系数1，一次项系数-6，常数项1。 3. 由题意得$$|m|-1=2$$且$$m-3 eq0$$，解得$$m=-3$$。 四、易错点总结 1. 判定方程时，必须保证二次项系数不为0，含参数的方程需分类讨论；2. 化简一般形式时，注意移项变号，常数项、一次项系数可正可负；3. 未知数在分母、根号内的方程不是整式方程，不属于一元二次方程；4. 方程的根需代入原方程验证，避免计算失误。本套习题覆盖本节基础定义、系数判定、方程化简、参数求解等核心考点，贴合湘教版教材重难点，可全面巩固一元二次方程的基础概念。 动脑筋： （1） 如图所示， 已知一矩形的长为200 cm， 宽为150 cm。现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的 。求挖去的圆的半径 x cm应满足的方程（其中π取3）； （2）据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆。求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程。 要建立方程， 关键是找出问题中的等量关系。 动脑筋： （1） 如图所示， 已知一矩形的长为200 cm， 宽为150 cm。现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的 。求挖去的圆的半径 x cm应满足的方程（其中π取3）； 分析：矩形的面积－圆的面积=矩形的面积× 。 解：由于圆的半径为xcm， 则它的面积为3x2cm2。依题意得： ① 1. [2026永州模拟] 下列式子：； ； ； ； ； ．其中是一 元二次方程的有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 中考考法 4 2. 已知关于 的方程 是一元二次方程，则 的值 为( ) C A. B. 3 C. D. 不能确定 中考考法 5 解题支架 返回 中考考法 6 动脑筋： （2）据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆。求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程。 解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x。依题意得： 75 (1 + x )2 = 108 化简得：25x2 + 50x－11 ＝ 0。 ② 分析：前年的汽车拥有量？ 两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量× (1 +年平均增长率)2。 一年后的汽车拥有量？ =75(1+x)2 75 +75x =75(1+x) 两年后的汽车拥有量？ 75(1+x) +75(1+x)x 一年后： 两年后： 会解方程x2－2500＝0，25x2 + 50x－11＝0吗？这是一个什么方程？这就是本节课我们所要解决的问题—— 一元二次方程。 1、一元二次方程的概念 [说一说]方程①②中有几个未知数？ 它们的左边是x的几次多项式？ x2－2500 =０ ① 25x2 + 50x－11=0 ② 2、一元二次方程的一般形式 如果一个方程通过整理可以使右边为0， 而左边是只含有一个未知数的二次多项式， 那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是： ax2＋bx＋ c＝0（a ，b，c 是已知数， a ≠0） 其中a， b， c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。 强调：一元二次方程的一般形式是：方程的右边为0，左边按未知数的降幂排列。 [想一想]为什么强调二次项系数不能为0？如果为0会出现什么情况？ 类型1：一元二次方程的概念 [练习]下列方程中是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 强调： 1、必须是整式方程； 2、化简后含有二次项； 3、二次项系数不为0 A 类型2：一元二次方程的一般形式 例 下列方程是否为一元二次方程？ 若是， 指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1） 3x (1 – x ) + 10 = 2( x + 2)； （2） 5x ( x + 1) + 7 = 5x2 – 4。 举 例 解：（1）化简得： – 3x2 + x + 6 = 0 这是一元二次方程， 其中二次项系数是 – 3， 一次项系数是1， 常数项是6。 思考：可以写成3x2 - x -6 = 0 吗？那么各项系数又是多少？常数项是多少呢？ （2）化简得：5x + 11 = 0 这是一元一次方程， 不是一元二次方程。 知识点2 一元二次方程的一般形式 3. 把方程 化成一般形式 （二次项系数为正数）后， 的值为___． 4. [娄底模拟] 若关于 的一元二次方程 的常数项等于0，则 的值为___． 2 2 返回 中考考法 11 知识点3 建立一元二次方程模型 5. 第三届湖南旅发大会在衡阳隆重召开，喜迎 全国游客．据了解，10月1日，东洲岛景区接待游客约10万 人次，10月3日接待游客人数达到12.1万人次．设这两天的平 均增长率为 ，下列方程正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 中考考法 12 6. 在第十五届全国运动会上，乒乓球项目备 受关注.男子团体赛第一阶段采用单循环赛（每两队之间都赛 一场）．计划分为4组，其中一组安排了10场比赛，设该组 邀请了 个球队参加比赛，可列方程为_______________. 返回 中考考法 13 7. 如图，一张长方形纸板长,宽 ,剪掉2个小正方形 和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分）,剩余的部分可折成 一个有盖的长方体纸盒，若纸盒底面 的面积等于 ,设剪掉的小正方形边长为 ,则根据题意可得方程 _________________________. 返回 中考考法 14 8. [衡阳期末] 关于 的一元二次方程 化为一般形式后不含一次项，则 的值为( ) D A. 0 B. C. 3 D. 返回 中考考法 15 9. 一元二次方程 化为一般形式为，则一次函数 的 图象不经过( ) D A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 中考考法 16 10. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多 少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三 文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这 批椽的价钱为6 210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿 一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问 6 210文能买多少株椽？设这批椽的数量为 株，则可列方程 为_________________． 返回 中考考法 17 课堂小结 一般形式： ax2 + bx + c =0(a≠0) a + b + c 二次项系数 一次项系数 常数项 一元二次方程 概念 一个未知数 最高次是2 整式方程 $